Sejam A,B,C subconjuntos de X. Prove que (a) A ∪B = X se e só se Ac ⊆ B (b) Se A ⊆ C e B ⊆ C então A ∩B ⊆ C (c) Se A ⊆ B e A ⊆ C então A ⊆ B ∩ C (d) Se A ⊆ C e B ⊆ C também A ∪B ⊆ C (e) Se A ⊆ B e A ⊆ C então A ⊆ B ∪ C (f) (A−B) ∪ (B −A) = (A ∪B)− (A ∩B)

Question

Sejam A,B,C subconjuntos de X. Prove que (a) A ∪B = X se e só se Ac ⊆ B (b) Se A ⊆ C e B ⊆ C então A ∩B ⊆ C (c) Se A ⊆ B e A ⊆ C então A ⊆ B ∩ C...

Ed · Answer

Vamos analisar cada uma das afirmações para determinar qual delas é verdadeira.

(a) $ A ∪ B = X $ se e só se $ A^c ⊆ B $: Essa afirmação é verdadeira. Se a união de $ A $ e $ B $ é igual a $ X $, isso significa que todos os elementos que não estão em $ A $ devem estar em $ B $.

(b) Se $ A ⊆ C $ e $ B ⊆ C $, então $ A ∩ B ⊆ C $: Essa afirmação é verdadeira. Se $ A $ e $ B $ estão contidos em $ C $, a interseção $ A ∩ B $ também estará contida em $ C $.

(c) Se $ A ⊆ B $ e $ A ⊆ C $, então $ A ⊆ B ∩ C $: Essa afirmação é verdadeira. Se $ A $ está contido em $ B $ e em $ C $, então todos os elementos de $ A $ também estão na interseção $ B ∩ C $.

(d) Se $ A ⊆ C $ e $ B ⊆ C $, então $ A ∪ B ⊆ C $: Essa afirmação é verdadeira. Se ambos $ A $ e $ B $ estão contidos em $ C $, a união deles também estará contida em $ C $.

(e) Se $ A ⊆ B $ e $ A ⊆ C $, então $ A ⊆ B ∪ C $: Essa afirmação é verdadeira. Se $ A $ está contido em $ B $ e em $ C $, então $ A $ também estará na união $ B ∪ C $.

(f) $ (A−B) ∪ (B−A) = (A ∪ B)− (A ∩ B) $: Essa afirmação é verdadeira. Essa é a definição de diferença simétrica entre dois conjuntos.

Todas as afirmações apresentadas são verdadeiras. Portanto, não há uma única resposta correta, pois todas as opções (a), (b), (c), (d), (e) e (f) são verdadeiras.

Ed · Answer

Para a questão apresentada, é necessário realizar a prova de algumas propriedades envolvendo subconjuntos de um conjunto X. Vamos analisar cada item:

(a) A ∪ B = X se e somente se Ac ⊆ B:
- Para provar essa afirmação, é necessário mostrar que se A ∪ B = X, então Ac ⊆ B e vice-versa.

(b) Se A ⊆ C e B ⊆ C então A ∩ B ⊆ C:
- Essa propriedade é uma implicação direta da definição de subconjunto.

(c) Se A ⊆ B e A ⊆ C então A ⊆ B ∩ C:
- Também uma implicação direta da definição de subconjunto.

(d) Se A ⊆ C e B ⊆ C então A ∪ B ⊆ C:
- Essa propriedade também é uma implicação direta da definição de subconjunto.

(e) Se A ⊆ B e A ⊆ C então A ⊆ B ∪ C:
- Mais uma vez, uma implicação direta da definição de subconjunto.

(f) (A−B) ∪ (B −A) = (A ∪ B)− (A ∩ B):
- Essa propriedade envolve a diferença de conjuntos e a união e interseção entre eles.

Para a resolução completa da questão, é necessário realizar as provas de cada uma das propriedades apresentadas.

Matemática Discreta

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Justifique a validade dos seguintes argumentos (a) (∃x)(∃y)p(x, y) ⇐⇒ (∃y)(∃x)p(x, y) (b) (∀x)(∀y)p(x, y) ⇐⇒ (∀y)(∀x)p(x, y) (c) (∃x)(∀y)p(x, y)⇒ (∀y)(∃x)p(x, y) (d) (∀x)(∀y)(p(x, y)⇒ (∃x)(∃y)p(x, y)

Considere os conjuntos R = {1, 3, π, 4, 9, 10}, S = {{1}, 3, 9, 10}, T = {1, 3, π}, U = {{1, 3, π}, 1} Indique, de entre as seguintes proposições, as que são falsas. Justifique. (a) 1 ∈ S (b) T ⊆ R (c) S ⊂ R (d) T ⊆ U (e) {1} ⊂ S (f) T ∈ U

Sejam A = {2, 4, 5, 6}, B = {1, 4, 7}, C = {x ∈ Z : 2 ≤ x < 5} subconjuntos de S={0,1,2,3,4,5,6,7}. Determine: (a) A ∪B e A ∩ C (b) A−B, S − C e A− S (c) (A ∩B)c (d) (B −A)c ∩ (A−B) (e) (C ∩B) ∪Ac (f) (Cc ∪B)c

Para A, B e C conjuntos arbitrários, indique quais as afirmações verdadeiras. (a) Se A ⊆ B e B ⊆ A então A = B (b) ∅ ∈ {∅} (c) {∅} ⊆ A (d) {∅} = {{∅}} (e) Se A 6⊆ B e B ⊆ C então A 6⊆ C (f) Se A ∈ B e B 6⊆ C então A 6∈ C.

Para A = {2, 4, 5, 6}, B = {1, 4, 7}, C = {x ∈ Z— 2 ≤ x < 5} subconjuntos de S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, determine: (a) A ∪B (b) A ∩ C (c) A−B (d) S −A (e) A− S (f) (A ∩B)c (g) (B −A)c ∩ (A−B) (h) (C ∩B) ∪Ac (i) (Cc ∪B)c.

Sendo A e B subconjuntos arbitrários de um conjunto X, indique as igualdades verdadeiras. (a) A ∪Ac = X (b) B ∩B = B (c) (A ∩B)c = Ac ∩Bc (d) (Ac)c = A (e) A−B = (B −A)c (f) (A−B) ∩ (B −A) = ∅ (g) Se A ∩B = ∅ então A = Bc (h) ∅ ∩ {∅} = ∅.

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