Geometria Analítica

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240. Dadas a circunferência C: x2 + (y – 2)2 = 9 e a reta r: y = x – 5, determine o ponto de C mais próximo de r.

Questões para o Sucesso

há 2 anos

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97 pág.

Exercícios Resolvidos de Cálculo Vetorial e Geometria Analítica

FACITEC

Respostas

há 2 anos

Para determinar o ponto da circunferência mais próximo da reta, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a equação da reta perpendicular à reta dada que passa pelo centro da circunferência. 2. Encontrar o ponto de interseção entre essa reta perpendicular e a reta dada, que será o ponto da circunferência mais próximo da reta. Vamos calcular: 1. A equação da reta perpendicular à r: y = x - 5 é da forma y = -x + b, onde b é o coeficiente angular da reta perpendicular. Como essa reta passa pelo centro da circunferência (0, 2), temos que b = 2. Portanto, a equação da reta perpendicular é y = -x + 2. 2. Agora, vamos resolver o sistema formado pelas equações da reta perpendicular e da circunferência para encontrar o ponto de interseção. Substituindo y = -x + 2 na equação da circunferência, obtemos: x^2 + (-x + 2 - 2)^2 = 9 x^2 + (-x)^2 = 9 2x^2 = 9 x^2 = 9/2 x = ±√(9/2) x = ±3/√2 Substituindo o valor de x na equação da reta perpendicular, obtemos os pontos de interseção: Para x = 3/√2: y = -3/√2 + 2 Para x = -3/√2: y = 3/√2 + 2 Portanto, os pontos da circunferência mais próximos da reta são (3/√2, -3/√2 + 2) e (-3/√2, 3/√2 + 2).

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Determine o perímetro do retângulo ABCD, onde A=(1,2), B=(1,5), C=(4,5) e D=(4,2).

Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, onde A=(-1,2), B=(3,4), C=(4,0) e D=(2,-8).

122. Dados os vetores u=(a,b,c) e v=(d,e,f) determine o produto vetorial entre u e v.

Determine o valor de k de modo que os pontos A=(1,3), B=(2,7) e C=(4,k) estejam alinhados.

Verificar que os pontos A=(2,3), B=(5,11) e C=(10,25) são vértices de um mesmo triângulo.

Determine as coordenadas do ponto P da reta de equação 2x – y + 2 = 0 que possui abscissa 3.

Determine a equação da reta que intercepta o eixo das ordenadas no ponto A=(0,4) e intercepta o eixo das abscissas no ponto B=(2,0).

Determinar os valores de k para os quais as retas r: kx + y + 2 = 0 e s: 3x – 6y – 2 = 0 são concorrentes.

Determine as equações das retas que passam pelo ponto P=(1,2) e formam um ângulo de 45o com a reta r: y – 2x +4= 0.

1o Caso: Sendo sr = 45o  tgsr = 1 e mr = 2, então: .3 1 2121 21 2 .1        sss s s rs sr sr mmm m m tg
2º Caso: Sendo rs = 45o  tgrs = 1 e mr = 2, então: .32121 21 2 .1        sss s s rs rs rs mmm m m tg

Determinar as equações das retas que passam pelo ponto de intersecção das retas r: 2x – y = 0 e s: 5x + 2y – 2 = 0 e formam um ângulo de 45o com a reta t: x – 2y + 2 = 0.

Logo, a equação será 9x + 27 – 14 = 0.
Logo, a equação será 27x – 9y – 2 = 0.

Determine a equação da circunferência de centro no ponto C=(3,0) e tangente ao eixo das ordenadas.

Determine os valores de m para os quais a equação x2 + y2 + 4x – 6y + m = 0 representa uma circunferência.

237. Quais são os pontos onde a circunferência x2 + y2 – 4x – 5y + 3 = 0 intercepta o eixo dos x?

238. A intersecção das retas r: 2x + 3y – 8 = 0 e s: x – 2y + 3 = 0 é o centro de uma circunferência de raio R=3. Determine a equação da circunferência.

Obter uma reta t perpendicular à reta s: x – y – 1 = 0 e tangente à circunferência x2 + (y – 1)2 = 1.

A circunferência Possi centro em C=(0,1). Assim, a reta paralela à s passando por C terá equação r: y = x + 1. As intersecções entre a reta r e a circunferência são os pontos: y = x + 1 e x2 + (x + 1 – 1)2 = 1. Logo, as equações da reta t serão t: x + y – 1 2.

Determinar as retas tangentes à circunferência x2 + y2 + 8x + 6y = 0 e paralelas ao eixo dos y.

A circunferência possui centro em C=(-4, -3) e raio R=5. Logo, as retas, que deverão ter equações do tipo x = k, serão x = -4 + 5  x =1 e x = -4 – 5 x= -9.

Determinar um ponto P da circunferência x2 + y2 = 25, no primeiro quadrante, pelo qual passa uma reta t tangente à curva e paralela à reta s: x + y = 5.

A circunferência possui centro em C=(0,0) e raio R=5. A reta s é secante à circunferência, com intersecções em A=(0, 5) e B= (5, 0). O ponto médio da corda formada pelo pontos A e B é PM=(5/2, 5/2). Assim, conclui-se que a reta y = x, que corta o ponto médio de AB, intercepta a circunferência no ponto de tangência da reta t. Portanto, fazendo y = x na circunferência, encontra-se o ponto P=(2, 5) e P=(-2, 5).

289. Determine o maior valor de r de forma que as circunferências (x – 1) 2 + (y – 1) 2 = 1 e (x- 3) 2 + (y – 3) 2 = r2 tenham um único ponto de intersecção.

Geometria Analítica

240. Dadas a circunferência C: x2 + (y – 2)2 = 9 e a reta r: y = x – 5, determine o ponto de C mais próximo de r.

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Determinar os valores de k para os quais as retas r: kx + y + 2 = 0 e s: 3x – 6y – 2 = 0 são concorrentes.

Determinar as equações das retas que passam pelo ponto de intersecção das retas r: 2x – y = 0 e s: 5x + 2y – 2 = 0 e formam um ângulo de 45o com a reta t: x – 2y + 2 = 0.

Logo, a equação será 9x + 27 – 14 = 0.
Logo, a equação será 27x – 9y – 2 = 0.

Determine a equação da circunferência de centro no ponto C=(3,0) e tangente ao eixo das ordenadas.

Determine os valores de m para os quais a equação x2 + y2 + 4x – 6y + m = 0 representa uma circunferência.

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238. A intersecção das retas r: 2x + 3y – 8 = 0 e s: x – 2y + 3 = 0 é o centro de uma circunferência de raio R=3. Determine a equação da circunferência.

Determinar as retas tangentes à circunferência x2 + y2 + 8x + 6y = 0 e paralelas ao eixo dos y.

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290. Determine o valor de k de modo que a reta r: y – x + k = 0 seja tangente à circunferência x2 + y2 + 2x + 2y – 7 = 0.

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Determine a equação da circunferência de centro no ponto C=(3,0) e tangente ao eixo das ordenadas.

Determine os valores de m para os quais a equação x2 + y2 + 4x – 6y + m = 0 representa uma circunferência.

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238. A intersecção das retas r: 2x + 3y – 8 = 0 e s: x – 2y + 3 = 0 é o centro de uma circunferência de raio R=3. Determine a equação da circunferência.

Determinar as retas tangentes à circunferência x2 + y2 + 8x + 6y = 0 e paralelas ao eixo dos y.A circunferência possui centro em C=(-4, -3) e raio R=5. Logo, as retas, que deverão ter equações do tipo x = k, serão x = -4 + 5  x =1 e x = -4 – 5 x= -9.

289. Determine o maior valor de r de forma que as circunferências (x – 1) 2 + (y – 1) 2 = 1 e (x- 3) 2 + (y – 3) 2 = r2 tenham um único ponto de intersecção.

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