Para calcular a área da região entre a curva \(y = x^3\) e a reta \(y = x\), siga os passos abaixo: 1. Encontrar os pontos de interseção: Igualamos as duas funções: \[ x^3 = x \] Isso nos dá: \[ x^3 - x = 0 \implies x(x^2 - 1) = 0 \implies x(x - 1)(x + 1) = 0 \] Portanto, os pontos de interseção são \(x = -1\), \(x = 0\) e \(x = 1\). 2. Determinar a área entre as curvas: A área \(A\) entre as curvas de \(x = -1\) a \(x = 1\) é dada por: \[ A = \int_{-1}^{1} (x - x^3) \, dx \] 3. Calcular a integral: \[ A = \int_{-1}^{1} (x - x^3) \, dx = \int_{-1}^{1} x \, dx - \int_{-1}^{1} x^3 \, dx \] - A primeira integral: \[ \int_{-1}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 \] - A segunda integral: \[ \int_{-1}^{1} x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{(-1)^4}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0 \] 4. Resultado: Como ambas as integrais resultam em zero, precisamos considerar a área entre as curvas. A área total é dada pela soma das áreas de cada parte, que é: \[ A = 2 \int_{0}^{1} (x - x^3) \, dx \] Calculando: \[ A = 2 \left( \int_{0}^{1} x \, dx - \int_{0}^{1} x^3 \, dx \right) \] \[ = 2 \left( \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} - \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} \right) \] \[ = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = 2 \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2} \] Portanto, a área da região entre a curva \(y = x^3\) e a reta \(y = x\) é \(\frac{1}{2}\) unidades quadradas.