Determine: b. tg θ, sabendo que −π/2 < θ < 0 e sec θ = 5/3.

Para resolver a questão, sabemos que \( \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \). Portanto, se \( \sec \theta = \frac{5}{3} \), temos: \[ \cos \theta = \frac{3}{5} \] Como \( -\frac{\pi}{2} < \theta < 0 \), sabemos que \( \theta \) está no quarto quadrante, onde o seno é negativo. Usando a relação fundamental da trigonometria: \[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \] Substituindo \( \cos \theta \): \[ \sin^2 \theta + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \theta + \frac{9}{25} = 1 \] \[ \sin^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] Portanto, \( \sin \theta = -\frac{4}{5} \) (negativo porque estamos no quarto quadrante). Agora, para encontrar \( \tan \theta \): \[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3} \] E, como \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \), temos: \[ \tg \theta = -\frac{4}{3} \] Portanto, a resposta é: \[ \tg \theta = -\frac{4}{3} \]