determine o valor da constante k para os vetores u(3,4,-5) e v(5k+2,1,7-k) sejam ortogonais

Para determinar o valor da constante k para que os vetores \( u(3,4,-5) \) e \( v(5k+2,1,7-k) \) sejam ortogonais, é necessário que o produto escalar entre esses vetores seja igual a zero. O produto escalar entre dois vetores \( u = (u1, u2, u3) \) e \( v = (v1, v2, v3) \) é dado por \( u \cdot v = u1*v1 + u2*v2 + u3*v3 \). Portanto, o produto escalar entre os vetores \( u \) e \( v \) é: \( 3*(5k+2) + 4*1 + (-5)*(7-k) = 0 \) Resolvendo a equação acima, temos: \( 15k + 6 + 4 - 35 + 5k = 0 \) \( 20k - 25 = 0 \) \( 20k = 25 \) \( k = \frac{25}{20} \) \( k = \frac{5}{4} \) Portanto, o valor da constante k para que os vetores sejam ortogonais é \( k = \frac{5}{4} \).