Problema: Calcule a integral ∫(0,2) x/(x^2 + 1) dx. a) ln(√5 + 2) b) ln(√5 - 2) c) ln(5 + 2) d) ln(5 - 2)

Para resolver a integral dada, podemos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos substituir x por tangente de θ. Assim, temos: x = tan(θ) dx = sec²(θ) dθ x² + 1 = tan²(θ) + 1 = sec²(θ) Substituindo na integral, temos: ∫(0,2) x/(x² + 1) dx = ∫(0,arctan(2)) tan(θ)/sec²(θ) sec²(θ) dθ = ∫(0,arctan(2)) tan(θ) dθ = ln|sec(θ)| + C = ln|sec(arctan(2))| + C = ln|√5| + C = ln(√5) + C Portanto, a resposta correta é: a) ln(√5 + 2)