Para determinar a família de funções representada pela função \( \frac{36}{(x-1)(x+5)^2} \), precisamos considerar a decomposição em frações parciais. A função pode ser decomposta da seguinte forma: \[ \frac{36}{(x-1)(x+5)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+5} + \frac{C}{(x+5)^2} \] Após encontrar os coeficientes \( A \), \( B \) e \( C \), podemos integrar cada termo separadamente para encontrar a família de funções. Ao integrar, obtemos: - O termo \( \frac{A}{x-1} \) resulta em \( A \ln|x-1| \). - O termo \( \frac{B}{x+5} \) resulta em \( B \ln|x+5| \). - O termo \( \frac{C}{(x+5)^2} \) resulta em \( -\frac{C}{x+5} \). Após realizar a decomposição e a integração, a forma geral da função resultante deve se aproximar de uma das alternativas apresentadas. Analisando as alternativas: A) \( \frac{36}{(x+5)} + 6\ln|x + 5| - 6\ln|x - 1| + k \) - Esta opção parece correta, pois inclui logaritmos e uma constante. B) \( \frac{1}{(x+5)} + \arctg(x - 1) - \arctg(x + 5) + k \) - Não se relaciona com a forma da função original. C) \( \frac{36}{(x-1)(x+5)^2} \) - Esta é a função original, não a família. D) \( \frac{36}{(x-5)} - \ln|x - 1| - \ln|x - 5| + k \) - Não se relaciona com a função original. E) \( \frac{6}{(x+5)} + \ln|x - 1| - \ln|x + 5| + k \) - Não se relaciona com a função original. Portanto, a alternativa correta é: A) \( \frac{36}{(x+5)} + 6\ln|x + 5| - 6\ln|x - 1| + k \).