Resolva o problema de valor inicial dado.    y ′′ − y ′ − 6y = 0 y(0) = 2, y′ (0) = 6

Para resolver esse problema de valor inicial, primeiro precisamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica é obtida ao substituir y'' por m^2, y' por m e y por 1 na equação diferencial. Assim, a equação característica é m^2 - m - 6 = 0. Resolvendo essa equação quadrática, encontramos m = 3 e m = -2. Portanto, a solução geral da equação diferencial é y(t) = c1 * e^(3t) + c2 * e^(-2t), onde c1 e c2 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais y(0) = 2 e y'(0) = 6. Substituindo t = 0 e y(0) = 2 na equação geral, obtemos 2 = c1 + c2. Derivando a equação geral em relação a t, obtemos y'(t) = 3c1 * e^(3t) - 2c2 * e^(-2t). Substituindo t = 0 e y'(0) = 6 na equação derivada, obtemos 6 = 3c1 - 2c2. Agora, podemos resolver esse sistema de equações para encontrar c1 e c2. Com c1 = 4 e c2 = -2, a solução para o problema de valor inicial dado é y(t) = 4 * e^(3t) - 2 * e^(-2t).