Resolva a equação \(x^2 + x - 12 = 0\). Resposta: \(x = 3\) e \(x = -4\). Explicação: Fatorize a equação como \((x - 3)(x + 4) = 0\).

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Para resolver a equação \(x^2 + x - 12 = 0\), você pode fatorá-la. 1. Identifique os fatores: Precisamos encontrar dois números que multiplicados dão \(-12\) e somados dão \(1\). Esses números são \(4\) e \(-3\). 2. Fatoração: A equação pode ser escrita como: \[ (x - 3)(x + 4) = 0 \] 3. Resolvendo cada fator: - \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\) - \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\) Portanto, as soluções são: \[ x = 3 \quad \text{e} \quad x = -4 \]

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Resolva a equação \(2x^2 - 5x + 3 = 0\).

\(x = 1\) e \(x = \frac{3}{2}\).
Explicação: Use a fórmula quadrática \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), onde \(a = 2\), \(b = -5\), e \(c = 3\). Calculando o discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac = 25 - 24 = 1\), temos \(x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{4}\.

Resolva o sistema de equações: \(\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\).

Resposta: \(x = 1\), \(y = \frac{1}{4}\).
Explicação: Use substituição ou eliminação. Multiplique a segunda equação por 4 e subtraia da primeira.

Determine os valores de \(a\) para os quais a equação \(x^2 - (2a - 1)x + a^2 = 0\) tem raízes reais iguais.

Resposta: \(a = \frac{1}{2}\).
Explicação: Para ter raízes reais iguais, o discriminante deve ser zero: \(\Delta = (2a - 1)^2 - 4a^2 = 0\). Resolva a equação resultante.

Encontre o valor de \(k\) para o qual o sistema \(\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x + ky = 6 \end{cases}\) tem infinitas soluções.

Resposta: \(k = 2\).
Explicação: As equações devem ser múltiplos uma da outra. Para isso, \(k\) deve ser tal que a segunda equação seja uma múltipla da primeira.

Resolva a inequação \(2x^2 - 3x - 2 < 0\).

Resposta: \(-\frac{1}{2} < x < 2\).
Explicação: Encontre as raízes da equação quadrática associada e determine os intervalos onde a parábola está abaixo do eixo \(x\).

Encontre os valores de \(x\) que satisfazem \(3x^2 - 12x + 12 = 0\).

Resposta: \(x = 2\).
Explicação: Use a fórmula quadrática. O discriminante é zero, então há uma única solução.

Resolva o sistema de equações: \(\begin{cases} 4x - 3y = 1 \\ 2x + y = 4 \end{cases}\).

Resposta: \(x = 2\), \(y = 0\).
Explicação: Use substituição ou eliminação para resolver.

Encontre os valores de \(x\) que satisfazem a equação \(x^3 - 4x = 0\).

Resposta: \(x = 0\), \(x = 2\), \(x = -2\).
Explicação: Fatorize a equação \(x(x^2 - 4) = 0\) e resolva para \(x\).

Resolva a equação \(x^2 + 6x + 9 = 0\).

Resposta: \(x = -3\).
Explicação: A equação é um quadrado perfeito \((x + 3)^2 = 0\), então \(x = -3\).

Encontre os valores de \(x\) para os quais a função \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) é positiva.

Resposta: \(x < 1\) ou \(x > 3\).
Explicação: Fatorize a função como \((x - 1)(x - 3)\) e determine onde o produto é positivo.

Cálculo

Resolva a equação \(x^2 + x - 12 = 0\). Resposta: \(x = 3\) e \(x = -4\). Explicação: Fatorize a equação como \((x - 3)(x + 4) = 0\).

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Resolva o sistema de equações: \(\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\).

Resposta: \(x = 1\), \(y = \frac{1}{4}\).
Explicação: Use substituição ou eliminação. Multiplique a segunda equação por 4 e subtraia da primeira.

Determine os valores de \(a\) para os quais a equação \(x^2 - (2a - 1)x + a^2 = 0\) tem raízes reais iguais.

Resposta: \(a = \frac{1}{2}\).
Explicação: Para ter raízes reais iguais, o discriminante deve ser zero: \(\Delta = (2a - 1)^2 - 4a^2 = 0\). Resolva a equação resultante.

Encontre o valor de \(k\) para o qual o sistema \(\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x + ky = 6 \end{cases}\) tem infinitas soluções.

Resposta: \(k = 2\).
Explicação: As equações devem ser múltiplos uma da outra. Para isso, \(k\) deve ser tal que a segunda equação seja uma múltipla da primeira.

Resolva a inequação \(2x^2 - 3x - 2 < 0\).

Resposta: \(-\frac{1}{2} < x < 2\).
Explicação: Encontre as raízes da equação quadrática associada e determine os intervalos onde a parábola está abaixo do eixo \(x\).

Encontre os valores de \(x\) que satisfazem \(3x^2 - 12x + 12 = 0\).

Resposta: \(x = 2\).
Explicação: Use a fórmula quadrática. O discriminante é zero, então há uma única solução.

Resolva o sistema de equações: \(\begin{cases} 4x - 3y = 1 \\ 2x + y = 4 \end{cases}\).

Resposta: \(x = 2\), \(y = 0\).
Explicação: Use substituição ou eliminação para resolver.

Encontre os valores de \(x\) que satisfazem a equação \(x^3 - 4x = 0\).

Resposta: \(x = 0\), \(x = 2\), \(x = -2\).
Explicação: Fatorize a equação \(x(x^2 - 4) = 0\) e resolva para \(x\).

Resolva a equação \(x^2 + 6x + 9 = 0\).

Resposta: \(x = -3\).
Explicação: A equação é um quadrado perfeito \((x + 3)^2 = 0\), então \(x = -3\).

Encontre os valores de \(x\) para os quais a função \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) é positiva.

Resposta: \(x < 1\) ou \(x > 3\).
Explicação: Fatorize a função como \((x - 1)(x - 3)\) e determine onde o produto é positivo.

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Resolva o sistema de equações: \(\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\).Resposta: \(x = 1\), \(y = \frac{1}{4}\).Explicação: Use substituição ou eliminação. Multiplique a segunda equação por 4 e subtraia da primeira.

Determine os valores de \(a\) para os quais a equação \(x^2 - (2a - 1)x + a^2 = 0\) tem raízes reais iguais.Resposta: \(a = \frac{1}{2}\).Explicação: Para ter raízes reais iguais, o discriminante deve ser zero: \(\Delta = (2a - 1)^2 - 4a^2 = 0\). Resolva a equação resultante.

Encontre o valor de \(k\) para o qual o sistema \(\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x + ky = 6 \end{cases}\) tem infinitas soluções.Resposta: \(k = 2\).Explicação: As equações devem ser múltiplos uma da outra. Para isso, \(k\) deve ser tal que a segunda equação seja uma múltipla da primeira.

Resolva a inequação \(2x^2 - 3x - 2 < 0\).Resposta: \(-\frac{1}{2} < x < 2\).Explicação: Encontre as raízes da equação quadrática associada e determine os intervalos onde a parábola está abaixo do eixo \(x\).

Encontre os valores de \(x\) que satisfazem \(3x^2 - 12x + 12 = 0\).Resposta: \(x = 2\).Explicação: Use a fórmula quadrática. O discriminante é zero, então há uma única solução.

Resolva o sistema de equações: \(\begin{cases} 4x - 3y = 1 \\ 2x + y = 4 \end{cases}\).Resposta: \(x = 2\), \(y = 0\).Explicação: Use substituição ou eliminação para resolver.

Encontre os valores de \(x\) que satisfazem a equação \(x^3 - 4x = 0\).Resposta: \(x = 0\), \(x = 2\), \(x = -2\).Explicação: Fatorize a equação \(x(x^2 - 4) = 0\) e resolva para \(x\).

Resolva a equação \(x^2 + 6x + 9 = 0\).Resposta: \(x = -3\).Explicação: A equação é um quadrado perfeito \((x + 3)^2 = 0\), então \(x = -3\).

Encontre os valores de \(x\) para os quais a função \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) é positiva.Resposta: \(x < 1\) ou \(x > 3\).Explicação: Fatorize a função como \((x - 1)(x - 3)\) e determine onde o produto é positivo.

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Resolva o sistema de equações: \(\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\).

Resposta: \(x = 1\), \(y = \frac{1}{4}\).
Explicação: Use substituição ou eliminação. Multiplique a segunda equação por 4 e subtraia da primeira.

Determine os valores de \(a\) para os quais a equação \(x^2 - (2a - 1)x + a^2 = 0\) tem raízes reais iguais.

Resposta: \(a = \frac{1}{2}\).
Explicação: Para ter raízes reais iguais, o discriminante deve ser zero: \(\Delta = (2a - 1)^2 - 4a^2 = 0\). Resolva a equação resultante.

Encontre o valor de \(k\) para o qual o sistema \(\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x + ky = 6 \end{cases}\) tem infinitas soluções.

Resposta: \(k = 2\).
Explicação: As equações devem ser múltiplos uma da outra. Para isso, \(k\) deve ser tal que a segunda equação seja uma múltipla da primeira.

Resolva a inequação \(2x^2 - 3x - 2 < 0\).

Resposta: \(-\frac{1}{2} < x < 2\).
Explicação: Encontre as raízes da equação quadrática associada e determine os intervalos onde a parábola está abaixo do eixo \(x\).

Encontre os valores de \(x\) que satisfazem \(3x^2 - 12x + 12 = 0\).

Resposta: \(x = 2\).
Explicação: Use a fórmula quadrática. O discriminante é zero, então há uma única solução.

Resolva o sistema de equações: \(\begin{cases} 4x - 3y = 1 \\ 2x + y = 4 \end{cases}\).

Resposta: \(x = 2\), \(y = 0\).
Explicação: Use substituição ou eliminação para resolver.

Encontre os valores de \(x\) que satisfazem a equação \(x^3 - 4x = 0\).

Resposta: \(x = 0\), \(x = 2\), \(x = -2\).
Explicação: Fatorize a equação \(x(x^2 - 4) = 0\) e resolva para \(x\).

Resolva a equação \(x^2 + 6x + 9 = 0\).

Resposta: \(x = -3\).
Explicação: A equação é um quadrado perfeito \((x + 3)^2 = 0\), então \(x = -3\).

Encontre os valores de \(x\) para os quais a função \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) é positiva.

Resposta: \(x < 1\) ou \(x > 3\).
Explicação: Fatorize a função como \((x - 1)(x - 3)\) e determine onde o produto é positivo.