Vamos analisar a primeira parte da sua pergunta sobre determinantes. Dado que \( \text{det}(A) = 5 \) e \( \text{det}(B) \) tal que \( \text{det}(A) \cdot \text{det}(B) = 1 \), podemos deduzir que \( \text{det}(B) = \frac{1}{5} \). Quando multiplicamos uma matriz por um escalar, o determinante é multiplicado pelo escalar elevado à ordem da matriz. Assim: - Para \( 3A \) (matriz de ordem 2): \[ \text{det}(3A) = 3^2 \cdot \text{det}(A) = 9 \cdot 5 = 45 \] - Para \( 3B \) (matriz de ordem 3): \[ \text{det}(3B) = 3^3 \cdot \text{det}(B) = 27 \cdot \frac{1}{5} = \frac{27}{5} \] Agora, calculando \( \text{det}(3A) \cdot \text{det}(3B) \): \[ \text{det}(3A) \cdot \text{det}(3B) = 45 \cdot \frac{27}{5} = 9 \cdot 27 = 243 \] Portanto, a resposta correta para a primeira parte é: C. ( ) 243. Agora, sobre a segunda parte da sua pergunta, precisamos determinar a dimensão da imagem do operador linear \( T(x, y, z) = (z, x - y, -z) \). Para encontrar a dimensão da imagem, podemos observar que a imagem é gerada pelos vetores resultantes da aplicação de \( T \) em vetores da base canônica de \( \mathbb{R}^3 \). Ao aplicar \( T \) em vetores da forma \( (1, 0, 0) \), \( (0, 1, 0) \) e \( (0, 0, 1) \), obtemos: - \( T(1, 0, 0) = (0, 1, 0) \) - \( T(0, 1, 0) = (0, -1, 0) \) - \( T(0, 0, 1) = (1, 0, -1) \) Os vetores resultantes são linearmente independentes, e a imagem é gerada por 2 vetores distintos, portanto a dimensão da imagem é 2. Assim, a resposta correta para a segunda parte é: B. ( ) 2.