Considere a função f(x) = x³ - 3x² + 4. Qual é o valor de x que minimiza a função no intervalo [0, 3]? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

Para encontrar o valor de \( x \) que minimiza a função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \) no intervalo \([0, 3]\), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a derivada da função: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x \] 2. Igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] Os pontos críticos são \( x = 0 \) e \( x = 2 \). 3. Avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo: - \( f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4 \) - \( f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \) - \( f(3) = 3^3 - 3(3)^2 + 4 = 27 - 27 + 4 = 4 \) 4. Comparar os valores: - \( f(0) = 4 \) - \( f(2) = 0 \) - \( f(3) = 4 \) O valor mínimo da função no intervalo \([0, 3]\) ocorre em \( x = 2 \). Portanto, a alternativa correta é: c) 2.