Sejam os vetores V1, V2, V3 EV = R³ dados por v₁ = (1,0,0), v2 = (1,2,0) e v3 = (0,2,2). Por meio do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, transforme V1, V2, V3 em uma base ortonormal para V e assinale a alternativa que a representa corretamente.

Question

Sejam os vetores V1, V2, V3 EV = R³ dados por v₁ = (1,0,0), v2 = (1,2,0) e v3 = (0,2,2). Por meio do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, t...

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Para aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt aos vetores $ v_1 = (1,0,0) $, $ v_2 = (1,2,0) $ e $ v_3 = (0,2,2) $, siga os passos abaixo:

1. **Comece com $ v_1 $**:
   $$
   u_1 = v_1 = (1,0,0)
   $$

2. **Calcule $ u_2 $**:
   $$
   u_2 = v_2 - \text{proj}_{u_1}(v_2)
   $$
   Onde a projeção é dada por:
   $$
   \text{proj}_{u_1}(v_2) = \frac{v_2 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1
   $$
   Calculando:
   $$
   v_2 \cdot u_1 = (1,2,0) \cdot (1,0,0) = 1
   $$
   $$
   u_1 \cdot u_1 = (1,0,0) \cdot (1,0,0) = 1
   $$
   Portanto:
   $$
   \text{proj}_{u_1}(v_2) = 1 \cdot (1,0,0) = (1,0,0)
   $$
   Assim:
   $$
   u_2 = (1,2,0) - (1,0,0) = (0,2,0)
   $$

3. **Calcule $ u_3 $**:
   $$
   u_3 = v_3 - \text{proj}_{u_1}(v_3) - \text{proj}_{u_2}(v_3)
   $$
   Primeiro, calcule $ \text{proj}_{u_1}(v_3) $:
   $$
   v_3 \cdot u_1 = (0,2,2) \cdot (1,0,0) = 0
   $$
   Portanto:
   $$
   \text{proj}_{u_1}(v_3) = 0 \cdot (1,0,0) = (0,0,0)
   $$
   Agora, calcule $ \text{proj}_{u_2}(v_3) $:
   $$
   v_3 \cdot u_2 = (0,2,2) \cdot (0,2,0) = 4
   $$
   $$
   u_2 \cdot u_2 = (0,2,0) \cdot (0,2,0) = 4
   $$
   Portanto:
   $$
   \text{proj}_{u_2}(v_3) = \frac{4}{4} (0,2,0) = (0,2,0)
   $$
   Assim:
   $$
   u_3 = (0,2,2) - (0,0,0) - (0,2,0) = (0,0,2)
   $$

4. **Agora, normalize os vetores $ u_1, u_2, u_3 $** para obter a base ortonormal:
   $$
   e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|} = (1,0,0)
   $$
   $$
   e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \frac{(0,2,0)}{2} = (0,1,0)
   $$
   $$
   e_3 = \frac{u_3}{\|u_3\|} = \frac{(0,0,2)}{2} = (0,0,1)
   $$

Portanto, a base ortonormal resultante é:
$$
\{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \}
$$

Ed · Answer

O processo de ortogonalização de Gram-Schmidt consiste em transformar uma base linearmente independente em uma base ortonormal. Para isso, devemos seguir os seguintes passos:

1. Normalizar o primeiro vetor:
v1' = v1 / ||v1||

2. Projetar o segundo vetor em v1':
v2' = v2 - (v2 . v1') * v1'

3. Normalizar o segundo vetor projetado:
v2'' = v2' / ||v2'||

4. Projetar o terceiro vetor em v1' e v2'':
v3' = v3 - (v3 . v1') * v1' - (v3 . v2'') * v2''

5. Normalizar o terceiro vetor projetado:
v3'' = v3' / ||v3'||

Assim, temos:

v1' = (1, 0, 0)
v2' = (1, 2, 0) - ((1, 2, 0) . (1, 0, 0)) * (1, 0, 0) = (0, 2, 0)
v2'' = (0, 1, 0)
v3' = (0, 2, 2) - ((0, 2, 2) . (1, 0, 0)) * (1, 0, 0) - ((0, 2, 2) . (0, 1, 0)) * (0, 1, 0) = (0, 0, 2)
v3'' = (0, 0, 1)

Portanto, a base ortonormal para V é {v1', v2'', v3''}, que pode ser representada pela alternativa (B):
(A) {(1, 0, 0), (1, 2, 0), (0, 2, 2)}
(B) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
(C) {(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2)}
(D) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 2, 2)}
(E) {(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 2, 2)}

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