Matemática 19 Qual é o 23º elemento da P.A. de razão 3 em que a soma dos 30 termos iniciais é 255? a) 101 b) 66 c) 31 d) 29 e) 28

Para resolver essa questão, vamos usar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética (P.A.). A soma dos \( n \) primeiros termos de uma P.A. é dada por: \[ S_n = \frac{n}{2} \times (2a + (n - 1)r) \] onde: - \( S_n \) é a soma dos \( n \) primeiros termos, - \( a \) é o primeiro termo, - \( r \) é a razão, - \( n \) é o número de termos. Dado que a soma dos 30 termos iniciais é 255 e a razão \( r \) é 3, temos: \[ S_{30} = 255 \] \[ n = 30 \] \[ r = 3 \] Substituindo na fórmula: \[ 255 = \frac{30}{2} \times (2a + (30 - 1) \cdot 3) \] \[ 255 = 15 \times (2a + 87) \] \[ 255 = 30a + 1305 \] \[ 30a = 255 - 1305 \] \[ 30a = -1050 \] \[ a = -35 \] Agora que temos o primeiro termo \( a = -35 \), podemos encontrar o 23º termo da P.A. usando a fórmula do termo geral: \[ a_n = a + (n - 1)r \] Para o 23º termo (\( n = 23 \)): \[ a_{23} = -35 + (23 - 1) \cdot 3 \] \[ a_{23} = -35 + 22 \cdot 3 \] \[ a_{23} = -35 + 66 \] \[ a_{23} = 31 \] Portanto, o 23º elemento da P.A. é 31. A alternativa correta é: c) 31.