14. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que A 2,−2,3 , B 1,0,1 e C 3,0,−1 .

Para calcular a área do triângulo ABC, podemos utilizar a fórmula da área: Área = (base x altura) / 2 Onde a base é o lado BC e a altura é a altura relativa a esse lado. Para encontrar a altura, podemos utilizar a fórmula: h = 2 x Área / BC Para encontrar a base BC, podemos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos: BC = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²] Substituindo os valores dos pontos A, B e C, temos: BC = √[(3 - 1)² + (0 - 0)² + (-1 - 1)²] = √9 = 3 Agora podemos calcular a altura: h = 2 x Área / BC Substituindo os valores conhecidos, temos: h = 2 x Área / 3 Para encontrar a área, precisamos encontrar o vetor AB e o vetor AC, calcular o produto vetorial entre eles e dividir o resultado por 2. O vetor AB é dado por: AB = B - A = (1, 0, 1) - (2, -2, 3) = (-1, 2, -2) O vetor AC é dado por: AC = C - A = (3, 0, -1) - (2, -2, 3) = (1, 2, -4) O produto vetorial entre AB e AC é dado por: AB x AC = (-8, 2, 4) A área do triângulo ABC é dada por: Área = |AB x AC| / 2 Substituindo os valores conhecidos, temos: Área = |-8, 2, 4| / 2 = √84 / 2 = √21 Agora podemos calcular a altura: h = 2 x Área / 3 = 2 x √21 / 3 Portanto, a área do triângulo ABC é √21 e a altura relativa ao lado BC é 2 x √21 / 3.