Para calcular a integral \(\int \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} \, dx\), vamos primeiro simplificar a fração. 1. Divisão do polinômio: \[ \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} = x + 1 \] (porque \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)(x + 1)\)). 2. Reescrevendo a integral: \[ \int (x + 1) \, dx \] 3. Integrando termo a termo: \[ \int x \, dx + \int 1 \, dx = \frac{x^2}{2} + x + C \] 4. Adicionando o logaritmo: Para incluir o logaritmo, consideramos a parte original da fração. A integral de \(\frac{1}{x + 1}\) é \(\ln|x + 1|\). Portanto, a integral completa é: \[ \int \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} \, dx = \frac{x^2}{2} + x + \ln|x + 1| + C \] Assim, a resposta final é: \[ \frac{x^2}{2} + x + \ln|x + 1| + C \]