Para resolver essa questão, vamos analisar a condição dada: \( \langle A\mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, B\mathbf{y} \rangle \) para todos os vetores \( \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^2 \). O produto interno euclidiano em \( \mathbb{R}^2 \) é dado por \( \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \mathbf{u}^T \mathbf{v} \). Assim, podemos reescrever a condição como: \[ (A\mathbf{x})^T \mathbf{y} = \mathbf{x}^T (B\mathbf{y}) \] Isso deve ser verdadeiro para todos os vetores \( \mathbf{x} \) e \( \mathbf{y} \). Se escolhermos \( \mathbf{y} = \mathbf{e_1} \) (o vetor unitário na direção x) e \( \mathbf{y} = \mathbf{e_2} \) (o vetor unitário na direção y), podemos deduzir que a matriz \( B \) deve ser a transposta de \( A \) para que a igualdade se mantenha para todos os vetores. Portanto, a opção correta é: (a) B = A^T.