Para encontrar a equação reduzida da superfície esférica que tem como extremos do diâmetro os pontos A(1, 2, -3) e B(3, -2, 5), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar o centro da esfera: O centro é o ponto médio do segmento AB. A fórmula para o ponto médio \(M\) entre dois pontos \(A(x_1, y_1, z_1)\) e \(B(x_2, y_2, z_2)\) é: \[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) \] Substituindo os valores: \[ M = \left( \frac{1 + 3}{2}, \frac{2 - 2}{2}, \frac{-3 + 5}{2} \right) = \left( 2, 0, 1 \right) \] 2. Encontrar o raio da esfera: O raio é a metade da distância entre os pontos A e B. A distância \(d\) entre dois pontos \(A\) e \(B\) é dada por: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Calculando a distância: \[ d = \sqrt{(3 - 1)^2 + (-2 - 2)^2 + (5 + 3)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 16 + 64} = \sqrt{84} \] Portanto, o raio \(r\) é: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{84}}{2} = \sqrt{21} \] 3. Escrever a equação da esfera: A equação reduzida da esfera com centro \(M(a, b, c)\) e raio \(r\) é dada por: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2 \] Substituindo \(M(2, 0, 1)\) e \(r^2 = 21\): \[ (x - 2)^2 + (y - 0)^2 + (z - 1)^2 = 21 \] Agora, vamos analisar as alternativas: (A) \((x + 2)^2 + y^2 + (z + 1)^2 = 84\) - Não é a correta. (B) \((x - 4)^2 + (y - 2)^2 + (z - 4)^2 = 8\) - Não é a correta. (C) \((x - 2)^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 84\) - Não é a correta. (D) \((x + 4)^2 + (y + 2)^2 + (z + 4)^2 = 84\) - Não é a correta. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à equação correta da esfera. A equação correta seria \((x - 2)^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 21\). Se precisar de mais ajuda, é só avisar!