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Calcule \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \). Agora, escolha a alternativa CORRETA: A) \( 1 \) B) \( 2 \) C) \( \frac{5}{3} \) D) \( \frac{7}{3} \)

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ESTÁCIO

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há 2 anos

Para calcular a integral \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \( x^2 + 2x + 1 \). A antiderivada é: \[ \int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C \] Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1: \[ \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 \] Calculando em \( x = 1 \): \[ \frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{3}{3} = \frac{7}{3} \] Calculando em \( x = 0 \): \[ \frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 = 0 \] Portanto, a integral é: \[ \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{7}{3} - 0 = \frac{7}{3} \] Assim, a alternativa correta é: D) \( \frac{7}{3} \)

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Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(5x)}{x} \).

a) 0
b) 1
c) 5
d) \infty

Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\)?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 0

Calcule \( \int_0^1 (3x^2 + 2) \, dx \)

A) \( \frac{7}{3} \)
B) \( \frac{5}{3} \)
C) \( 1 \)
D) \( 2 \)

Qual é a derivada da função \( f(x) = \tan(3x) \)?

A) \( 3\sec^2(3x) \)
B) \( \sec^2(3x) \)
C) \( 3\sin(3x) \)
D) \( 3\cos(3x) \)

Calcule \(\int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx\).

A) \(\frac{1}{5}\)
B) \(\frac{1}{4}\)
C) \(\frac{1}{3}\)
D) \(\frac{1}{6}\)

Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \)?

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3

Calcule \( \int_0^1 (x^3 + 2x) \, dx \).

A) \( \frac{5}{4} \)
B) \( \frac{1}{4} \)
C) \( \frac{1}{2} \)
D) \( 1 \)

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