(a) Para encontrar os valores máximo e mínimo de f, podemos utilizar o método da derivada. Primeiro, encontramos a derivada de f: f'(t) = -2t + √3. Em seguida, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: -2t + √3 = 0, t = √3/2. Como a concavidade da parábola é negativa, o ponto crítico √3/2 é um máximo. Para encontrar o valor máximo, substituímos t = √3/2 na expressão de f: f(√3/2) = 5/4 + √3/4. Para encontrar o valor mínimo, basta comparar os valores de f nos extremos do intervalo [−1, 1]: f(−1) = 3/2 − √3/2 e f(1) = 3/2 + √3/2. Portanto, o valor mínimo é f(−1) = 3/2 − √3/2 e o valor máximo é f(√3/2) = 5/4 + √3/4. (b) Para encontrar os valores máximo e mínimo de g, podemos utilizar a técnica de completar quadrados. Primeiro, escrevemos g(x) na forma g(x) = A sen(x + φ) + B, onde A, B e φ são constantes a serem determinadas. Temos que √3 sen x + 1/2 cos(2x) = A sen(x + φ) + B. Igualando os coeficientes de sen x e cos 2x, obtemos o sistema de equações A = √3 e B − A cos φ = 1/2. Resolvendo para A e B, encontramos A = √3 e B = 1/2 + √3/2. Portanto, g(x) = √3 sen(x + arccos(−1/2√3)) + 1/2 + √3/2. Como o seno varia entre −1 e 1, o valor mínimo de g é g(x) = −√3/2 + 1/2 + √3/2 = 1/2 e o valor máximo é g(x) = √3/2 + 1/2 + √3/2 = 1 + √3. (c) Para verificar se os pontos críticos de g são máximos ou mínimos, podemos utilizar a segunda derivada. Temos que g'(x) = √3 cos(x) − sen(2x) e g''(x) = −√3 sen(x) − 2cos(2x). Substituindo os pontos críticos na segunda derivada, temos que g''(π/6) = −√3/2 − 1 < 0 e g''(7π/6) = √3/2 − 1 > 0. Portanto, o ponto crítico π/6 é um máximo e o ponto crítico 7π/6 é um mínimo. (d) e (e) Já encontramos os valores máximo e mínimo de g e os pontos críticos em que eles ocorrem. Para encontrar todos os valores reais x em que g assume os valores máximo e mínimo, basta resolver a equação g(x) = 1/2 e g(x) = 1 + √3, respectivamente. Para g(x) = 1/2, temos que √3 sen(x + arccos(−1/2√3)) = −1/2. Como o seno é negativo no segundo e terceiro quadrantes, temos que x + arccos(−1/2√3) = 4π/3 + 2kπ ou x + arccos(−1/2√3) = 5π/3 + 2kπ, onde k é um inteiro. Resolvendo para x, obtemos x = 5π/6 − arccos(−1/2√3) + 2kπ ou x = 7π/6 − arccos(−1/2√3) + 2kπ. Para g(x) = 1 + √3, temos que √3 sen(x + arccos(−1/2√3)) = √3/2. Como o seno é positivo no primeiro e segundo quadrantes, temos que x + arccos(−1/2√3) = π/6 + 2kπ ou x + arccos(−1/2√3) = 11π/6 + 2kπ, onde k é um inteiro. Resolvendo para x, obtemos x = π/6 − arccos(−1/2√3) + 2kπ ou x = 11π/6 − arccos(−1/2√3) + 2kπ. Portanto, todos os valores reais x em que g assume os valores máximo e mínimo são x = 5π/6 − arccos(−1/2√3) + 2kπ, x = 7π/6 − arccos(−1/2√3) + 2kπ, x = π/6 − arccos(−1/2√3) + 2kπ e x = 11π/6 − arccos(−1/2√3) + 2kπ, onde k é um inteiro. Resposta: alternativa c) a, b, c, d.