Calcule a integral \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx\). Resposta: \(\sinh^{-1}(x) + C\). Explicação: Use a substituição \(x = \sinh(t)\).

Para calcular a integral \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx\), podemos usar a substituição \(x = \sinh(t)\). 1. Substituição: Se \(x = \sinh(t)\), então \(dx = \cosh(t) \, dt\). 2. Identidade: Usando a identidade \(\sqrt{\sinh^2(t) + 1} = \cosh(t)\), a integral se torna: \[ \int \frac{\cosh(t)}{\cosh(t)} \, dt = \int dt = t + C. \] 3. Retornando à variável original: Como \(t = \sinh^{-1}(x)\), temos: \[ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx = \sinh^{-1}(x) + C. \] Portanto, a resposta correta é \(\sinh^{-1}(x) + C\).