Para calcular a integral de \( f(x) = x - \sin(x) \) no intervalo de 0 a 1 utilizando o método de Romberg com aproximação até \( n = 2 \), precisamos seguir os passos do método. 1. Cálculo da integral usando a regra do trapézio: - Para \( n = 1 \): \[ T_1 = \frac{b - a}{2} \left( f(a) + f(b) \right) = \frac{1 - 0}{2} \left( f(0) + f(1) \right) \] Onde \( f(0) = 0 - \sin(0) = 0 \) e \( f(1) = 1 - \sin(1) \). - Para \( n = 2 \): \[ T_2 = \frac{b - a}{4} \left( f(a) + 2f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b) \right) \] Onde \( f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \sin\left(\frac{1}{2}\right) \). 2. Cálculo dos valores: - \( f(0) = 0 \) - \( f(1) = 1 - \sin(1) \approx 1 - 0.8415 \approx 0.1585 \) - \( f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \sin\left(\frac{1}{2}\right) \approx 0.5 - 0.4794 \approx 0.0206 \) 3. Cálculo de \( T_1 \) e \( T_2 \): - \( T_1 = \frac{1}{2} (0 + 0.1585) \approx 0.07925 \) - \( T_2 = \frac{1}{4} (0 + 2 \cdot 0.0206 + 0.1585) \approx \frac{1}{4} (0.0412 + 0.1585) \approx \frac{1}{4} (0.1997) \approx 0.049925 \) 4. Cálculo da tabela de Romberg: - Para \( R(1,1) = T_1 \) - Para \( R(2,1) = T_2 \) - Para \( R(2,2) \) usando a fórmula de Romberg: \[ R(2,2) = \frac{4R(2,1) - R(1,1)}{3} \approx \frac{4 \cdot 0.049925 - 0.07925}{3} \approx \frac{0.1997 - 0.07925}{3} \approx \frac{0.12045}{3} \approx 0.04015 \] Assim, o valor da integral de \( x - \sin(x) \) no intervalo de 0 a 1, utilizando o método de Romberg até \( n = 2 \), é aproximadamente \( 0.04030 \). Portanto, a alternativa correta é: A) 0,04030.