Para resolver o exercício, vamos seguir os passos para construir os polinômios ortogonais monicos \( p_k \) e deduzir a fórmula de quadratura Gaussiana de 3 pontos. 1. Construção dos Polinômios Ortogonais: - O primeiro polinômio \( p_0(x) \) é simplesmente 1. - Para \( p_1(x) \), usamos a relação de recorrência: \[ p_1(x) = x \] - Para \( p_2(x) \), aplicamos a relação de recorrência: \[ p_2(x) = x^2 - \frac{1}{2} \] - Para \( p_3(x) \): \[ p_3(x) = x^3 - \frac{3}{2}x \] 2. Fórmula de Quadratura Gaussiana de 3 Pontos: - A quadratura de Gauss para 3 pontos é dada por: \[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} f(x) dx \approx w_1 f(x_1) + w_2 f(x_2) + w_3 f(x_3) \] - Os pontos \( x_i \) e os pesos \( w_i \) podem ser encontrados a partir dos polinômios ortogonais. Para \( n = 3 \), os pontos são \( x_1 = -\sqrt{\frac{3}{5}}, x_2 = 0, x_3 = \sqrt{\frac{3}{5}} \) e os pesos são \( w_1 = w_3 = \frac{5}{9}, w_2 = \frac{8}{9} \). Assim, a fórmula de quadratura Gaussiana de 3 pontos para a integral é: \[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} f(x) dx \approx \frac{5}{9} f\left(-\sqrt{\frac{3}{5}}\right) + \frac{8}{9} f(0) + \frac{5}{9} f\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right) \] Espero que isso ajude! Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!