Dois veículos partem simultaneamente de um ponto P de uma pista circular, porém em direções opostas. Um deles corre ao ritmo de 5 metros por segundo, e o outro, ao ritmo de 9 metros por segundo. Se os veículos param quando se encontrarem pela primeira vez no ponto P, o número de vezes que eles terão se encontrado durante o percurso, sem contar os encontros da partida e da chegada, é igual a

a) 45.
b) 44.
c) 25.
d) 17.
e) 13.

Question

Dois veículos partem simultaneamente de um ponto P de uma pista circular, porém em direções opostas. Um deles corre ao ritmo de 5 metros por segund...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, precisamos calcular a velocidade relativa dos dois veículos e o tempo que eles levam para se encontrar.

1. **Velocidades dos veículos**:
   - Veículo 1: 5 m/s
   - Veículo 2: 9 m/s

2. **Velocidade relativa**:
   Como eles estão se movendo em direções opostas, somamos as velocidades:
   $$
   V_{relativa} = 5 + 9 = 14 \text{ m/s}
   $$

3. **Cálculo do tempo até o primeiro encontro**:
   Para que eles se encontrem no ponto P, eles precisam percorrer a circunferência da pista. Vamos considerar que a pista tem um comprimento $C$. O tempo $t$ para o primeiro encontro é dado por:
   $$
   t = \frac{C}{V_{relativa}} = \frac{C}{14}
   $$

4. **Número de encontros**:
   Durante o tempo $t$, cada veículo percorre uma certa distância. O veículo 1 percorre:
   $$
   d_1 = 5 \cdot t = 5 \cdot \frac{C}{14} = \frac{5C}{14}
   $$
   E o veículo 2 percorre:
   $$
   d_2 = 9 \cdot t = 9 \cdot \frac{C}{14} = \frac{9C}{14}
   $$

O total percorrido pelos dois veículos até se encontrarem no ponto P é $C$. Para saber quantas vezes eles se encontram antes de voltarem ao ponto P, precisamos calcular quantas voltas cada um dá na pista.

5. **Número de voltas**:
   O veículo 1 dá:
   $$
   \text{Voltas do veículo 1} = \frac{d_1}{C} = \frac{5C/14}{C} = \frac{5}{14}
   $$
   O veículo 2 dá:
   $$
   \text{Voltas do veículo 2} = \frac{d_2}{C} = \frac{9C/14}{C} = \frac{9}{14}
   $$

O número total de encontros (sem contar a partida e a chegada) é a soma das voltas que eles dão:
   $$
   \text{Total de encontros} = \left(\frac{5}{14} + \frac{9}{14}\right) = 1
   $$

Para saber quantas vezes eles se encontram antes de voltarem ao ponto P, multiplicamos o número total de voltas por 14 (já que a velocidade relativa é 14 m/s):
   $$
   \text{Encontros} = \frac{C}{\text{distância total}} = \frac{C}{C/14} = 14
   $$

Portanto, eles se encontram 13 vezes antes de voltarem ao ponto P.

Assim, a resposta correta é: **e) 13**.

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Aumentando a base de um triângulo em 10% e reduzindo a altura relativa a essa base em 10%, a área do triângulo

a) aumenta em 1%.
b) aumenta em 0,5%.
c) diminui em 0,5%.
d) diminui em 1%.
e) não se altera.

Se a média aritmética entre dois números é 15 e sua média geométrica é 12, então, uma equação cujas duas raízes reais sejam esses dois números é

a) 2x² – 60x + 37 = 0.
b) x² – 30x + 120 = 0.
c) x² – 30x + 144 = 0.
d) x² + 6x + 120 = 0.
e) 2x² + 12x – 15 = 0.

Seja f uma função de ℕ* → ℕ tal que f(n + 1) = e f(1) = 2. Nessas condições, f(101) é igual a

a) 49.
b) 50.
c) 51.
d) 52.
e) 53.

Seja (x,y) um par ordenado de números reais que satisfaz a equação (x – 3)² + (y – 3)² = 6. O maior valor possível de é

a) 2 + √3.
b) 3√3.
c) 3 + 2√2.
d) 6.
e) 6 + 2√3.

No triângulo ABC, AB = 13, BC = 14, CA = 15, M é ponto médio de AB, e H é o pé da altura do triângulo ABC do vértice A até a base BC. Nas condições dadas, o perímetro do triângulo BMH é igual a

a) 16.
b) 17.
c) 18.
d) 19.
e) 20.

Cada lado congruente de um triângulo isósceles mede 10 cm, e o ângulo agudo definido por esses lados mede α graus. Se sen α = 3cos α, a área desse triângulo, em cm², é igual a

a) 15√10.
b) 12√10.
c) 9√10.
d) 15√3.
e) 12√3.

Seja P(x) = x² + bx + c, com b e c inteiros. Se P(x) é fator de T(x) = x⁴ + 6x² + 25 e de S(x) = 3x⁴ + 4x² + 28x + 5, então, P(1) é igual a

a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.

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Aumentando a base de um triângulo em 10% e reduzindo a altura relativa a essa base em 10%, a área do triânguloa) aumenta em 1%.b) aumenta em 0,5%.c) diminui em 0,5%.d) diminui em 1%.e) não se altera.

Se a média aritmética entre dois números é 15 e sua média geométrica é 12, então, uma equação cujas duas raízes reais sejam esses dois números éa) 2x² – 60x + 37 = 0.b) x² – 30x + 120 = 0.c) x² – 30x + 144 = 0.d) x² + 6x + 120 = 0.e) 2x² + 12x – 15 = 0.

Seja f uma função de ℕ* → ℕ tal que f(n + 1) = e f(1) = 2. Nessas condições, f(101) é igual aa) 49.b) 50.c) 51.d) 52.e) 53.

Seja (x,y) um par ordenado de números reais que satisfaz a equação (x – 3)² + (y – 3)² = 6. O maior valor possível de éa) 2 + √3.b) 3√3.c) 3 + 2√2.d) 6.e) 6 + 2√3.

No triângulo ABC, AB = 13, BC = 14, CA = 15, M é ponto médio de AB, e H é o pé da altura do triângulo ABC do vértice A até a base BC. Nas condições dadas, o perímetro do triângulo BMH é igual aa) 16.b) 17.c) 18.d) 19.e) 20.

Cada lado congruente de um triângulo isósceles mede 10 cm, e o ângulo agudo definido por esses lados mede α graus. Se sen α = 3cos α, a área desse triângulo, em cm², é igual aa) 15√10.b) 12√10.c) 9√10.d) 15√3.e) 12√3.

Seja P(x) = x² + bx + c, com b e c inteiros. Se P(x) é fator de T(x) = x⁴ + 6x² + 25 e de S(x) = 3x⁴ + 4x² + 28x + 5, então, P(1) é igual aa) 0.b) 1.c) 2.d) 3.e) 4.

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a) aumenta em 1%.
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d) diminui em 1%.
e) não se altera.

Se a média aritmética entre dois números é 15 e sua média geométrica é 12, então, uma equação cujas duas raízes reais sejam esses dois números é

a) 2x² – 60x + 37 = 0.
b) x² – 30x + 120 = 0.
c) x² – 30x + 144 = 0.
d) x² + 6x + 120 = 0.
e) 2x² + 12x – 15 = 0.

Seja f uma função de ℕ* → ℕ tal que f(n + 1) = e f(1) = 2. Nessas condições, f(101) é igual a

a) 49.
b) 50.
c) 51.
d) 52.
e) 53.

Seja (x,y) um par ordenado de números reais que satisfaz a equação (x – 3)² + (y – 3)² = 6. O maior valor possível de é

a) 2 + √3.
b) 3√3.
c) 3 + 2√2.
d) 6.
e) 6 + 2√3.

No triângulo ABC, AB = 13, BC = 14, CA = 15, M é ponto médio de AB, e H é o pé da altura do triângulo ABC do vértice A até a base BC. Nas condições dadas, o perímetro do triângulo BMH é igual a

a) 16.
b) 17.
c) 18.
d) 19.
e) 20.

Cada lado congruente de um triângulo isósceles mede 10 cm, e o ângulo agudo definido por esses lados mede α graus. Se sen α = 3cos α, a área desse triângulo, em cm², é igual a

a) 15√10.
b) 12√10.
c) 9√10.
d) 15√3.
e) 12√3.

Seja P(x) = x² + bx + c, com b e c inteiros. Se P(x) é fator de T(x) = x⁴ + 6x² + 25 e de S(x) = 3x⁴ + 4x² + 28x + 5, então, P(1) é igual a

a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.