Para calcular a área delimitada pelas curvas \(2y = x\) e \(y = x^2\), precisamos primeiro encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas. 1. Encontrar os pontos de interseção: - A primeira curva é \(y = \frac{x}{2}\). - A segunda curva é \(y = x^2\). - Igualando as duas expressões: \(\frac{x}{2} = x^2\). - Multiplicando ambos os lados por 2: \(x = 2x^2\). - Rearranjando: \(2x^2 - x = 0\). - Fatorando: \(x(2x - 1) = 0\). - Portanto, \(x = 0\) ou \(x = \frac{1}{2}\). 2. Calcular a área entre as curvas: - A área \(A\) entre as curvas de \(x = 0\) a \(x = \frac{1}{2}\) é dada por: \[ A = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left(\frac{x}{2} - x^2\right) dx \] 3. Calcular a integral: - A integral se torna: \[ A = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left(\frac{x}{2} - x^2\right) dx = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{2} dx - \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^2 dx \] - Calculando cada parte: \[ \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{4} \quad \text{e} \quad \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \] - Avaliando de \(0\) a \(\frac{1}{2}\): \[ A = \left[\frac{(\frac{1}{2})^2}{4} - 0\right] - \left[\frac{(\frac{1}{2})^3}{3} - 0\right] \] \[ = \left[\frac{1}{16}\right] - \left[\frac{1}{24}\right] \] - Para subtrair, precisamos de um denominador comum, que é 48: \[ = \frac{3}{48} - \frac{2}{48} = \frac{1}{48} \] Portanto, a área delimitada pelas curvas \(2y = x\) e \(y = x^2\) é \(\frac{1}{48}\). Se você tiver as alternativas, por favor, forneça-as para que eu possa indicar a correta!