6. Considere o campo de força central −→g (x, y) = f(||−→r ||)−→r, onde f : R → R é uma função derivável e −→r = x −→i + y −→j. Calcule rot−→g.

Para calcular o rotacional do campo de força central \(\vec{g}(x, y) = f(||\vec{r}||) \vec{r}\), onde \(\vec{r} = x \vec{i} + y \vec{j}\), precisamos usar a definição do rotacional em duas dimensões. O rotacional em duas dimensões é dado por: \[ \text{rot} \, \vec{g} = \frac{\partial g_2}{\partial x} - \frac{\partial g_1}{\partial y} \] onde \(\vec{g} = (g_1, g_2)\). Aqui, temos: - \(g_1 = f(||\vec{r}||) x\) - \(g_2 = f(||\vec{r}||) y\) Agora, precisamos calcular as derivadas: 1. Cálculo de \(\frac{\partial g_2}{\partial x}\): \[ g_2 = f(\sqrt{x^2 + y^2}) y \] Usando a regra da cadeia: \[ \frac{\partial g_2}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \frac{\partial r}{\partial x} \cdot y + f(r) \cdot 0 \] onde \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) e \(\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\). Assim, temos: \[ \frac{\partial g_2}{\partial x} = f'(\sqrt{x^2 + y^2}) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot y \] 2. Cálculo de \(\frac{\partial g_1}{\partial y}\): \[ g_1 = f(\sqrt{x^2 + y^2}) x \] Usando a mesma abordagem: \[ \frac{\partial g_1}{\partial y} = f'(\sqrt{x^2 + y^2}) \cdot \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot x \] Agora, substituindo na fórmula do rotacional: \[ \text{rot} \, \vec{g} = f'(\sqrt{x^2 + y^2}) \cdot \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} - f'(\sqrt{x^2 + y^2}) \cdot \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} \] Portanto, temos: \[ \text{rot} \, \vec{g} = 0 \] Assim, o rotacional do campo de força central \(\vec{g}\) é zero.