Encontre o valor de \(\int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx\). a) \(\frac{1}{4}\) b) \(\frac{1}{3}\) c) \(\frac{5}{12}\) d) \(\frac{1}{2}\)

Para resolver a integral \(\int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx\), vamos calcular a integral passo a passo. 1. Encontrar a antiderivada: - A antiderivada de \(2x^3\) é \(\frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4\). - A antiderivada de \(-3x^2\) é \(-\frac{3}{3}x^3 = -x^3\). - A antiderivada de \(1\) é \(x\). Portanto, a antiderivada de \(2x^3 - 3x^2 + 1\) é: \[ \frac{1}{2}x^4 - x^3 + x \] 2. Avaliar a integral definida de 0 a 1: \[ \int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx = \left[\frac{1}{2}x^4 - x^3 + x\right]_0^1 \] 3. Calcular os limites: - Para \(x = 1\): \[ \frac{1}{2}(1)^4 - (1)^3 + (1) = \frac{1}{2} - 1 + 1 = \frac{1}{2} \] - Para \(x = 0\): \[ \frac{1}{2}(0)^4 - (0)^3 + (0) = 0 \] 4. Subtrair os resultados: \[ \int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} \] Portanto, a resposta correta é: d) \(\frac{1}{2}\)