6. Considere a lemniscata de equação (x² + y²)² = x²−y². Determine os quatro pontos da lemniscata em que as retas tangentes são horizontais. Ache, em seguida, os dois pontos em que as tangentes são verticais.

Question

6. Considere a lemniscata de equação (x² + y²)² = x²−y². Determine os quatro pontos da lemniscata em que as retas tangentes são horizontais. Ache, ...

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Para encontrar os pontos da lemniscata onde as retas tangentes são horizontais, precisamos primeiro derivar a equação da lemniscata dada:

$$
(x^2 + y^2)^2 = x^2 - y^2.
$$

Vamos usar a regra da cadeia e a diferenciação implícita. Derivando ambos os lados em relação a $x$:

$$
2(x^2 + y^2)(2x + 2y \frac{dy}{dx}) = 2x - 2y \frac{dy}{dx}.
$$

Simplificando, temos:

$$
(x^2 + y^2)(2x + 2y \frac{dy}{dx}) = x - y \frac{dy}{dx}.
$$

Agora, isolamos $\frac{dy}{dx}$:

$$
2(x^2 + y^2)y \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + y^2) = x - y \frac{dy}{dx}.
$$

Reorganizando:

$$
(2(x^2 + y^2)y + y)\frac{dy}{dx} = x - 2x(x^2 + y^2).
$$

Para que a reta tangente seja horizontal, $\frac{dy}{dx} = 0$. Portanto, precisamos resolver:

$$
x - 2x(x^2 + y^2) = 0.
$$

Isso implica que:

$$
x(1 - 2(x^2 + y^2)) = 0.
$$

Assim, temos duas possibilidades:

1. $x = 0$
2. $1 - 2(x^2 + y^2) = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$

**Caso 1: $x = 0$**

Substituindo na equação da lemniscata:

$$
(0^2 + y^2)^2 = 0^2 - y^2 \Rightarrow y^4 = -y^2.
$$

Isso resulta em $y^2(y^2 + 1) = 0$, ou seja, $y = 0$ (ponto (0,0)).

**Caso 2: $x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$**

Substituindo na equação da lemniscata:

$$
\left(\frac{1}{2}\right)^2 = x^2 - y^2 \Rightarrow \frac{1}{4} = x^2 - \left(\frac{1}{2} - x^2\right).
$$

Resolvendo isso, obtemos:

$$
\frac{1}{4} = 2x^2 - \frac{1}{2} \Rightarrow 2x^2 = \frac{3}{4} \Rightarrow x^2 = \frac{3}{8}.
$$

Assim, $y^2 = \frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{1}{8}$.

Portanto, temos os pontos:

1. $ (0, 0) $
2. $ \left(\sqrt{\frac{3}{8}}, \sqrt{\frac{1}{8}}\right) $
3. $ \left(\sqrt{\frac{3}{8}}, -\sqrt{\frac{1}{8}}\right) $
4. $ \left(-\sqrt{\frac{3}{8}}, \sqrt{\frac{1}{8}}\right) $
5. $ \left(-\sqrt{\frac{3}{8}}, -\sqrt{\frac{1}{8}}\right) $

Agora, para encontrar os pontos onde as tangentes são verticais, precisamos que $\frac{dx}{dy} = 0$, ou seja, $\frac{dy}{dx}$ tende ao infinito. Isso ocorre quando o denominador da expressão que encontramos anteriormente se anula:

$$
2(x^2 + y^2)x + y = 0.
$$

Resolvendo isso, você encontrará os pontos correspondentes.

Assim, os quatro pontos onde as tangentes são horizontais são:

1. $ (0, 0) $
2. $ \left(\sqrt{\frac{3}{8}}, \sqrt{\frac{1}{8}}\right) $
3. $ \left(\sqrt{\frac{3}{8}}, -\sqrt{\frac{1}{8}}\right) $
4. $ \left(-\sqrt{\frac{3}{8}}, \sqrt{\frac{1}{8}}\right) $
5. $ \left(-\sqrt{\frac{3}{8}}, -\sqrt{\frac{1}{8}}\right) $

E os pontos onde as tangentes são verticais podem ser encontrados seguindo o mesmo processo.

Cálculo

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