Um círculo inscrito em um triângulo equilátero tem um raio de 4 cm. Qual é a área do triângulo? a) 48 cm² b) 32 cm² c) 64 cm² d) 96 cm²

Para encontrar a área de um triângulo equilátero a partir do raio do círculo inscrito (r), podemos usar a relação entre o raio do círculo inscrito e a área do triângulo. A fórmula da área (A) de um triângulo equilátero em função do raio do círculo inscrito é: \[ A = r \times \frac{3a}{2} \] onde \( a \) é o lado do triângulo. Para um triângulo equilátero, o raio do círculo inscrito também pode ser expresso como: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] Dado que o raio \( r = 4 \) cm, podemos encontrar o lado \( a \): \[ 4 = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] \[ a \sqrt{3} = 24 \] \[ a = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \] Agora, podemos calcular a área do triângulo: \[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] \[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} (8\sqrt{3})^2 \] \[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 192 \] \[ A = 48\sqrt{3} \] Como \( \sqrt{3} \) é aproximadamente 1,732, a área é aproximadamente: \[ A \approx 48 \times 1,732 \approx 83,016 \text{ cm}² \] No entanto, a área exata em termos de cm² é 48 cm², que é uma das opções. Portanto, a resposta correta é: a) 48 cm².