Calcule lim_{x → ∞} (√(x^2 + 3x) - x). A) 3/2 B) -3/2 C) 0 D) ∞

Para calcular o limite \(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 3x} - x)\), vamos simplificar a expressão. 1. Começamos multiplicando e dividindo por \((\sqrt{x^2 + 3x} + x)\) para eliminar a raiz: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 3x} - x)(\sqrt{x^2 + 3x} + x)}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} \] 2. O numerador se torna: \[ \sqrt{x^2 + 3x}^2 - x^2 = (x^2 + 3x) - x^2 = 3x \] 3. Assim, a expressão fica: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} \] 4. Agora, dividimos o numerador e o denominador por \(x\): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1} \] 5. Quando \(x\) tende a \(\infty\), \(\frac{3}{x}\) tende a 0, então a expressão se torna: \[ \frac{3}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2} \] Portanto, o limite é \(\frac{3}{2}\). A alternativa correta é: A) 3/2.