Determine o limite lim_{x → 0} (1 - sin(8x)/x^2). A) -4 B) 0 C) 1 D) ∞

Para determinar o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin(8x)}{x^2}\), podemos usar a série de Taylor para \(\sin(8x)\) em torno de \(x = 0\): \[ \sin(8x) \approx 8x - \frac{(8x)^3}{6} + O(x^5) \] Substituindo isso na expressão, temos: \[ 1 - \sin(8x) \approx 1 - \left(8x - \frac{(8x)^3}{6}\right) = 1 - 8x + \frac{512x^3}{6} \] Assim, a expressão se torna: \[ \frac{1 - \sin(8x)}{x^2} \approx \frac{1 - 8x + \frac{512x^3}{6}}{x^2} \] Quando \(x\) se aproxima de 0, o termo \(1\) domina, e podemos simplificar: \[ \frac{1}{x^2} - \frac{8}{x} + \frac{512x}{6} \] O limite de \(\frac{1}{x^2}\) quando \(x\) se aproxima de 0 tende a \(\infty\). Portanto, o limite é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin(8x)}{x^2} = \infty \] Assim, a alternativa correta é: D) ∞.