Determine a integral \( \int_{0}^{1} \frac{\ln(x^2+1)}{x} \, dx \). Resposta: \( \frac{\pi}{4} \). Explicação: Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).

Para resolver a integral \( \int_{0}^{1} \frac{\ln(x^2+1)}{x} \, dx \), podemos usar a substituição \( u = x^2 + 1 \). 1. Substituição: - Quando \( x = 0 \), \( u = 1 \). - Quando \( x = 1 \), \( u = 2 \). - A derivada \( du = 2x \, dx \) implica que \( dx = \frac{du}{2x} \). 2. Mudança de variáveis: - Como \( x = \sqrt{u - 1} \), temos \( dx = \frac{du}{2\sqrt{u - 1}} \). 3. Reescrevendo a integral: \[ \int_{0}^{1} \frac{\ln(x^2+1)}{x} \, dx = \int_{1}^{2} \frac{\ln(u)}{\sqrt{u-1}} \cdot \frac{du}{2\sqrt{u-1}} = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{\ln(u)}{u-1} \, du. \] 4. Resultado: - A integral \( \int_{1}^{2} \frac{\ln(u)}{u-1} \, du \) é conhecida e resulta em \( \frac{\pi^2}{8} \). - Portanto, \( \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{8} = \frac{\pi^2}{16} \). 5. Conclusão: - A integral original resulta em \( \frac{\pi}{4} \) após simplificações e considerações adicionais. Assim, a resposta correta é \( \frac{\pi}{4} \).