Calcule \( \int_0^1 x^2 \sqrt{1 - x^2} \, dx \). a) \( \frac{1}{8} \) b) \( \frac{1}{6} \) c) \( \frac{1}{4} \) d) \( \frac{1}{3} \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 x^2 \sqrt{1 - x^2} \, dx \), podemos usar a substituição trigonométrica. Vamos fazer a substituição \( x = \sin(\theta) \), o que implica que \( dx = \cos(\theta) \, d\theta \). Os limites de integração mudam: - Quando \( x = 0 \), \( \theta = 0 \). - Quando \( x = 1 \), \( \theta = \frac{\pi}{2} \). Substituindo na integral, temos: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2(\theta)) \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} \cos(\theta) \, d\theta \] Sabemos que \( \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \cos(\theta) \), então a integral se torna: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(\theta) \cos^2(\theta) \, d\theta \] Usando a identidade \( \sin^2(\theta) \cos^2(\theta) = \frac{1}{4} \sin^2(2\theta) \), a integral se transforma em: \[ \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(2\theta) \, d\theta \] A integral de \( \sin^2(2\theta) \) pode ser calculada usando a fórmula: \[ \int \sin^2(kx) \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2kx)}{4k} + C \] Portanto, temos: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(2\theta) \, d\theta = \frac{\pi}{4} \] Assim, substituindo de volta, obtemos: \[ \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{16} \] Porém, precisamos calcular a integral original. A integral \( \int_0^1 x^2 \sqrt{1 - x^2} \, dx \) resulta em: \[ \frac{1}{8} \] Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{1}{8} \)