Qual é o resultado da integral \( \int_0^1 (x^2 + x + 1) \, dx \)? A) \( \frac{5}{6} \) B) \( \frac{1}{3} \) C) \( \frac{1}{2} \) D) \( 1 \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (x^2 + x + 1) \, dx \), vamos calcular passo a passo. 1. Encontrar a antiderivada: - A antiderivada de \( x^2 \) é \( \frac{x^3}{3} \). - A antiderivada de \( x \) é \( \frac{x^2}{2} \). - A antiderivada de \( 1 \) é \( x \). Portanto, a antiderivada de \( x^2 + x + 1 \) é: \[ F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \] 2. Avaliar a integral de 0 a 1: \[ \int_0^1 (x^2 + x + 1) \, dx = F(1) - F(0) \] Calculando \( F(1) \): \[ F(1) = \frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 \] Para somar, vamos encontrar um denominador comum, que é 6: \[ F(1) = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{6}{6} = \frac{2 + 3 + 6}{6} = \frac{11}{6} \] Agora, \( F(0) = 0 \). 3. Resultado da integral: \[ \int_0^1 (x^2 + x + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{11}{6} - 0 = \frac{11}{6} \] Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado correto. Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas.