Calcule n na equação n! = 12.(n – 2)!

Para resolver a equação \( n! = 12 \cdot (n - 2)! \), podemos simplificar a equação. 1. Lembre-se que \( n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)! \). 2. Substituindo na equação, temos: \[ n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)! = 12 \cdot (n - 2)! \] 3. Podemos cancelar \( (n - 2)! \) dos dois lados (desde que \( n \geq 2 \)): \[ n \cdot (n - 1) = 12 \] 4. Agora, resolvemos a equação: \[ n^2 - n - 12 = 0 \] 5. Usando a fórmula de Bhaskara: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 1 \), \( b = -1 \) e \( c = -12 \): \[ n = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} \] \[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} \] \[ n = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} \] \[ n = \frac{1 \pm 7}{2} \] 6. As soluções são: \[ n = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{ou} \quad n = \frac{-6}{2} = -3 \] Como \( n \) deve ser um número natural, a única solução válida é: \[ \boxed{4} \]