23) Um pesquisador desenvolve sementes de quatro tipo de plantas, P1 ,P2, P3 e P4. Plantados canteiros-pilotos destas sementes, a probabilidade de todas germinarem é de 40% pra P1, 30% para P2, 25% para P3 e 50% para P4.
a) Escolhido um canteiro ao acaso, verificou-se que nem todas as sementes haviam germinado. Calcule a probabilidade de que o canteiro escolhido seja o de semente de P3
b) Escolhido um canteiro ao acaso, verificou-se que todas as sementes haviam germinado. Calcule a probabilidade de que o canteiro escolhido seja o de sementes de P1
resp: a) 30%, b) 28%

Question

23) Um pesquisador desenvolve sementes de quatro tipo de plantas, P1 ,P2, P3 e P4. Plantados canteiros-pilotos destas sementes, a probabilidade de ...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, precisamos aplicar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a calcular a probabilidade de um evento dado que outro evento já ocorreu.

### a) Probabilidade de que o canteiro escolhido seja o de semente de P3, dado que nem todas as sementes germinaram.

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de que nem todas as sementes germinaram para cada tipo de planta:

- Para P1: $ P(\text{não germina}) = 1 - 0,40 = 0,60 $
- Para P2: $ P(\text{não germina}) = 1 - 0,30 = 0,70 $
- Para P3: $ P(\text{não germina}) = 1 - 0,25 = 0,75 $
- Para P4: $ P(\text{não germina}) = 1 - 0,50 = 0,50 $

Agora, vamos calcular a probabilidade total de que nem todas as sementes germinaram:

$$
P(\text{não germina}) = P(\text{P1}) \cdot P(\text{não germina | P1}) + P(\text{P2}) \cdot P(\text{não germina | P2}) + P(\text{P3}) \cdot P(\text{não germina | P3}) + P(\text{P4}) \cdot P(\text{não germina | P4})
$$

Assumindo que cada tipo de planta tem a mesma probabilidade de ser escolhido (1/4):

$$
P(\text{não germina}) = \frac{1}{4} \cdot 0,60 + \frac{1}{4} \cdot 0,70 + \frac{1}{4} \cdot 0,75 + \frac{1}{4} \cdot 0,50
$$

Calculando:

$$
P(\text{não germina}) = \frac{0,60 + 0,70 + 0,75 + 0,50}{4} = \frac{2,55}{4} = 0,6375
$$

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes:

$$
P(\text{P3 | não germina}) = \frac{P(\text{não germina | P3}) \cdot P(\text{P3})}{P(\text{não germina})}
$$

Substituindo os valores:

$$
P(\text{P3 | não germina}) = \frac{0,75 \cdot \frac{1}{4}}{0,6375} = \frac{0,1875}{0,6375} \approx 0,2941 \text{ ou } 29,41\%
$$

### b) Probabilidade de que o canteiro escolhido seja o de sementes de P1, dado que todas as sementes germinaram.

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de que todas as sementes germinaram para cada tipo de planta:

- Para P1: $ P(\text{germina}) = 0,40 $
- Para P2: $ P(\text{germina}) = 0,30 $
- Para P3: $ P(\text{germina}) = 0,25 $
- Para P4: $ P(\text{germina}) = 0,50 $

Agora, a probabilidade total de que todas as sementes germinaram:

$$
P(\text{germina}) = P(\text{P1}) \cdot P(\text{germina | P1}) + P(\text{P2}) \cdot P(\text{germina | P2}) + P(\text{P3}) \cdot P(\text{germina | P3}) + P(\text{P4}) \cdot P(\text{germina | P4})
$$

$$
P(\text{germina}) = \frac{1}{4} \cdot 0,40 + \frac{1}{4} \cdot 0,30 + \frac{1}{4} \cdot 0,25 + \frac{1}{4} \cdot 0,50
$$

Calculando:

$$
P(\text{germina}) = \frac{0,40 + 0,30 + 0,25 + 0,50}{4} = \frac{1,45}{4} = 0,3625
$$

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes:

$$
P(\text{P1 | germina}) = \frac{P(\text{germina | P1}) \cdot P(\text{P1})}{P(\text{germina})}
$$

Substituindo os valores:

$$
P(\text{P1 | germina}) = \frac{0,40 \cdot \frac{1}{4}}{0,3625} = \frac{0,10}{0,3625} \approx 0,2759 \text{ ou } 27,59\%
$$

### Resumo das respostas:
a) Aproximadamente 29,41% (não 30% como sugerido).
b) Aproximadamente 27,59% (não 28% como sugerido).

Portanto, as respostas dadas não estão corretas.

Ed · Answer

Para a alternativa a), a probabilidade de escolher um canteiro de sementes de P3 dado que nem todas as sementes germinaram é de 30%. Para a alternativa b), a probabilidade de escolher um canteiro de sementes de P1 dado que todas as sementes germinaram é de 28%.

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