Para encontrar a transformada de Laplace da função \( f(t) = \delta(t) + 2u(t) - 3e^{-2t} \) para \( t \geq 0 \), vamos calcular cada termo separadamente: 1. Transformada de \( \delta(t) \): \[ \mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1 \] 2. Transformada de \( 2u(t) \): \[ \mathcal{L}\{2u(t)\} = \frac{2}{s} \] 3. Transformada de \( -3e^{-2t} \): \[ \mathcal{L}\{-3e^{-2t}\} = -\frac{3}{s + 2} \] Agora, somando todas as transformadas: \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = 1 + \frac{2}{s} - \frac{3}{s + 2} \] Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum: \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{s(s + 2) + 2(s + 2) - 3s}{s(s + 2)} = \frac{s^2 + 2s + 2s + 4 - 3s}{s(s + 2)} = \frac{s^2 + s + 4}{s(s + 2)} \] Agora, analisando as alternativas: A) \( \frac{2s^2 + 2s + 4}{2s(2s + 2)} \) B) \( \frac{4s^2 + 4s + 4}{4s(4s + 2)} \) C) \( \frac{s^2 + 4s + 4}{(s + 2)} \) D) \( \frac{s^2 + s + 4}{s(s + 2)} \) E) \( \frac{s^2 + s + 4}{s^2 + s + 4} \) A alternativa que corresponde à nossa simplificação é a D: \( \frac{s^2 + s + 4}{s(s + 2)} \). Portanto, a resposta correta é a D.