Determine a família de funções representada por ∫ e 2 x c o s ( 2 x ) d x

A integral ∫e^(2x)cos(2x)dx não representa uma família de funções, mas sim uma única função. Para resolvê-la, é necessário utilizar integração por partes. Fazendo u = cos(2x) e dv = e^(2x)dx, temos du = -2sin(2x)dx e v = (1/2)e^(2x). Então: ∫e^(2x)cos(2x)dx = (1/2)e^(2x)cos(2x) + ∫(1/2)e^(2x)2sin(2x)dx ∫e^(2x)cos(2x)dx = (1/2)e^(2x)cos(2x) + ∫e^(2x)sin(2x)dx Fazendo u = sin(2x) e dv = e^(2x)dx, temos du = 2cos(2x)dx e v = (1/2)e^(2x). Então: ∫e^(2x)sin(2x)dx = -(1/2)e^(2x)sin(2x) + ∫(1/2)e^(2x)2cos(2x)dx ∫e^(2x)sin(2x)dx = -(1/2)e^(2x)sin(2x) + ∫e^(2x)cos(2x)dx Substituindo a segunda integral na equação acima, temos: ∫e^(2x)sin(2x)dx = -(1/2)e^(2x)sin(2x) + (1/2)e^(2x)cos(2x) + ∫e^(2x)sin(2x)dx Isolando a integral no lado esquerdo, temos: ∫e^(2x)sin(2x)dx - ∫e^(2x)sin(2x)dx = -(1/2)e^(2x)sin(2x) + (1/2)e^(2x)cos(2x) 0 = -(1/2)e^(2x)sin(2x) + (1/2)e^(2x)cos(2x) e^(2x)cos(2x) = 2∫e^(2x)sin(2x)dx Portanto, a função representada pela integral ∫e^(2x)cos(2x)dx é f(x) = (1/2)e^(2x)cos(2x) + (1/4)∫e^(2x)sin(2x)dx.