Resolva a equação y'' + 8y' + 16y = 0. A) y = Ae^{-4x} + Be^{-4x} B) y = Ae^{-4x} + Be^{4x} C) y = Ae^{-2x} + Be^{-8x} D) y = Ae^{4x} + Be^{-4x}

Para resolver a equação diferencial \( y'' + 8y' + 16y = 0 \), primeiro precisamos encontrar a equação característica associada, que é dada por: \[ r^2 + 8r + 16 = 0 \] Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorá-la: \[ (r + 4)(r + 4) = 0 \] Isso nos dá uma raiz dupla: \[ r = -4 \] Com uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial é dada por: \[ y = (A + Bx)e^{-4x} \] No entanto, como as alternativas apresentadas não incluem o termo \( Bx \), vamos analisar as opções dadas: A) \( y = Ae^{-4x} + Be^{-4x} \) - Esta opção é a que mais se aproxima da solução, pois representa a raiz dupla. B) \( y = Ae^{-4x} + Be^{4x} \) - Esta opção não é correta, pois a raiz é negativa. C) \( y = Ae^{-2x} + Be^{-8x} \) - Esta opção não é correta, pois as raízes não são -2 e -8. D) \( y = Ae^{4x} + Be^{-4x} \) - Esta opção não é correta, pois a raiz positiva não é parte da solução. Portanto, a alternativa correta é: A) y = Ae^{-4x} + Be^{-4x}.