Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = xy \). Resposta: \(y = Ce^{\frac{x^2}{2}}\)

Para resolver a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = xy \), podemos usar o método de separação de variáveis. Vamos seguir os passos: 1. Separar as variáveis: \[ \frac{dy}{y} = x \, dx \] 2. Integrar ambos os lados: \[ \int \frac{dy}{y} = \int x \, dx \] Isso resulta em: \[ \ln |y| = \frac{x^2}{2} + C \] 3. Resolver para \(y\): Elevando ambos os lados à base \(e\): \[ |y| = e^{\frac{x^2}{2} + C} = e^{\frac{x^2}{2}} \cdot e^C \] Podemos substituir \(e^C\) por uma constante \(C'\): \[ y = C'e^{\frac{x^2}{2}} \] 4. Considerando a constante \(C\): Assim, a solução geral é: \[ y = Ce^{\frac{x^2}{2}} \] onde \(C\) é uma constante arbitrária. Portanto, a resposta está correta: \(y = Ce^{\frac{x^2}{2}}\).