Para resolver essa questão, precisamos usar a conservação da quantidade de movimento, já que o choque é perfeitamente inelástico. Isso significa que, após o choque, as duas massas (M e m) se movem juntas. 1. Conservação da quantidade de movimento: A quantidade de movimento antes do choque deve ser igual à quantidade de movimento após o choque. Antes do choque: - A quantidade de movimento do projétil é \( p_{inicial} = m \cdot v \), onde \( v \) é a velocidade do projétil que queremos encontrar. - A quantidade de movimento da massa M é zero, pois está em repouso. Após o choque: - A quantidade de movimento do sistema (M + m) é \( p_{final} = (M + m) \cdot V \), onde \( V \) é a velocidade do sistema após o choque. 2. Fórmulas: Usando a conservação da quantidade de movimento: \[ m \cdot v = (M + m) \cdot V \] 3. Cálculo da velocidade V: A velocidade \( V \) do sistema após o choque pode ser relacionada à amplitude e à frequência angular da oscilação. A energia potencial máxima em uma mola é dada por: \[ E_p = \frac{1}{2} k A^2 \] E a energia cinética máxima é: \[ E_k = \frac{1}{2} (M + m) V^2 \] A frequência angular \( \omega \) está relacionada à constante da mola \( k \) e à massa total \( (M + m) \) pela fórmula: \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{M + m}} \] Portanto, podemos encontrar \( k \): \[ k = \omega^2 (M + m) = (2)^2 (10 + 2) = 4 \cdot 12 = 48 \, \text{N/m} \] 4. Substituindo na energia: A energia potencial máxima é: \[ E_p = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot (0,4)^2 = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 0,16 = 3,84 \, \text{J} \] Igualando a energia potencial à energia cinética: \[ 3,84 = \frac{1}{2} (10 + 2) V^2 \] \[ 3,84 = 6 V^2 \] \[ V^2 = \frac{3,84}{6} = 0,64 \] \[ V = \sqrt{0,64} = 0,8 \, \text{m/s} \] 5. Substituindo na conservação da quantidade de movimento: Agora, substituímos \( V \) na equação da quantidade de movimento: \[ m \cdot v = (M + m) \cdot V \] \[ 2 \cdot v = (10 + 2) \cdot 0,8 \] \[ 2v = 12 \cdot 0,8 = 9,6 \] \[ v = \frac{9,6}{2} = 4,8 \, \text{m/s} \] Portanto, a velocidade do projétil antes do choque é d) 4,8.