Para determinar uma base do subespaço \( V = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid y - 2z = 0\} \), precisamos entender a condição que define esse subespaço. A equação \( y - 2z = 0 \) pode ser reescrita como \( y = 2z \). Isso significa que, para qualquer valor de \( z \), podemos expressar \( y \) em termos de \( z \). Podemos parametrizar o subespaço \( V \) da seguinte forma: - Se \( z = t \), então \( y = 2t \) e \( x \) pode ser qualquer valor. Assim, podemos escrever um vetor genérico do subespaço como: \[ (x, y, z) = (x, 2z, z) = (x, 2t, t) \] Agora, vamos analisar as alternativas para ver quais vetores satisfazem a condição \( y - 2z = 0 \): A) \((0,0,0)\) e \((1,1,1)\) - Para \((1,1,1)\): \( 1 - 2(1) = -1 \) (não satisfaz) B) \((1,0,1)\) e \((1,2,0)\) - Para \((1,0,1)\): \( 0 - 2(1) = -2 \) (não satisfaz) - Para \((1,2,0)\): \( 2 - 2(0) = 2 \) (não satisfaz) C) \((1,0,2)\) e \((1,2,1)\) - Para \((1,0,2)\): \( 0 - 2(2) = -4 \) (não satisfaz) - Para \((1,2,1)\): \( 2 - 2(1) = 0 \) (satisfaz) D) \((1,1,1)\) e \((3,1,2)\) - Para \((1,1,1)\): \( 1 - 2(1) = -1 \) (não satisfaz) - Para \((3,1,2)\): \( 1 - 2(2) = -3 \) (não satisfaz) E) \((1,0,0)\) e \((0,2,1)\) - Para \((1,0,0)\): \( 0 - 2(0) = 0 \) (satisfaz) - Para \((0,2,1)\): \( 2 - 2(1) = 0 \) (satisfaz) A única alternativa que apresenta vetores que satisfazem a condição \( y - 2z = 0 \) é a E) \((1,0,0)\) e \((0,2,1)\). Portanto, a resposta correta é a alternativa E.