Para resolver a integral \( \int_0^1 x^4 e^{x^2} \, dx \), podemos usar a substituição. Vamos definir \( u = x^2 \), o que implica que \( du = 2x \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{2\sqrt{u}} \). Quando \( x = 0 \), \( u = 0 \) e quando \( x = 1 \), \( u = 1 \). Assim, a integral se transforma em: \[ \int_0^1 x^4 e^{x^2} \, dx = \int_0^1 (u^2) e^u \frac{du}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int_0^1 u^2 e^u \, du \] Agora, precisamos calcular \( \int_0^1 u^2 e^u \, du \). Podemos usar a integração por partes, onde escolhemos: - \( dv = e^u \, du \) e \( v = e^u \) - \( u = u^2 \) e \( du = 2u \, du \) Aplicando a integração por partes: \[ \int u^2 e^u \, du = u^2 e^u - \int 2u e^u \, du \] Agora, precisamos calcular \( \int 2u e^u \, du \) novamente por partes: - \( dv = e^u \, du \) e \( v = e^u \) - \( u = 2u \) e \( du = 2 \, du \) Assim, temos: \[ \int 2u e^u \, du = 2u e^u - \int 2 e^u \, du = 2u e^u - 2e^u \] Substituindo de volta, obtemos: \[ \int u^2 e^u \, du = u^2 e^u - (2u e^u - 2e^u) = u^2 e^u - 2u e^u + 2e^u \] Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[ u^2 e^u - 2u e^u + 2e^u \right]_0^1 = \left[ 1^2 e^1 - 2(1)e^1 + 2e^1 \right] - \left[ 0 \right] = e - 2e + 2e = e \] Portanto, temos: \[ \int_0^1 u^2 e^u \, du = e \] Finalmente, substituindo de volta na integral original: \[ \int_0^1 x^4 e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^1 u^2 e^u \, du = \frac{1}{2} e \] Assim, a resposta correta é: a) \( \frac{1}{2} (e - 1) \)