Qual é o valor da integral definida \( \int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 3) \, dx \)? A) 2 B) 3 C) 1 D) 4

Para calcular a integral definida \( \int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 3) \, dx \), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \( 4x^3 - 2x^2 + 3 \). 1. A antiderivada de \( 4x^3 \) é \( x^4 \). 2. A antiderivada de \( -2x^2 \) é \( -\frac{2}{3}x^3 \). 3. A antiderivada de \( 3 \) é \( 3x \). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 3x \] Agora, vamos calcular \( F(1) \) e \( F(0) \): - \( F(1) = 1^4 - \frac{2}{3}(1^3) + 3(1) = 1 - \frac{2}{3} + 3 = 1 - \frac{2}{3} + \frac{9}{3} = \frac{1 + 9 - 2}{3} = \frac{8}{3} \) - \( F(0) = 0^4 - \frac{2}{3}(0^3) + 3(0) = 0 \) Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 3) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \] Como \( \frac{8}{3} \) não está entre as opções, vamos verificar se houve algum erro nas opções. No entanto, a resposta correta para a integral é \( \frac{8}{3} \), que não corresponde a nenhuma das alternativas fornecidas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!