Dado ???? ∈ ℕ, considere a função ????????(????) = ???????? . Analise as derivadas ???? subscript 1 prime space left parenthesis ???? right parenthesis space comma space ???? subscript 2 space prime prime left parenthesis ???? right parenthesis space space comma space ???? subscript 3 space prime prime prime left parenthesis ???? right parenthesis space space e space ???? subscript 4 space prime prime prime prime left parenthesis ???? right parenthesise determine uma expressão para a derivada de ordem ???? de ????????(????), a qual é denotada por ????????(????) (????):

a.
f subscript n superscript left parenthesis n right parenthesis end superscript left parenthesis x right parenthesis equals n factorial

b.
f subscript n superscript left parenthesis n right parenthesis end superscript left parenthesis x right parenthesis equals 1

c.
f subscript n superscript left parenthesis n right parenthesis end superscript left parenthesis x right parenthesis equals n factorial x

d.
f subscript n superscript left parenthesis n right parenthesis end superscript left parenthesis x right parenthesis equals n x to the power of n minus 1 end exponent

e.
f subscript n superscript left parenthesis n right parenthesis end superscript left parenthesis x right parenthesis equals n

Question

Dado ???? ∈ ℕ, considere a função ????????(????) = ???????? . Analise as derivadas  ???? subscript 1 prime space left parenthesis ???? right parenthesis space comm...

Ed · Answer

Para responder a essa questão, precisamos entender a função dada e como calcular suas derivadas. A função parece ser uma função polinomial do tipo $ f_n(x) = x^n $, onde $ n $ é um número natural.

Vamos analisar as derivadas:

1. A primeira derivada de $ f_n(x) = x^n $ é $ f'_n(x) = n x^{n-1} $.
2. A segunda derivada é $ f''_n(x) = n(n-1)x^{n-2} $.
3. A terceira derivada é $ f'''_n(x) = n(n-1)(n-2)x^{n-3} $.
4. E assim por diante.

A derivada de ordem $ n $ de $ f_n(x) = x^n $ é dada por:

$$
f_n^{(n)}(x) = n! 
$$

Isso ocorre porque, ao derivar $ n $ vezes, todos os fatores de $ x $ desaparecem, e o resultado é $ n! $.

Agora, analisando as alternativas:

a) $ f_n^{(n)}(x) = n! $ - Correto, pois é o resultado da derivada de ordem $ n $.

b) $ f_n^{(n)}(x) = 1 $ - Incorreto, pois não é o resultado da derivada de ordem $ n $.

c) $ f_n^{(n)}(x) = n! x $ - Incorreto, pois a derivada de ordem $ n $ não contém $ x $.

d) $ f_n^{(n)}(x) = n x^{n-1} $ - Incorreto, pois isso é a primeira derivada.

e) $ f_n^{(n)}(x) = n $ - Incorreto, pois não é o resultado da derivada de ordem $ n $.

Portanto, a alternativa correta é: **a) $ f_n^{(n)}(x) = n! $**.

Ed · Answer

A função dada é f_n(x) = x^n.

A primeira derivada é f_n'(x) = n*x^(n-1).

A segunda derivada é f_n''(x) = n*(n-1)*x^(n-2).

A terceira derivada é f_n'''(x) = n*(n-1)*(n-2)*x^(n-3).

A quarta derivada é f_n''''(x) = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*x^(n-4).

A expressão para a derivada de ordem k de f_n(x) é f_n^(k)(x) = n*(n-1)*...*(n-k+1)*x^(n-k).

Química Inorgânica

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