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9. Qual é a integral de ∫ x * e^{x} dx?
a) x e^{x} - e^{x} + C
b) x e^{x} + e^{x} + C
c) e^{x}
d) x e^{x} - e^{x}
Resposta: a) x e^{x} - e^{x} + C
Explicação: Usando a integração por partes com u = x e dv = e^x dx, obtemos ∫ x e^x dx = x e^x - ∫ e^x dx = x e^x - e^x + C.
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ESTÁCIO

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A integral de ∫ x * e^{x} dx pode ser resolvida utilizando integração por partes, onde se escolhe partes da função para serem "u" e "dv". Neste caso, podemos escolher u = x e dv = e^{x} dx. Aplicando a fórmula de integração por partes ∫ u dv = u*v - ∫ v du, temos: ∫ x * e^{x} dx = x * e^{x} - ∫ 1 * e^{x} dx ∫ x * e^{x} dx = x * e^{x} - e^{x} + C Portanto, a alternativa correta é a) x e^{x} - e^{x} + C.

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2. Qual é a integral de ∫ (3x^2 - 4x + 1) dx?
a) x^3 - 2x^2 + x + C
b) x^3 - 2x^2 + x
c) x^3 - 2x^2 + C
d) x^3 - 2x^2 + x - C
Resposta: a) x^3 - 2x^2 + x + C
Explicação: Integrando termo a termo, temos ∫ 3x^2 dx = x^3, ∫ -4x dx = -2x^2, e ∫ 1 dx = x. Portanto, a integral é x^3 - 2x^2 + x + C.

3. Qual é a integral de ∫ 1/x dx?
a) ln|x| + C
b) x ln|x| + C
c) ln x + C
d) 1/x + C
Resposta: a) ln|x| + C
Explicação: A integral de 1/x é ln|x| + C.

4. Qual é a derivada de sin(x^2)?
a) 2x cos(x^2)
b) cos(x^2)
c) 2x sin(x^2)
d) sin(x^2)
Resposta: a) 2x cos(x^2)
Explicação: Usando a regra da cadeia, a derivada de sin(u) onde u = x^2 é 2x cos(x^2).

5. Qual é a integral de ∫ e^{3x} dx?
a) e^{3x}/3 + C
b) e^{3x} + C
c) e^{3x}/2 + C
d) 3e^{3x} + C
Resposta: a) e^{3x}/3 + C
Explicação: A integral de e^{kx} é e^{kx}/k + C. Aqui, k = 3, então a integral é e^{3x}/3 + C.

7. Qual é a integral de ∫ 1/x^2 dx?
a) -1/x + C
b) 1/x + C
c) -1/x^2 + C
d) 1/x^2 + C
Resposta: a) -1/x + C
Explicação: ∫ x^{-2} dx = x^{-1}/-1 + C = -1/x + C.

8. Qual é a derivada de cos(3x)?
a) -3 sin(3x)
b) 3 sin(3x)
c) -sin(3x)
d) 3 cos(3x)
Resposta: a) -3 sin(3x)
Explicação: Usando a regra da cadeia, a derivada de cos(u) onde u = 3x é -sin(3x) * d/dx(3x) = -3 sin(3x).

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