Para calcular o volume de um prisma hexagonal regular, usamos a fórmula: \[ V = A_b \cdot h \] onde \( V \) é o volume, \( A_b \) é a área da base e \( h \) é a altura do prisma. Dado que a aresta lateral mede 9 cm, essa medida é a altura do prisma (\( h = 9 \) cm). A área lateral do prisma hexagonal é dada por: \[ A_l = P \cdot h \] onde \( P \) é o perímetro da base. Para um hexágono regular, o perímetro é: \[ P = 6 \cdot a \] onde \( a \) é a aresta do hexágono. Sabemos que a área lateral é igual ao triplo da área da base: \[ A_l = 3 \cdot A_b \] A área da base de um hexágono regular é dada por: \[ A_b = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \] Substituindo na equação da área lateral: \[ P \cdot h = 3 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \] Substituindo \( P \): \[ 6a \cdot h = 3 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \] Substituindo \( h = 9 \): \[ 6a \cdot 9 = 3 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \] Resolvendo: \[ 54a = \frac{9\sqrt{3}}{2} a^2 \] Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração: \[ 108a = 9\sqrt{3} a^2 \] Dividindo ambos os lados por \( a \) (considerando \( a \neq 0 \)): \[ 108 = 9\sqrt{3} a \] Isolando \( a \): \[ a = \frac{108}{9\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \] Agora, podemos calcular a área da base: \[ A_b = \frac{3\sqrt{3}}{2} (4\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 48 = 72\sqrt{3} \] Finalmente, calculando o volume: \[ V = A_b \cdot h = 72\sqrt{3} \cdot 9 = 648\sqrt{3} \] Portanto, a resposta correta é: a) 648 \( \sqrt{3} \) cm³.