Para resolver o limite \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2x^2 + 3xy + 4y^2}{3x^2 + 5y^2}\), precisamos analisar o comportamento da função quando \(x\) e \(y\) se aproximam de zero. Vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos: 1. Caminho \(y = 0\): \[ \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + 3x(0) + 4(0)^2}{3x^2 + 5(0)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{3x^2} = \frac{2}{3} \] 2. Caminho \(x = 0\): \[ \lim_{y \to 0} \frac{2(0)^2 + 3(0)y + 4y^2}{3(0)^2 + 5y^2} = \lim_{y \to 0} \frac{4y^2}{5y^2} = \frac{4}{5} \] 3. Caminho \(y = kx\) (onde \(k\) é uma constante): \[ \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + 3x(kx) + 4(kx)^2}{3x^2 + 5(kx)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + 3kx^2 + 4k^2x^2}{3x^2 + 5k^2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(2 + 3k + 4k^2)x^2}{(3 + 5k^2)x^2} = \frac{2 + 3k + 4k^2}{3 + 5k^2} \] Como o limite depende do valor de \(k\), isso indica que o limite não é único e, portanto, não existe. Analisando as alternativas: a) O limite existe e vale 0 - FALSO. b) O limite existe e vale 23 - FALSO. c) O limite não existe, pois \(\lim_{x \to 0} f(x,0)\) não existe - FALSO, pois o limite existe ao longo de \(y=0\). d) O limite existe e vale 45 - FALSO. e) O limite não existe, pois \(\lim_{x \to 0} f(x,0) \neq \lim_{y \to 0} f(0,y)\) - VERDADEIRO, pois os limites ao longo de diferentes caminhos são diferentes. Portanto, a alternativa correta é: e) O limite não existe, pois \(\lim_{x \to 0} f(x,0) \neq \lim_{y \to 0} f(0,y)\).