Aritmetica - Principios basicos

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ARITMETICACONJUNTOS 
 
 NOCIÓN 
Entenderemos como conjunto a la 
reunión, agrupación, agregado, 
clase, colección o familia de 
integrantes homogéneos o 
heterogéneos con posibilidades 
reales o abstractas, que reciben el 
nombre de elemento del conjunto. 
 
 DETERMINACIÓN DE UN 
CONJUNTO 
 
A. Extensión o forma tabular 
Se enuncia todos los elementos 
válidos para conjuntos con 
escasa cantidad de elementos o 
para aquellos que siendo 
excesivamente numerosos (o 
hasta infinitos) poseen una 
cierta ley de formación la cual 
resulta evidente. 
 
B. Comprensión o forma 
constructiva 
Se enuncia a sus elementos por 
medio de una propiedad o 
cualidad común a ellos y que le 
es valida únicamente a estos. 
 
Ejemplos: 
 
A. Determinar el conjunto de 
las cinco vocales 
B. Determinar el conjunto de 
los números impares (+) 
menores que 16. 
 
Por extensión: 
 A = {a, e, i, o, u} 
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por comprensión: 
 A = {x/x es una vocal} 
 B = {x/x es un número 
impar < 16} 
 
 RELACIÓN DE PERTENENCIA 
Un elemento pertenece () a un 
conjunto si forma parte o es 
agregado de dicho conjunto. Un 
elemento no pertenece () a un 
conjunto si no cumple con la 
condición anotada. 
La relación de pertenencia vincula 
cada elemento con el conjunto, más 
no vincula elementos o conjuntos 
entre sí. 
 
Ejm: 
 P = {a, b, c, … , x, y, z} 
 
 b  P   P 
 m  P 1  P 
5  P 
 
 RELACIÓN DE INCLUSIÓN 
Se dice que A esta incluido en el 
conjunto B cuando todo elemento “A” 
pertenece a “B” la inclusión se 
simboliza por: 
 
A  B  x  A → x  B 
 
También puede decirse que A es 
parte de, es contenido en, es 
subconjunto de conjunto B. Se 
puede denotar también por B  A 
 
CONJUNTOS I 
 
 
 
2 
ARITMETICA 
 
que se lee “A” incluye, contiene o es 
superconjunto del conjunto A. 
 
Ejm: 
 M = {Tener} 
 N = {Perros} 
 P = {Mamíferos} 
 
Entonces: M  N  P → N  P 
 
 
 CLASES 
 
 CONJUNTO NULO O VACÍO 
 
Un conjunto que no posee elementos se 
denomina conjunto vacío, también se le 
llama conjunto nulo. 
Se le denota comúnmente por:  ó { }. 
Convencionalmente el conjunto vacío es 
un subconjunto de cualquier otro 
conjunto. 
 
 CONJUNTO UNITARIO 
 
Es el conjunto que consta de un solo 
elemento, al conjunto unitario también se 
le llama SINGLETON. 
 
 CONJUNTO UNIVERSAL 
 
Es un conjunto de referencia para el 
marco de una situación particular, es 
posible elegirlo de acuerdo a lo que se 
trata. 
 
 CONJUNTO DISJUNTOS 
 
Dos conjuntos son disjuntos cuando no 
tienen elementos comunes, también se 
les llama conjuntos excluyentes. 
 
 CONJUNTO POTENCIA 
 
Se llama así al que está formado por 
todos los subconjuntos de un conjunto 
dado. Dado un conjunto “A” cuyo número 
de elementos (cardinal) es n(A), el 
cardinal de su conjunto potencia P(A) 
será aquella potencia de 2 cuyo 
exponente es n(A) 
n[P(A)] = 2n(A) 
 
 
 
 
 
 SUBCONJUNTO PROPIO 
 
Es aquel que siendo subconjunto de un 
conjunto dado no es igual a este. Para un 
conjunto a de cardinal n(A) tenemos: 
# de subconjuntos propios de A = 2n(A) - 1 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
 
1. Colocar el valor de verdad a cada 
proposición si: A = {8; 3; {2}; {1, 3}} 
 
 3  A ( )  8  A ( ) 
 2  A ( )  3  {1, 3} ( ) 
 {3}  A ( )  4  A ( ) 
 
2. Señalar verdadero o falso: 
 
I.  = 0 ( ) 
II. 2  {3, 4, 2} ( ) 
III. {5, 6}  {3, 4} ( ) 
IV. {1, 3}  {1, 3, 2} ( ) 
V. {2}  {{2}, 3} ( ) 
 
3. Colocar el valor de verdad a cada 
proposición si: A = {2; 3; {1}; {2, 1}} 
 
1)   A 
2) 3  A 
3) 1  A 
4) {1}  A 
5) {3}  A 
6)   A 
 
a) FVFVVV b) FFVVFF 
c) FFFVVV d) FVFVFV 
e) VVFVFV 
 
4. Calcular la suma de los elementos de: 
 
A = {x/x  N; 10 < 3x + 2 < 18} 
 
a) 10 b) 12 c) 15 
d) 18 e) 23 
 
5. Determine por extensión el siguiente 
conjunto: T = {x/x = 
x12
x3
+
; x  N} 
 
a) {3} b) {3, 4} c) {0, 3} 
d) {0, 3, 4} e) {0, 4} 
 
 
6. El conjunto potencia de A tiene 512 
subconjuntos. ¿Cuánto es el n(A)? 
 
 
3 
ARITMETICA 
 
a) 4 b) 2 c) 3 
d) 8 e) N.A 
 
7. ¿Cuántos subconjuntos tiene: 
 
A = {x2/x  Z; -9 < 2x – 1 < 11} 
 
a) 10 b) 12 c) 15 
d) 18 e) 23 
 
8. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene: 
 
A = {x/x  Z; -7 < 4x + 1 < 21} 
 
a) 64 b) 63 c) 16 
d) 15 e) 31 
 
9. Si n(A) = 2. ¿Cuántos subconjuntos propios 
tendrá P(A)? 
 
a) 3 b) 7 c) 8 
d) 31 e) 15 
 
10. Sabiendo que el conjunto: 
 
A = {a + b; a + 2b – 2; 10} 
 
Es un conjunto unitario, calcular el valor de: 
a2 + b2 
 
a) 16 b) 80 c) 68 
d) 58 e) 52 
 
11. Hallar a2 + b2, si los conjuntos son iguales: 
 
A = {a3 + 2; 20} ; B = {29; b5 – 4a} 
 
a) 10 b) 12 c) 13 
d) 18 e) 20 
 
12. ¿Cuántos de los siguientes conjuntos son 
vacíos? 
A = {x  N/ x + 1 = 0} 
B = {x  Z/ 3x + 1 = 0} 
C = {x  Q/ x2 – 7 = 0} 
D = {x  R/ x4 + 4 = 0} 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) F.D e) Todos 
 
13. Dados los conjuntos: 
 
A = {( x – 3)  Z/ 16  x2  625} 
B = {(2y – 1)  Z/ 2  2y3 −  7} 
 
Hallar: n(A) + n(B) 
 
a) 12 b) 14 c) 17 
d) 23 e) N.A 
 
 
14. Dado el conjunto: A = {3; {8}; {5; 7}; {3}} 
Si P(A) representa el conjunto potencia de “A” 
¿Cuántas proposiciones son falsas? 
1) {8}  P(A) 4)   P(A) 
2) {{5; 7}}  P(A) 5) { }  P(A) 
3) n[P(A)] = 32 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
Admisión Ciencias UNT 1998 
15. Sea el conjunto x = 2; 3, entonces de las 
siguientes afirmaciones: 
1)   P (x) 2)   x 
3) 2; 3  P(x) 4) 2; 3  
P(x) 
5) x  P(x) 
Son ciertas: 
a) Sólo 2, 3, 4 y 5 b) Sólo 1, 2, 
4 y 5 
c) Sólo 1 y 2 d) Sólo 2, 3 y 
4 
e) Todas 
 
PRÁCTICA DOMICILIARIA 
 
1. Si el siguiente conjunto C, 
C = {a + b, 8, 2a – 2b + 4}; es unitario 
Halla a3+b4 
a) 145 b) 397 c) 80 
d) 108 e) 206 
 
2. ¿Cuántos de los conjuntos dados a 
continuación no son vacíos? 
➢ A = {x  U / x = x; x  x}; 
➢ B = {x  N / x2+ 3x + 2 = 0} 
➢ C = {x  Q / 3 < x < 5}; 
➢ D = {x  N / x2 - 1 = 0} 
➢ E = {x  R / x2 = 4  2x = 3}; 
➢ F = {x  R - {0} / -x = x - 1} 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
3. Si los conjuntos: 
A = {x - y ; 12} y B = {x - 2y ; -3} 
Son iguales, además: C = {a + 2; 3b + 7}, es 
unitario 
Calcula: x2 + y2 + 2a - 6b 
a) 546 b) 581 c) 662 
d) 559 e) 613 
 
 
 
4 
ARITMETICA 
 
4. Dados los conjuntos unitarios: 
A = {3a + 1; 7}, B = {3; b + c} y C = {2; bc} 
Donde: b > c 
Calcula: a – 2b + 3c 
a) 2 b) 1 c) 3 
d) 4 e) 6 
 
5. Dados los conjuntos unitarios: 
P = {x + y; 8}; Q = {y + z ; 10}; S = {x+ z; 12} 
Calcula: (x +y +z) 
a) 10 b) 15 c) 20 
d) 25 e) 30 
 
 
6. Dados los conjuntos binarios: 
A = {6; a + b; a – b; 16} y 
2 2a b
B ;cd;c d
2
 + 
= + 
  
. 
Halle c - d 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
7. Sea el conjunto: A = {a, {a}, {b}, }; Indicar 
cuál de las siguientes expresiones son 
verdaderas o falsas. 
1. {a}  A 
2. {, {a}}  A 
3. {b,{a}}  A 
4. {{}, {b}}  P(A) 
5. {, {a}}  P (A) 
6. {{a}, {b}}  P (A) 
7.   P (A) 
8.   P(A) 
a) VVFFFVVV 
b) VFFFVVVV 
c) VFFVVVVV 
d) VVFFVVVV 
e) VVFFVVFF 
 
 
8. Sea: A = {n  Z+/ n ≤ 600} 
Calcule la suma de elementos del conjunto B; 
si 
 3B a 2 a A a A= +   
 
a) 1000 b) 1296 c) 1312 
d) 1424 e) 1528 
 
 
9. Dado el conjunto A = {2; {5}; 3; 2; {5}} 
Indicar verdadero (V) o falso (F) según 
corresponda: 
i) “A” tiene 8 subconjuntos 
ii) “A” tiene 31 subconjuntos propios 
iii) “A” tiene 4 subconjuntos unitarios 
iv)   P(A) 
a) VVFV b) FVVV c) FFVV 
d) VFFV e) VFVV 
10. Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios, 
cuántos subconjuntos propios tendrá el 
conjunto “C” 
A = { a + b ; 12}; B = {2; a - b } 
C = {x + 1 / x  Z; b < 3x < a} 
a) 127 b) 63 c) 31 
d) 255 e) 511 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CLAVES 
1 2 3 4 56 7 8 9 10 
E B D B B D E C D C 
 
 
5 
ARITMETICAOPERACIONES 
 
A. UNIÓN O REUNIÓN 
 
A  B = {x/x  A  x  B} 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuando los conjuntos tienen 
algo en común. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuando los conjuntos no 
tienen nada en común. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuando un conjunto incluye 
a otro. 
 
B. INTERSECCIÓN 
 
A  B = {x/x  A  x  B} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C. DIFERENCIA 
 
A - B = {x/x  A  x  B} 
 
 
 
 
 
 
 A - B 
 
 
 
 
 
 
 A – B 
 
 
 
 
 
 
 
 
A - B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERACIONES CON CONJUNTOS 
 
A B 
A B 
A 
B 
A B 
A B 
A 
B 
A B 
A B 
A 
B 
 
 
6 
ARITMETICA 
 
B - A = {x/x  B  x  A} 
 
 
 
 
 
 
 
 
B - A 
 
 
 
 
 
 
 
 
B – A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B – A 
 
 
D. DIFERENCIA SIMÉTRICA 
 
A  B = (A - B)  (B - A) = (A  B) – (A 
 B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E. COMPLEMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPIEDADES 
 
 (A’) = A  (A  B)’ = A’  B’ 
 U’ =   (A  B)’ = A’  B’ 
 ’ = U 
 
 
 LEYES Y PROPIEDADES DEL 
ÁLGEBRA DE CONJUNTOS 
 
I. IDEMPOTENCIA 
 
A  A = A 
A  A = A 
 
II. CONMUTATIVA 
 
A  B = B  A 
A  B = B  A 
A  B = B  A 
 
III. ELEMENTOS NEUTROS 
 
A  U = U 
A  U = A 
A   = A 
A   =  
 
IV. COMPLEMENTO 
 
A  A’ = U 
A  A’ =  
(A’)’ = A 
 
 
 
A B 
A B 
A 
B 
A B 
A B 
A 
B 
A 
 
 
7 
ARITMETICA 
 
V. DIFERENCIA DE CONJUNTOS 
 
A – B = A’  B’ 
A – B = B’ - A’ 
 
 
 
VI. LEYES DE MORGAN 
 
(A  B)’ = A’  B’ 
(A  B)’ = A’  B’ 
 
VII. ASOCIATIVAS 
 
(A  B)  C = A  (B  C) 
(A  B)  C = A  (B  C) 
(A  B)  C = A  (B  C) 
 
 
 
VIII. DISTRIBUTIVAS 
 
A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 
A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 
 
 
IX. SI A y B SON DISJUNTOS 
 
A  B =  
A – B = A 
B – A = B 
A  B = A  B 
 
X. ABSORCIÓN 
 
A  (A  B) = A 
A  (A  B) = A 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
1. Si: 
U = {x/x  N  0  x  9} 
(A  B)‘ = {0, 6, 9} 
(A  B) = {1, 2, 7} 
(A – B) = {5, 3} 
 
¿Cuál es la suma de los elementos B – A? 
 
a) 12 b) 18 c) 15 
d) 10 e) 20 
 
2. Siendo: 
A = {1, b, c, d, e} 
B = {a, b, d} 
C = {c, e, b} 
 
Hallar el cardinal del conjunto: 
M = [(A  B) – C]  ( A  B) 
 
a) 0 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 4 
 
3. Si: 
 
C – B = {7, 5, 6} 
C – A = {7, 9, 10} 
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
B = {2, 3, 4, 8, 9, 10} 
C = {4, 5, 6, 7, 9, 10} 
 
 
 
¿Cuántos elementos hay en la parte 
sombreada? 
 
a) 3 b) 4 c) 5 
d) 6 e) 2 
 
 
4. Si: A  B ≠  y además: 
 
n[P(A  B)] = 256 ; n(A) – n(B) = 1 
n[A  B] = 3 
 
Hallar: n(B) 
 
a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 4 
 
5. Determinar E = (A – B)  (B – C), si: 
 
A = {x/x  N / x es divisor de 12} 
B = {x/x  N / x es divisor de 18} 
C = {x/x  N / x es divisor de 16} 
 
Dar como respuesta: n(E) 
 
a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) N.A 
 
6. Sean: 
 
A = {1, 5, 7, 8, 9} ; B = {1, 5, 8, 9} 
C = {1, 8} ; D = {1, 9, 7} 
 
Hallar:(A  C) – (B  D) 
 
a) {8} b) {9} c) {7, 8} 
d) {9, 7} e) {9, 8} 
 
7. Dados los conjuntos: 
 
A = {( x – 3)  Z/ 16  x2  625} 
B = {(2y – 1)  Z/ 2  2y3 −  7} 
A B 
C 
 
 
8 
ARITMETICA 
 
Hallar: n(A) + n(B) 
 
a) 12 b) 14 c) 17 d) 23 e) N.A 
 
 
8. Si: A = {x  IN/ 1  x < 9 } 
 B = {5, 6, 7, 9, 10} 
 C = {6,7, 8, 10, 11, 12}
 
 Hallar: n(A  ) + n(AC) + n(BC) 
 
 a) 3 b) 6 c) 9 
 d) 7 e) 5 
 
 
9. Dados dos conjuntos comparables M y N se 
sabe que: 
 n(M  N) + n(M  N) = 25, además: 
n(M – N) = 9. 
 Calcular: n(N). 
 
 a) 7 b) 8 c) 9 
 d) 10 e) 3 
 
10. Dados los conjunto A y B disjuntos y 
equivalentes,; se sabe que: 
 n(A) + n(B) + n(A  B) = 68 
 Hallar : n(A) . 
 
 a) 20 b) 21 c) 15 
 d) 10 e) 17 
 
11. Si: n(A  B  C) = 150 ; n(B – C) = 40 
 n(C – A) = 60 y n(A – B) = 45 . 
 Hallar : 
 n(A  B  C) 
 
 a) 4 b) 5 c) 8 
 d) 10 e) 15 
 
12. A y B son dos conjuntos tales que: 
( ) ( ) 83n A n B+ = 
( ) 74n A B = 
el ( )n A B es: 
a) 70 b) 80 c) 60 
d) 65 e) N.A 
 
 
13. A y B son conjuntos disjuntos cuyos 
cardinales son números consecutivos. 
Si 
   ( ) ( ) 12288n P A n P B+ = , 
el valor de n(A)+n(B) es: 
a) 21 b) 23 c) 25 
b) d) 27 e) 29 
 
14. Sean A y B dos conjuntos diferentes del 
vacío donde el número de elementos de A 
mas el número de elementos de B es igual a 
118. Si el cardinal de ( )A B es 98, 
entonces el valor de la expresión: 
3
( )
( ) ( )
13
n A B
E n A n B
 
= − − 
 
es: 
a) 94 b) 96 c) 98 
d) 100 e) 106 
 
15. Sabiendo que la intersección de P y Q tiene 
128 subconjuntos, la diferencia de P 
respecto a Q tiene 64 subconjuntos y el 
producto cartesiano P y Q tiene 182 pares. 
El n(Q-P) es: 
a) 7 b) 6 c) 5 
d) 3 e) 2 
 
 
16. Dados los conjuntos: 
 1;2;3;........;10U = ; 
 1;4;6;8;10A= 
 3;6;9B = 
 2;3;7;10C = 
El valor de 
 ( ´ ) ( ) ´B C B C A −   es: 
a)  1;3 
b) b)  3;5 
c) c)  1;5 
d)  1;3;2 
e)  9;10 
 
17. Para los conjuntos A, B y C se cumple: 
 ( ) 4n P A B C  =
 ( ) 16n P A B = 
( ) 6n A C = 
 
 
9 
ARITMETICA 
 
 ( ) 256n P A = 
( ) 17n B C = 
El valor de  ( )n B C A − es: 
a) 9 b) 7 c) 8 d) 6 e) 10 
 
PRÁCTICA DOMICILIARIA 
 
1. Sean los conjuntos: 
A = m; n; p; q; r 
B = m; n; q 
C = p; r; n 
 
Hallar:  n [(A C) B] (A C) −  − 
A) 3 B) 4 C) 6 
D) 2 E) 5 
 
2. Sean A y B dos conjuntos no vacíos donde 
se tiene: 
 A B 5;8;11;14;15;17 = 
 A B 8;15− = 
Indicar el número de subconjuntos de B 
A) 8 B) 16 C) 32 
D) 64 E) 4 
 
 
3. Sean los conjuntos E y F no vacíos donde 
- n(E  F) = 75 
- n(E – F) = 28 
- n(F – E) = 23 
Calcular el cardinal de E  F 
A) 24 B) 27 C) 28 
D) 23 E) 31 
 
4. Sean Q y T, dos conjuntos comparables y 
diferentes del vacío. Si el número de 
subconjuntos propios del conjunto potencia 
de Q es 255 y T tiene 3 elementos menos 
que Q entonces el número de subconjuntos 
propios diferentes del vacío, que tiene T es: 
a) 6 b) 14 c) 30 
d) 62 e) 126 
 
 
5. Si en los conjuntos A y B se cumple que 
( ) 6n A B = y 
   ( ) ( ) 40n p A n p B+ = 
Entonces el valor de  ( )n P A B es: 
a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 
6. Si ( )P Q R − tiene 4 subconjuntos, 
( )P R Q − tiene 16 subconjuntos, 
  3n P Q R  = y 
  14n P Q R  = ; el número 
máximo de elementos de Q es: 
a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 5 
 
7. Si A, B y C son conjuntos tales que: 
( )C A B  y 
( ) 68n B A− =
( ) 58n B C− = 
( ) 50n A B− =
( ) 30n C A− = 
( ) 45n A B =
( ) 62n A C = 
Entonces ( ) Cn A B C −   Es: 
A) 12 b) 13 c) 14 
D) 15 e) 16 
 
 
8. Dados tres conjuntos A, B y C, se sabe 
que: 
n(AB) = 22 
n(BC) = 16 
n(CA) = 14 
( ) ( ) 30n A B C n A B C  +   = 
 determine: ( )n p A B C    
a) 2 b) 4 c) 8 
d) 16 e) 32 
 
CLAVES 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
B B A C E B B B C B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
ARITMETICACONJUNTOS 
 
Para este capítulo es necesario tener en 
cuenta conocimientos previos aprendidos 
en anteriores capítulos. 
 
 Los elementos se relacionan con los 
conjuntos mediante pertenencia. 
 Los conjuntos se relacionan entre si 
mediante inclusión. 
  no pertenece a ningún conjunto 
pero esto incluido como subconjunto 
en todos los conjuntos. 
 Todo conjunto tiene 2n(A) 
subconjuntos donde n(A) es la 
cantidad de elementos. 
 A  B = (A - B)  (B - A) 
 En gráficos: 
Dos conjuntos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
U = Conjunto Universal 
x = elementos que sólo 
pertenecen a A. 
z = elementos que sólo 
pertenecen a B. 
y = elementos que pertenecen 
tanto a A como B. 
 
 
 
 
 
 
 
w = elementos que no 
pertenecen ni a A ni a B. 
Tres conjuntos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
U = Conjunto Universal 
a = elementos que pertenecen 
solo al Conjunto A 
e = elementos que pertenecen 
solo al Conjunto B 
g = elementos que pertenecen 
solo al Conjunto C 
b = elementos que pertenecen a 
A y B pero no C 
f = elementos que pertenecen a 
B y C pero no A 
d = elementos que pertenecen a 
A y C pero no B 
e = elementos que pertenecen a 
A, B y C a la vez 
h = elementos que no 
pertenecen ni a A, ni a B, ni a 
C 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
 
1. En una biblioteca había 17 personas, de las 
cuales 6 leyeron la revista A, 9 la revista B y 
6 leyeron ambas revistas. ¿Cuántos no 
leyeron las revistas A y B? 
 
 
PROBLEMAS CON CONJUNTOS 
 
A B 
U 
x
A 
y
A 
x
A 
W 
A B 
U C 
a b c 
e 
d f 
g 
h 
 
 
11 
ARITMETICA 
 
a) 6 b) 7 c) 8 
d) 9 e) 10 
 
2. De 234 postulantes, 92 postulan a la PUC, 87 
a la UNMSM y 120 no postulan a ninguna de 
estas dos universidades. ¿Cuántos postulan 
a las 2 universidades simultáneamente? 
 
a) 45 b) 55 c) 65 
d) 75 e) N.A 
 
3. Durante el mes de febrero de 1 998 una 
persona salió a pasear en la mañana o en la 
tarde o en ambas horas. Si 14 días paseo en 
la mañana y 20 días paseo en la tarde. 
¿Cuántos días paseo en ambas horas? 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
4. Sabiendo que un conjunto tiene 40 elementos 
y otro conjunto 60 y además la intersección 
de ellos tiene 30 elementos. Hallar el número 
de elementos que tiene la intersección de los 
complementos de estos dos conjuntos, 
sabiendo que el cardinal de U es 120. 
 
a) 60 b) 50 c) 40 
d) 35 e) 70 
 
5. En una encuesta realizada a 120 alumnos 
sobre cierta preferencia se obtuvo las 
respuestas “si” de parte de 80 alumnos y “por 
supuesto” respondieron 50 alumnos. 
¿Cuántos alumnos no respondieron las 
frases anteriores si el número de alumnos 
que respondieron “si” “por supuesto” es la 
cuarta parte de los que dijeron “si” 
solamente? 
 
a) 5 b) 6 c) 8 
d) 10 e) 12 
 
6. En una colonia china, 3 480 comen arroz sin 
sal y 5 700 comen arroz con sal; si los que no 
comen arroz son el doble de los que comen 
arroz con sal y sin sal. ¿Cuántos no comen 
arroz, si en total hay 10 000 chinos? 
 
a) 400 b) 700 c) 280 
d) 820 e) 1 640 
 
7. En una competencia atlética conformada por 
15 pruebas participaron 50 atletas. 
Observándose que al final: 4 conquistaron 
medallas de oro, plata y bronce, 7 
conquistaron medallas de oro y plata, 6 plata 
y bronce, 8 de oro y bronce. ¿Cuántos atletas 
no conquistaron medallas? 
 
a) 28 b) 26 c) 24 
d) 22 e) 20 
 
8. En el conservatorio de música hay 250 
alumnos; de los cuales 100 estudian guitarra, 
120 violín y 100 trompeta, además 54 
estudian guitarra y violín; 40 violín y 
trompeta, 46 guitarra y trompeta; además 10 
personas estudian todos los instrumentos. 
¿Cuántas personas no estudian ninguno de 
estos instrumentos? 
a) 200 b) 150 c) 55 
d) 72 e) 50 
 
9. De un grupo de turistas: 
 
✓ 9 conocen Cuzco o Piura, pero no 
Arequipa, de los cuales 8 conocen Cuzco y 
4 conocen Piura. 
✓ 25 han visitado Arequipa o Piura de los 
cuales 9 conocen Cuzco. 
✓ 4 conocen las tres ciudades. 
 
¿Cuántos turistas conocen Arequipa, pero no 
Cuzco? 
a) 21 b) 20 c) 13 
d) 15 e) 17 
 
10. De un grupo de 39 personas, 5 hablan 
francés, pero no inglés; 10 hablan inglés, 
pero no francés y además se sabe que el 
número de personas que hablan sólo 
español es el doble de los que hablan 
inglés y francés. ¿Cuántas personas hablan 
inglés si todos hablan por lo menos uno de 
estos idiomas? 
a) 13 b) 18 c) 21 
d) 24 e) 27 
11. De un grupo de 60 personas, 26 hablan 
francés y 12 solamente francés; 30 hablan 
inglés y 8 solamente inglés; 28 hablan 
alemán y 10 solamente alemán. También se 
sabe que 1 habla los 3 idiomas mencionados. 
¿Cuántos hablan inglés y alemán, pero no 
francés? 
a) 3 b) 7 c) 8 
d) 11 e) 15 
 
12. En una fiesta donde había 70 personas 10 
eran hombres que no les gustaba música 
HEAVY, 20 eran mujeres que gustaban de 
esta música. Si el número de hombres que 
gusta de la música HEAVY es la tercera parte 
de las mujeres que no gustan de esta 
 
 
12 
ARITMETICA 
 
música. ¿A cuántos les gusta la música 
HEAVY? 
 
a) 10 b) 20 c) 30 
d) 40 e) 50 
 
13. En una estación de transporte, había 100 
personas de las cuales 40 hombres eran 
provincianos, 30 mujeres eran limeñas y el 
número de mujeres provincianas excede en 
10 al número de hombres limeños. ¿Cuántos 
hombres hay en el aula? 
a) 40 b) 45 c) 50 
d) 55 e) 60 
 
14. En un baile social se supo que el 45% 
solicitan salsa, el 35% solicitan toada y el 
30% huayco, además el 15% pedían salsa y 
toada, el 16% toada y huayco; 20% salsa y 
huayco y el 8% los tres ritmos mencionados. 
¿Qué porcentaje de los asistentes no pedía 
ninguno de los tres ritmos mencionados? 
a) 30% b) 40% c) 35% 
d) 38% e) 33% 
 
15. En una encuesta realizada sobre la 
preferencia del público, acerca de la 
planificación familiar se obtuvo lo siguiente: 
60 prefieren usar preservativos (P); 59 prefieren 
usar el método del ritmo (R); 50 prefieren las 
pastillas anticonceptivas (A); 38 prefieren P, R; 
25 prefieren R y A; 22 prefieren P y A; 10 
prefieren P, R y A. Determinar: ¿cuántas 
personas prefieren P y R, pero no A? 
a) 17 b) 19 c) 21 
d) 13 e) N.A 
 
 
PRÁCTICA DOMICILIARIA 
 
 
1. De 60 personas, a 28 les gusta la naranja, 
a 30 la mandarina y a 12 ambas frutas ¿A 
cuántos no le gustan estas frutas? 
A) 10 B) 12 C) 14 
D) 16 E) 18 
 
2. En una pensión de 98 personas, los que 
gustan del cabrito y pato son 1/4 de los que 
gustan del cabrito y 1/6 de los que gustan 
del pato, si 8 no gustan de estos platos, 
entonces los que gustan solo del cabrito 
son: 
a) 30 b) 32 c) 40 
d) 50 e) 60 
3. En una granja se separó 75 gallinas, de 
ellas 29 son blancas y 52 son ponedoras. Si 
las blancas no ponedoras son 15, entonces 
el número de gallinas no ponedoras entre 
las que no son blancas, es: 
a) 2 b) 4 c) 6 
d) 8 e) 10 
 
 
4. De un grupo de 70 estudiantes, se observa 
que 15 estudian sólo inglés; 30 estudian 
francés y 10 sólo francés; 26 estudian 
alemán y 8 solo alemán. Además 7 
estudian los tres idiomas y 11 estudian otros 
idiomas. ¿Cuántos estudian inglés? 
a) 26 b) 28 c) 30 
d) 36 e) 41 
 
5. Para ingresar al colegio “X”, un grupo de 80 
niños dieron 3 exámenes para ser 
admitidos, al final, se supo que: 
- 28 aprobaron el primer examen 
- 32 aprobaron el segundo examen 
- 30 aprobaron el tercer examen 
- 8 aprobaron sólo el primer y segundo 
examen 
- 10 aprobaron el segundo y tercer 
examen 
- 4 aprobaron los 3 exámenes 
- 18 no aprobaron examen alguno 
¿Cuántos alumnos fueron admitidos si sólo 
se necesita aprobar dos exámenes? 
A) 20 B) 24 C) 32 
D) 36 E) 18 
 
 
 
6. En la maternidad se observó que de las 47 
personas presentes 29 eran hombres de 
los cuales 19 no eran mayores de edad. Si 
11 personas nacieron hoy y las mujeres 
mayores de edad son tantas como los 
menores de edad, se estas las que no 
nacieron hoy representan el 20% del 
número de hombres mayores de edad. 
¿cuántos hombres menores de edad no 
nacieron hoy? 
A) 6 B) 15 C) 12 
D) 13 E) 10 
CLAVES 
1 2 3 4 5 6 78 9 10 
C A D D B A B C E C 
 
 
13 
ARITMETICANUMERACIÓN 
 
Es la parte de la aritmética que estudia el 
número en su formación, representación, 
propiedades y aplicaciones que con ellas 
se puede efectuar. 
 
 SISTEMA DE NUMERACIÓN 
 
Es el conjunto de reglas y principios que 
rigen la formación, escritura y lectura de 
los números mediante la adecuada 
combinación de un grupo de símbolos y 
palabras. 
 
 SISTEMA DECIMAL DE NUMERACIÓN 
 
Es empleado actualmente, este sistema 
fue inventado por los hindúes y difundido 
después por los árabes, razón por la cual 
se llama sistema indo-arabico. Se utiliza 
los dígitos: 
 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
 
La mayor diferencia entre nuestro sistema 
y el de los romanos radica en que estos 
no incluían al cero como dígito, lo cual les 
obligaba a tener un símbolo diferente para 
cada número que quisieran expresar. 
 
 BASE DE UN SISTEMA DE 
NUMERACIÓN 
 
Es aquel número que nos indica la 
cantidad de unidades de un orden 
cualquiera para formar una unidad de 
orden superior. 
 
 CARACTERÍSTICAS DE UN SISTEMA 
DE NUMERACIÓN 
 
 En cualquier sistema de numeración 
existen tantas cifras como el valor de 
la base y con las combinaciones de 
ellas se pueden formar todos los 
números posibles de dicho sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 El mínimo valor que puede tomar 
una cifra en cualquier sistema de 
numeración es el cero (0) y el 
máximo valor es la unidad menos 
que el valor de la base. 
 
 La base de un sistema de 
numeración siempre es un entero 
positivo mayor que 1. 
 
 Si la primera cifra de un numeral es 
una letra, necesariamente esta debe 
ser  de 0. 
 
 Todo lo que se encuentra en 
paréntesis en un numeral representa 
una sola cifra. 
Sea: )3c()4b(b)a5(a −+ 
a  0, el número tiene 5 cifras. 
 
 Se denomina numerales capicúas a 
aquellos que leídos de izquierda a 
derecha o de derecha a izquierda se 
leen iguales. 
88; 959; 5335, aba , cbbc 
 
 Toda cifra en el numeral tiene un 
orden por convención, se enumera 
de derecha a izquierda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVACIÓN 
 
Cifra de 1er. orden = 3 
Primera cifra = 2 
 
 
NUMERACIÓN 
 
 
14 
ARITMETICA 
 
 Valor relativo de una cifra es aquel 
que representa la cifra por la 
posición que ocupa dentro del 
número. 
 
 Valor absoluto es lo que representa 
por la forma que tiene. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tener en cuenta 
 
Ba
se 
Nombre 
del 
sistema 
Cifras utilizadas 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
. 
. 
. 
n 
Binario 
Terciari
o 
Cuatern
ario 
Quinario 
Senario 
Heptario 
Octavari
o 
Nonal 
Decimal 
Undeci
mal 
Duodeci
mal 
. 
. 
. 
enesima
l 
0, 1 
0, 1, 2 
0, 1, 2, 3 
0, 1, 2, 3, 4 
0, 1, 2, 3, 4, 5 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
…………………………………
…………… 
…………………………………
…………… 
. 
. 
. 
…………………………………
…………… 
 
 
NOTA 
 
Para base mayor que 10, se usan 
símbolos , ,  … etc. que representan 
las cifras 10, 11, 12, … 
 
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA 
 
Consiste en expresar al numeral como la 
adición de los números que resultan a 
multiplicar cada una de las cifras por la 
base elevada a la cantidad de cifras que 
tiene a la derecha la cifra en estudio. 
 
* 4295 = 4 x 103 + 9 x 102 + 2 x 101 + 5ç 
* 2357 = 2 x 7
2 + 3 x 71 + 5 
* nabcde = a . n4 + b . n3 + c . n2 + d . n 
+ e 
 
 
 DESCOMPOSICIÓN EN BLOQUE 
 
Es un caso particular de la 
descomposición polinómica en que se 
toman grupos de cifras (bloques como si 
fueran una sola cifra). 
 
* 4242 = 42 x 102 + 42 
* 35357 = 357 x 7
2
 + 357 
* 6016018 = 6018 x 8
3 + 6018 
* nababab = nab . n4 + nab . n2 + 
nab 
 
 TRANSFORMACIÓN DE SISTEMAS DE 
NUMERACIÓN 
 
Consiste en transformar un número de 
cierta forma en un sistema a otro sistema. 
Existen tres casos: 
 
I. DE BASE n A BASE 10 
 
Se utiliza el procedimiento de 
descomposición polinómica, 
efectuando las operaciones 
indicadas. 
 
Ejm: 
nabc = a . n2 + b . n + c 
4567 = 4 x 7
2 + 5 x 7 + 6 
 
 
 
 
 
15 
ARITMETICA 
 
II. DE BASE 10 A BASE n 
 
Se utiliza el método de divisiones 
sucesivas, que consiste en dividir el 
número dado entre la base “m” a la 
cual se desea convertir, si el 
cociente es mayor que “m” se 
dividirá nuevamente y así en forma 
sucesiva hasta que se llegue a una 
división donde el cociente sea 
menor que ‘m’ 
Luego, se toma el último cociente y 
los residuos de todas las divisiones, 
desde el último residuo hacia el 
primero y ese será el número escrito 
en base “n”. 
 
Ejm: 
 
Convertir 578 a base 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III. DE BASE “m” A BASE “n” 
 
Se utilizan en este caso, los dos 
métodos vistos anteriormente, es 
decir: 
 
1º Llevamos el número del 
sistema diferente de 10 a base 
10 por descomposición 
polinómica. 
 
2º Luego llevamos el número 
hallado en el sistema decimal 
a la base que nos piden por 
divisiones sucesivas. 
 
Ejm: 
 
Convertir: 5436 ➔ a base 4 
 
5436 = 5 x 62 + 4 x 6 + 3 = 207 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luego: 
 
 5436 = 207 = 30334 
PROPIEDAD 
 
Si un numeral que representa la 
misma cantidad de unidades 
simples en dos sistemas de 
numeración diferentes, deberá 
cumplirse que donde tenga mayor 
representación aparente le 
corresponde una menor base y 
viceversa. 
 
+−
= mn xyzwabcd 
 
entonces n > m 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
 
1. Si los numerales: 
 
)n(p22 ; )6(m31n ; 1002(p) ; )m(1n2 
 
Están correctamente escritos, hallar el valor 
de: m + n + p 
 
a) 7 b) 8 c) 9 
d) 10 e) N.A 
 
 
2. Hallar “x”: 
 
)6(2112))(1)(1)(1( =−−− xxxx 
a) 3 b) 4 c) 6 
d) 7 e) 8 
 
3. Hallar “n”: )7()6( 333)2( nnn = 
 
a) 2 b) 1 c) 0 
d) 4 e) N.A 
 
 
16 
ARITMETICA 
 
4. Si un entero de dos cifras es “n” veces la 
suma de sus cifras, el número que se obtiene 
al intercambiar el orden de sus cifras es la 
suma de sus cifras, multiplicada por: 
 
a) 10 – n b) 11 – n c) 9 + n 
d) n + 1 e) 13 – n 
 
5. Si: )()( yx mnabc = y los números: 36(x) 
y 
)9(y1 están bien escritos, hallar: “ xy ” 
 
a) 28 b) 56 e) 78 
d) 42 e) 63 
 
6. Si a, b y c son cifras diferentes entre sí, 
hallar “m + p”, si se cumple: 
 
mpcbcabc =++ )2()3()4( 
 
a) 10 b) 11 c) 12 
d) 14 e) 15 
 
7. Lo que le falta a )1)(1( ++= abbN 
para llegar a 1 000 es abb . Hallar: a + b 
 
a) 6 b) 7 c) 
10 
d) 8 e) 9 
 
8. Se tiene un número de dos cifras al que se 
le invierte el orden de sus cifras. La diferencia 
de los cuadrados de dicho número es 891. 
Hallar el número y dar su suma de cifras. 
 
a) 7 b) 6 c) 4 
d) 9 e) 5 
 
9. El menor número de base 9 formado por 
todas las cifras impares. ¿Cuántos ceros 
tiene al escribirlo en base 2? 
 
a) 2 b) 4 c) 8 
d) 10 e) 11 
 
10. Hallar: a + b. Si: )1(99 babaab += 
 
a) 8 b) 10 c) 11 
d) 12 e) 9 
 
11. Determinar el valor de “a” si: 
 
8
)2/)(1()1(13 aaa
a
+=− 
 
a) 1 b) 2 c) 6 
d) 3 e) N.A 
 
12. Si: )6(n cd)1a(3ab −= . Calcular “n” si es 
impar y cuánto vale. 
 
a) 1 b) 3 c) 5 
d) 7 e) N.A 
 
13. Una persona nació en el año aa19 y en el 
año bb19 cumplió (4a + 5b) años . ¿Cuál 
fue el año en que tuvo (a + b)2 años de edad? 
 
a) 1 981 b) 1 976 c) 1 967 
d) 1 955 e) 1 971 
 
14. Hallar “n” en: 
 
20
)n(
1313
1313
=
 
 
a) 20 b) 9 c) 7 
d) 6 e) 8 
 
15. Si se cumple 
8)ab(
a0aa4 = . Además: 
 
7
2 cde)4n)(n)(2n( =+− 
 
Hallar: a + b + c + d + e + n 
 
a) 15 b) 16 c) 17 
d) 18 e) N.A 
 
16. Se cumple que: 
 
8
3 abc)3n)(n)(1n( =+− 
 
Calcular: 
bca
ca
caE = 
 
a) 12 b) 13 c) 11 
d) 10 e) N.A 
 
 
 
 
17 
ARITMETICA 
 
PRÁCTICA DOMICILIARIA 
 
1. El mayor número de tres cifras diferentes en 
cierto sistema de numeración, convertido a 
base seis es 313, entonces la base de dicho 
sistema es: 
A) 4 B) 6 C) 3 
D) 2 E) 5 
2. Luego de expresar en base 4, el numeral de 
tres cifras impares consecutivas creciente 
de la base 6, la suma de sus cifras es: 
A) 8 B) 5 C) 7 
D) 6 E) 4 
3. Si un número se convierte a dos sistemas 
de numeración de bases consecutivas, se 
expresa por 155 y 203. Luego, dicho 
número en base diezse expresa como: 
A) 231 B) 131 C) 125 
D) 154 E) 214 
 
4. Respecto a las siguientes expresiones: 
(a ) (b)458 284= y (a ) (b)460 288= 
El valor de (b-a) es: 
A) 4 B) 7 C) 2 
 D) 3 E) 5 
 
5. Un número esta compuesto de 3 cifras las 
cifras de las centenas es 4 veces la cifras de 
las unidades y las cifras de las decenas es 
igual a la mitad de la suma de las otras 
cifras el producto de dichas cifras es: 
a) 40 b) 50 c) 60 
d) 70 e) 80 
 
6. Si en un sistema de numeración se cumple 
que, su mayor número de 3 cifras es igual a 
31 veces la mayor cifra que existe en este 
sistema, entonces la base del sistema de 
numeración es: 
a) 3 b) 4 c) 5 
d) 7 e) 9 
 
7. Al multiplicar ab por ab se obtiene el 
número cbad formado por cuatro cifras 
consecutivas no necesariamente ordenadas. 
Si c y d están comprendidas entre a y b, el 
valor de a+b es: 
a) 25 b) 21 c) 19 
d) 15 e) 11 
 
8. En un avión se observa abc que hay 
personas de las cuales, entre pasajeros, hay 
0a c varones y ab mujeres; además, c 
aeromozas y a pilotos. Si, el número de 
personas está comprendido entre 150 y 300, 
entonces el número de varones más que el 
de mujeres es: 
a) 175 b) 176 c) 177 
d) 178 e) 179 
 
9. Si lo que falta a ( 1)( 1)N b b a= + + 
para ser igual a 1000 es abb , el valor de 
“a+b” es: 
a) 6 b) 7 c) 8 
d) 9 e) 10 
 
 
10. Un número se representa por 281 y 353 en 
dos sistemas de numeración, cuyas bases 
son números enteros consecutivos. El 
número, en base diez es: 
a) 235 b) 255 c) 303 
d) 305 e) 405 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CLAVES 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
E C B E E C E E D A 
 
 
18 
ARITMETICAA. De base “n” a base kn 
Se le separa en grupos de “k” cifras de 
derecha a izquierda y cada grupo se 
descompone polinómicamente. 
 Ejemplo: 
 Expresar: (2)111101101 a base 8 
 K 3= 23 = 8 → se separa en grupos de 3 
cifras 
 111101101 
 (2)111 7= ; (2)101 5= 
 En base 8 = (8)755 
 
B. De base kn a base “n” 
Dado el número de cada cifra se obtiene “k” 
cifras al convertirse a base “n”. 
 Ejemplo: Convertir (8)745 a base 2 
 Base 
38 2= 
 Cada cifra debe generar 3 cifras en base 2. 
 Base 8 : 7 4 5 
 Base 2 : 111 100 101 
(2)745 111100101= 
 
PROPIEDADES 
 
I. Numeral de cifras máximas 
 
k
k cifras
(n 1)(n 1)(n 1).....(n 1) n 1− − − − = − 
 Ejemplo: 
 
49999 10 1= − 
 
3
(9)888 9 1= − 
 
II. Para bases sucesivas (bases de bases) 
 
 1a = n + (a+b+c+ . . . + x) 
 1b 
 1c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (n)1x 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
01. Hallar: a + b + x + y 
 
 Si se cumple: 
 
aba18
)xy(
18.
..
.18
18 =
40 veces 
 Además: 20 xy 30  
 
 a) 12 b) 11 
 c) 10 
 d) 13 e) 14 
 
02. Si 
( )
( )
( )
− =
−
n
1 n 1 aaa
1 n 2
 
12
11
 
 Entonces n/a es: 
a) 1/2 b) 1/6 c) 3/2 
d) 2 e) 6 
 
 
03. Hallar el valor de “n” si: 
 (n) (3n)(n 1)(n 1)(n 1) (3n 1)(3n 1)− − − = − − 
 
 a) 10 b) 11 c) 13 
 d) 12 e) 9 
 
 
04. Convertir a base 8 el siguiente número que 
está en el sistema binario 
 
300 cifras
N 1111.......................111= 
 Dar como respuesta la suma de cifras del 
resultado 
 
 a) 600 b) 650 c) 700 
CASOS ESPECIALES DE CAMBIO DE 
BASE 
 
 
19 
ARITMETICA 
 
 d) 720 e) N.A. 
 
05. Convertir a base 3 el siguiente número: 
 
60 cifras
N 77777.......................77= (9) 
 Dar como respuesta la suma de cifras del 
resultado. 
 
 a) 120 b) 200 c) 150 
 d) 180 e) N.A. 
 
06. Convertir a base 2 el siguiente número: 
 N = 840 – 1 
 Dar como respuesta la cantidad de cifras del 
resultado. 
 
 a) 120 b) 190 c) 100 
 d) 150 e) N.A. 
 
 
07. Convertir a base 27 el siguiente número: 
 N = 990 – 1 
 Dar como respuesta la cantidad de cifras que 
tiene el número resultante 
 a) 80 b) 60 c) 40 
 d) 20 e) N.A. 
 
08. Si el numeral: 31213402314(n); se convierte a 
base n2. la suma de las cifras del resultado 
sale 96. Hallar el valor de “n”. 
 a) 9 b) 7 c) 8 
 d) 5 e) 6 
 
09. El número 454545… tiene 71 cifras y está 
escrito en base 9. Convertido a base 3 e 
indicar cuántos unos se emplea en dicho 
sistema. 
 a) 121 b) 142 c) 106 
 d) 107 e) 108 
 
10. Si 25n, 40n, 53n están en progresión 
aritmética; convertir el mayor número de 3 
cifras de base n al sistema quinario. 
 
a) 1024 b) 4021 c) 221 
d) 4012 e) 3021 
 
 
11. Convertir el menor numeral de la base 9; 
cuya suma de cifras es 336 al sistema de 
base 27. Dar como respuesta la suma de 
cifras. 
a) 728 b) 630 c) 640 
d) 540 e) 920 
 
 
12. Sea P =
"30 factores"
81x81x81x.............x81 
 Si “P” se expresa en el sistema de base 27. 
¿Cuántas cifras tendrá dicha expresión? 
 
 a) 39 b) 40 c) 41 
 d) 42 e) 43 
 
13. Sea 
"60 factores"
P 16x16x16x.............x16= 
 Si “P” se expresa en el sistema de base 8. 
¿Cuántas cifras tendrá dicha expresión? 
 
 a) 89 b) 80 c) 81 
 d) 120 e) N.A. 
 
14. Halle: b - a + n, si: 
 = (9)ab
ab (n)
abb 7b 
 
 a) 10 b) 8 c) 7 
 d) 4 e) 9 
 
15. Si se sabe que: 
 (11)mn
mn(p)
mnn 9n= 
 Halle “N” en el sistema decimal si: 
 
 
 
 
 
 
 
a) 281 b) 251 c) 247 
d) 275 e) 242 
 
 
PRÁCTICA DOMICILIARIA 
1. Al transformar el numeral 
3 4 52(16) 12(4) 2 9M = + + + al 
sistema cuaternario, se obtiene un numeral 
cuya suma de sus cifras, es: 
a) 14 b) 13 c) 11 d) 10
 e) 9 
2. Hallar “a” 
( )a
20(a 1)(a 1)(a 1)...(a 1) 64 1− − − − = − 
 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 8 
 
 
1n
1n
1n
pp
(3n)
N 1n
 
  
=
 
mn0 veces 
40 veces 
 
 
20 
ARITMETICA 
 
3. Al convertir (3)220001021 al sistema 
nonario se obtiene un numeral cuya suma 
de sus cifras, es: 
a) 16 b) 17 c) 18 
d) 19 e) 20 
 
4. Un numeral capicúa de cinco cifras de base 
3 se expresa en base 9 y se obtiene un 
numeral cuya suma de cifras es once. La 
suma de las cifras del numeral inicial es: 
 
a) 5 b) 8 c) 7 
d) 6 e) 3 
 
5. Al expresar ( )212113 n en base 
2n y 
3n , la suma de las cifras de uno de los 
numerales obtenidos es el triple que la suma 
de cifras del otro numeral. Luego el valor de 
“n” es: 
a) 5 b) 2 c) 4 
d) 8 e) 3 
 
 
6. Si el numeral ( )31213402314 n se 
convierte a base 
2n . La suma de las cifras 
se cuadriplica. Por tanto el valor de “n” es: 
a) 9 b) 7 c) 8 
d) 5 e) 6 
 
7. Si el numeral ( )12102122101122 k se 
convierte a base
3k la nueva suma de sus 
cifras es los 10/3 de la anterior. Entonces el 
valor de “k” es: 
a) 2 b) 3 c) 5 
d) 4 e) 7 
 
 
8. Se escribe “S” en base 8. ¿Cuántos ceros se 
utiliza en su escritura? 
 S = 464 + 232 + 89 + 3 
a) 36 b) 37 c) 38 
d) 39 e) 40 
 
9. Se cumple que 
2011N 8 1= − 
Convertir “N” al sistema cuaternario y dar 
como respuesta la suma de sus cifras. 
 
 a) 9381 b) 9048 c) 9049 
 d) 9085 e) 10045 
 
10. Calcular la suma de cifras al expresar: 
N = 25x85x215x15 256 +++ 
 a base 5. 
 
a) 13 b) 12 c) 9 
d) 10 e) 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CLAVES 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A E C C A A B D C E 
 
 
21 
ARITMETICANÚMEROS AVALES: Son aquellos que tienen 
parte no entera y están representados en una 
base diferente al sistema decimal 
 
CONTEO DE NÚMEROS: 
Para contar una secuencia de números , 
necesitamos tomar en cuenta lo siguiente: 
1. Representación de un Numeral: 
a : numeral de 1 cifra 
ab : numeral de 2 cifras 
abc : numeral de 3 cifras 
abcd : numeral de 4cifras 
 
2. Cifras en el Sistema de Base 10 (Sistema 
Decimal): {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
 
3. Descomposición de un Número: 
 
▪ 5 647 = 5(10)3 + 6(10)2 + 4(10) + 7 
▪ 5647 = 5 600 + 47 
▪ 5647 = 5 000 + 647 
▪ 5647 = 5 000 + 600 + 47 
▪ 5647 = 5 640 + 7 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
1. Si: 0, (6) (9)1bc 0,cb= Halle: b + c 
 
 a) 4 b) 5 c) 6 
 d) 7 e) 8 
 
2. Halle “F” en base 8 si : 
 (5) (7)F 0,ab 0,(2a)b= = 
 
 a) (8)0,3 b) 0,3(8) c) (8)0,4 
 d) 0,4(8) e) (8)0,13 
 
3. Al convertir 0,3125 a base ocho se obtiene: 
a) (8)0, 22 
b) 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) (8)0, 23 
c) (8)0, 24 
d) (8)0, 25 
e) (8)0, 26 
4. Al convertir (8)0, 46 a base cuatro, se 
obtiene: 
a) (4)0, 202 
b) (4)0, 213 
c) (4)0,211 
d) (4)0, 212 
e) (4)0,112 
 
5. Convertir 10,16 a base 5 
 
a) 20,045 b) 20,085 c) 20,165 
d) 20,205 e) 20,245 
 
6. Convertir 123,456 a base 12 y dar como 
respuesta la suma de sus cifras. 
 
a) 15 b) 17 c) 18 
d) 20 e) 24 
 
7. El valor de “x” si se cumple: 
( )0,1664 0,0404 x= 
a) 6 b) 7 c) 5 
d) 8 e) 9 
 
8. Si (6) (9)0,1 0,bc cb= ; entonces el valor 
de “b+c” es: 
a) 4 b) 5 c) 3 
d) 9 e) 8 
 
RESUMEN TEÓRICO 
 
 
22 
ARITMETICA 
 
9. Al transformar el numeral 
7 28 1
20
5 25 125
N = + + + al sistema 
quinario, se obtiene un numeral cuya suma 
de sus cifras, es: 
a) 10 b) 12 c) 13 
d) 14 e) 15 
 
10. Al convertir 31,237 a base cinco, se obtiene 
u numeral periódico, cuya suma de las cifras 
de su periodo es: 
a) 2 b) 3 c) 4 
d) 5 e) 6 
 
11. El valor de 
2 4 6 8
1 1 1 1
......
3 3 3 3
M = + + + + en 
base 27 es: 
a) 0, 3(10)27 
b) b) 
270,2(11) 
c) c) 
270,34 
d) 
270,(26) 
e)
270,3(12) 
 
12. Se escriben los números mayores a 1000 y 
menores a 5000. ¿Cuántos poseen en su 
escritura alguna cifra 7? 
 a) 1458 b) 2168 
 c) 2542 
 d) 1084 e) 2916 
 
 
 
13. Sea b y c números positivos y , 
 8,10,12,.....44d , la cantidad de 
números enteros de la forma 
( )( )3( 6) 11 31
4 7
c d
b b c
  
− − −  
  
; es: 
a) 12 b) 23 c) 19 d) 21
 e) 15 
 
14. Si a, b, c, d y e ; son números enteros no 
negativos, entonces la cantidad de número 
de la forma 
(4 ) ( 7)(3 )( 4)
b
a c d c
a
 
+ + − 
 
 que 
existen, es : 
a) 7200 b) 5840 c) 4260 
d) 2400 e) 1440 
 
15. Al expresar el siguiente numeral capicúa 
(9)
(3 1)(2 )(3 ) 4
3
b
a b c
 
− + 
 
en el 
sistema ternario. La suma de sus cifras es: 
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10
 e) 11 
 
 
PRÁCTICA DOMICILIARIA 
 
1. Convertir: 0,528 a base 5. 
 
 a) 0,232 b) 0,234 c) 0,321 
d) 0,324 e) 0,231 
 
2. Convertir )8(45,0 a base 10. 
 
a) 0,578125 b) 0,588135 c) 0,561853 
 d) 0,478215 e) 0,485125 
 
3. Convertir: 0,16 a base 8. 
 
a) 0,12525 b) 0,12515 c) )8(125,0 
 d) )8(135,0 e) N.A. 
 
4. Convertir: )4(12,0 a base 10. 
 
a) 0,3 b) 0,4 c) 4 
 d) 0,5 e) N.A. 
 
5. Si: 0,ab 0,101(8) (2)= Hallar: a + b. 
 a) 0,5 b) 5 c) 8 
 d) 4 e) N.A. 
 
 
6. ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras 
existen en base 9? 
 
a) 648 b) 729 c) 512 
d) 576 e) N.a. 
 
 
 
 
23 
ARITMETICA 
 
7. ¿Cuántos números pares de 4 cifras 
diferentes entre si, se pueden escribir con las 
cifras 0 ; 1; 4 ; 5 ; 7 y 8 ? 
 
a) 150 b) 180 c) 144 
d) 172 e) N.A. 
 
 
8. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen sola y 
únicamente 2 cifras CINCO en su escritura? 
 
 a) 27 b) 26 c) 25 
 d) 28 e) 29 
 
9. ¿Cuántos números existen en el sistema 
octal si debe tener solamente cifras impares 
y debe ser de 4 cifras?. 
 
 a) 264 b) 246 c) 258 
 d) 256 e) 248 
 
10. ¿En qué sistema de numeración existen 648 
números de la forma: 
 
 )1c)(1c(c)2b(b)2a(a +−−+ ? 
 
a) Duodecimal 
b) Hexadecimal 
c) Decimal 
d) Undecimal 
e) Nonario 
 
 
CLAVES 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
E A C B A A B B D E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
ARITMETICAADICIÓN 
 
Es la operación aritmética que consiste en 
reunir dos cantidades homogéneas en 
una sola. 
 
A + B = S 
 
 
A y B son sumandos S es suma o total. 
 
 PRINCIPALES SUMATORIAS 
 
II. 1 + 2 + 3 + 4 + … + N = 
2
)1N(N +
 
 
III. 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2N = N(N + 1) 
 
IV. 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2N – 1 = N2 
 
V. 12 + 22 + 32 + 42 + … + N2 = 
6
)1N2)(1N(N ++
 
 
VI. 13 + 23 + 33 + 43 + … + N3 = 
2
2
)1N(N





 +
 
 
VII. S.P.A. = 
osmintérºN.
2
ÚltimoimeroPr







 +
 
 
VIII. SD = 
R1
a1
−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 SUSTRACCIÓN 
 
Es una operación que tiene por objeto 
dadas dos cantidades: minuendo y 
sustraendo, obtener una tercera llamada 
diferencia, que determina la cantidad de 
unidades en que el minuendo excede al 
sustraendo. 
 
 
M - S = D 
 
 
 PROPIEDADES 
 
1. La suma de los tres términos de una 
sustracción es igual al doble del 
minuendo. 
 
M + S + D = 2M 
 
 
2. Dado: pqbaab =− donde a > b 
Se cumple que: 
 
p + q = 9 
 
 
3. Dado: mnpcbaabc =− 
Donde a > c 
Se cumple que: 
 
 n = 9 
m + p = 9 
a – c = m + 1 
 
 
 
 
 COMPLEMENTO ARITMÉTICO 
 
El complemento aritmético de un 
número positivo es lo que le falta a 
dicho número para ser igual a una 
unidad de orden inmediato superior. 
 
CUATRO OPERACIONES I 
 
 
25 
ARITMETICA 
 
Ejm: 
 
 CA(42) = 100 – 42 = 58 
 CA(4325) = 10000 – 4325 
= 5675 
 
En general: 
 CA(N) = 10k – N 
 K → Número de cifras de N 
 
 
 REGLA PRÁCTICA 
 
Para hallar el complemento 
aritmético de un número, a partir de 
su mayor orden se restan las cifras 
de 9 y a la última cifra significativa de 
10, si hay cero al final estás 
permanecen en el CA. 
 
Ejm: 
 
 CA(1046683) = ……………………… 
 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
 
1. La diferencia de dos números es 305, si al 
mayor le quitamos 20 y al menor le 
aumentamos 85. La nueva diferencia es: 
 
a) 350 b) 200 c) 240 
d) 180 e) 179 
 
2. Cumpliéndose que: 
 
84bcaa8ab ++ = 2328 
 
Hallar: abc 
 
a) 786 b) 687 c) 678 
d) 876 e) 768 
 
3. La suma del minuendo, sustraendo y 
diferencia de una sustracción es 19 456 y el 
minuendo es el cuádruplo del sustraendo, 
hallar el sustraendo. 
 
a) 2432 b) 1216 c) 3648 
d) 608 e) 3040 
 
4. Si: 4xxxa4cab3 =+ . Hallar el valor de: a 
+ b + c + x 
 
a) 19 b) 20 c) 21 
d) 22 e) 23 
 
5. Un numeral de 3 cifras es tal que al restarle 
el doble de su C.A resulta 523. ¿Cuál es 
dicho número? 
 
a) 523 b) 741 c) 841 
d) 736 e) 839 
 
6. ¿Cuál es el valor de “z” en la siguiente 
operación? 
 
68yyx2yx5x7zy74x =++ 
 
a) 4 b) 5 c) 6 
d) 7 e) 8 
 
7. Sabiendo que: 
 
abc − cba = 5xy ; a + c = 11 
 
Determinar el valor: a2 + c2 
 
a) 74 b) 65 c) 73 
d) 64 e) 91 
 
8. Calcular: a.b.c, si: 
 
abc − cba = pm2 
abc + cba = m84 
 
a) 32 b) 70 c) 35 
d) 36 e) 72 
 
9. Si: dd)1c(ddbcab −=++ . Hallar: a.c + b 
 
a) 10 b) 15 c) 20 
d) 8 e) 11 
 
10. Sabiendo que: 
 
abcde4747abcde + = 12132233 
 
Hallar: a + b + c + d + e 
 
a) 25 b) 26 c) 27 
d) 28 e) 29 
 
 
 
 
 
 
 
26 
ARITMETICA 
 
11. Si: 
C.A
  )2)(2)(1()4)(3)(2( cbacba −+=+++ 
 
Entonces el valor de (a + b + c) es: 
 
a) 6 b) 7 c) 8 
d) 9 e) 11 
 
12. Sabiendo que la suma de 25 números 
enteros consecutivos es 775. Hallar la suma 
de los 25 números consecutivos siguientes. 
 
a) 920 b) 1400 c) 825 
d) 975 e) 2100 
 
13. La suma de 21 números enteros y 
consecutivos se halla comprendido entre 
1060 y 1090. Hallar el término central. 
 
a) 31 b) 52 c) 73 
d) 50 e) 51 
 
14. La suma de los C.A de los 3 términos, de una 
sustracción es 180. Calcular la suma de las 
cifras del minuendo, si además se sabe que 
los tres términos de la sustracción son de 2 
cifras. 
 
a) 2 b) 3 c) 4 
d) 5 e) 7 
 
15. Hallar el valor de ANA si: 
 
ANAA10...A3A2 =+++ 
 
a) 474 b) 585 c) 696 
d) 676 e) N.A 
 
PRÁCTICA DOMICILIARIA 
 
1. Un número de 3 cifras es tal que: 
 
abc − cba = 3mn 
 
Si se sabe que la suma de sus cifras es 19. 
Hallar el valor de: a2 + b2 + c3 
 
a) 150 b) 151 c) 152 
d) 149 e) 153 
 
2. Hallar “N” si se cumple: 
 
1 + 2 + 3 + 4 + … + N = mpmp , p  0 
 
a) 100 b) 101 c) 102 
d) 72 e) 76 
 
3. Si se cumple: 
 
1 + 2 + 3 + … + N = aaa 
 
Hallar: 12 + 22 + 32 + … + N2 
 
a) 17 408 b) 16206 c) 15 408 
d) 12 406 e) 18 302 
 
4. Hallar: p + q + r, si: 
 
cbaabc + = 1272 
7pqracbbac =+ 
 
a) 6 b) 7 c) 8 
d) 5 e) 4 
 
5. Con tres cifras que suman 19 se forma un 
número de tres cifras de tal manera que su 
complemento aritmético sea otro número de 
3 cifras consecutivas crecientes. Hallar la 
cifra de 2do orden del número. 
 
a) 4 b) 5 c) 6 
d) 7 e) 8 
 
 
6. Si 13x y z+ + = , calcule 
88 8 8
3 4 5xyz x yzx z y+ + + 
a) 
81143 b) 82027 c) 82141 
d) 
82241 e) 82143 
 
 
 
CLAVES 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
D B B D C D C B C A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
ARITMETICAMULTIPLICACIÓN 
 
Es la operación donde a cada par 
ordenado de número A y B llamados 
factores (multiplicando y multiplicador) le 
hace corresponder un tercer número P, 
llamado producto. 
 
A x B = P 
 
A → Multiplicando 
B → Multiplicador 
C → Producto 
 
 DIVISIÓN 
 
 DIVISIÓN ENTERA 
Es la operación inversa de la 
multiplicación que tiene por objeto, 
dados dos números: dividendo (D) y 
divisor (d). Hallar un tercer número 
llamado cociente (q) que indica 
cuantas veces contiene el dividendo 
al divisor. 
 
D d 
R q 
 
 
 
 
 
 CLASES DE DIVISIÓN 
 
A. División entera exacta: Es 
aquella en la cual el dividendo 
contiene al divisor un número 
entero de veces, es decir 
cuando el residuo es cero. 
 
 
 D d 
 0 q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B. División entera inexacta: 
Cuando el residuo es mayor 
que cero. 
 
B.1. División entera inexacta 
por defecto. 
 
 D d 
 R q 
 
 
B.2. División entera inexacta 
por exceso. 
 
 D d 
 
 Re q + r 
 
 
 PROPIEDADES 
 
I. En toda división se cumple que 
el residuo es menor que el 
divisor. 
 
 cero  residuo < divisor 
 
II. En la división entera inexacta se 
cumple: 
 
 Residuo máximo = divisor – 1 
 Residuo mínimo = 1 
 
III. Cuando una reunión se realiza 
por defecto y por exceso, se 
cumple que la suma de 
residuos es igual al divisor. 
 
 R + Re = divisor 
 
IV. Si se multiplica o divide el 
dividendo y divisor de una 
división entera por un mismo 
número, el cociente no varía 
pero el residuo según el caso 
 
CUATRO OPERACIONES II 
D: dividendo 
d: divisor 
q: cociente 
R: residuo 
 D = d . q 
 D = d . q + R 
 D = d(q + 1) - Re 
 
 
28 
ARITMETICA 
 
queda multiplicado o dividido 
por dicho número. 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
 
1. En cuántas veces su valor habrá aumentado 
el producto de tres factores sabiendo que uno 
de ellos aumento en su duplo, otro en su 
triple y el tercero en su cuádruple. 
 
a) 24 veces b) 59 c) 60 
d) 20 e) 30 
 
2. ¿Cuántos números de tres cifras existen tales 
que al dividirlos entre 37 de un resto igual al 
doble del cociente respectivo? 
 
a) 16 b) 20 c) 24 
d) 36 e) 37 
 
3. El producto de dos números es 720 si se 
añaden 6 unidades al multiplicando, el 
producto es entonces 816. ¿Cuál es el 
multiplicador? 
 
a) 82 b) 36 c) 45 
d) 16 e) 32 
 
4. Dividiendo un número entre 113, se halla por 
resto 11 y dividiendo entre 108, el resto es 
31, si en las dos divisiones el cociente es el 
mismo. ¿Cuál es el producto de las cifras del 
dividendo? 
 
a) 24 b) 36 c) 48 
d) 54 e) 72 
 
5. El producto de un número por “a” es 448 y 
por “b” es 336. Hallar el producto de este 
número por el mayor número capicúa de 3 
cifras que se puede formar con “a” y “b”. 
 
a) 48 608 b) 54 303 c) 51608 
d) 38 416 e) 27 548 
 
 
6. El cociente de una división entera es 11 y el 
resto es 39. Hallar el dividendo si es menor 
que 500. Dar como respuesta el número de 
soluciones posibles, 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
7. Hallar: E = (b + c) − (a + d). Si en la 
multiplicación abcd x 95, la diferencia de 
los producto parciales es 15 372. 
 
a) 12 b) 6 c) 3 
d) 8 e) 10 
 
8. En una división inexacta, al resto le faltan 35 
unidades para ser máximo y le sobran 29 
unidades para ser mínimo. ¿Cuál es el valor 
del dividendo si el cociente es 23? 
 
a) 1495 b) 1550 c) 1501 
d) 1548 e) 1524 
 
9. Sabiendo que: 
 
abc x a = 5201 
abc x b = 2972 
abc x c = 2229 
 
Hallar: 
2abc 
 
a) 544 316 b) 552 049 c) 673 151 
d) 662 046 e) 324 426 
 
10. La suma de los cuatro términos de una 
división es 425. Si se multiplica por 5 al 
dividendo y al divisor y se vuelve a efectuar la 
operación, la suma de los términos sería 
2073. Hallar el cociente respectivo. 
 
a) 13 b) 11 c) 12 
d) 14 e) 17 
 
11. Hallar el producto de dos números sabiendo 
que si a uno de ellos se le disminuye en 16 
dicho producto disminuye en 672, pero si al 
otro se le aumenta en 19 el producto 
aumenta en 1083. 
 
a) 1647 b) 2394 c) 1974 
d) 2444 e) 2450 
 
12. Hallar un abcd que multiplicado por 37, 
termina en 8bcd . Dar como respuesta: a + 
b + c + d 
 
a) 15 b) 14 c) 16 
d) 18 e) N.A 
 
 
 
29 
ARITMETICA 
 
13. La suma de los cuatro términos de una 
división entera inexacta es 641. Si al 
dividendo y al divisor se le multiplica por 7, la 
nueva suma de términos será 4 349. ¿Cuál 
es el menor valor del dividendo? 
 
a) 493 b) 375 c) 588 
d) 174 e) 573 
 
14. Sabiendo que: 
 
abcd x m = 16410 
 abcd x n = 22974 
 abcd x p = 13128 
 
Hallar la suma de cifras del resultado de 
multiplicar abcd por el menor capicúa de 5 
cifras que se puede formar con las cifras m, n 
y p. 
 
a) 48 b) 33 c) 51 
d) 53 e) 45 
 
15. Al residuo de una cierta división le faltan 8 
unidades para ser máximo. Si se suman 6416 
unidades al dividendo, el cociente aumenta 
en 89 y el residuo se vuelve máximo. ¿Cuál 
es el divisor? 
 
a) 45 b) 58 c) 72 
d) 81 e) 90 
 
PRÁCTICA DOMICILIARIA 
 
1. Si al multiplicador de una multiplicación se le 
aumenta 6 unidades, el producto aumenta 
en 750. Pero si al multiplicando se le 
disminuye e 4 unidades, el producto 
disminuye en 128. Calcule el producto 
inicial. 
a) 3000 b) 2500 c) 1250 
d) 3750 e) 4000 
2. Halle un número que al ser dividido entre 45 
da un cociente 34 y un residuo máximo. 
a) 1530 b) 1542 c) 1574 
d) 1612 e) 1724 
3. Al dividir 254 entre n+1 se obtiene como 
cociente n y de residuo (n-1). ¿Cuál es el 
valor de n? 
a) 14 b) 15 c) 16 
d)13 e) 12 
4. Se tiene que: 8 887777 4 5 ...3 2xa b c d= 
Calcule a x b +c x d 
a) 35 b) 34 c) 29 
d) 24 e) 21 
5. Si la suma de los productos parciales de 
49abcx es 4511; halle la suma de cifras 
del producto. 
a) 9 b) 10 c) 11 
d) 12 e) 13 
 
6. Se sabe que en una división entera el divisor 
es 30 y el residuo 12. Cuántas unidades 
como mínimo se le puede disminuir al 
dividendo, para que el cociente disminuya 
en 11 unidades. 
 
a) 311 b) 315 c) 312 
d) 314 e) 313 
 
7. Hallar un número de 3 cifras que multiplicado 
por 73 termina en 417. Dar el producto de 
sus cifras. 
 
a) 15 b) 18 c) 32 
d) 42 e) 72 
 
8. Dado: abcde x 999 = … 47253. Hallar: a + 
b + c + d + e 
 
a) 27 b) 32 c) 24 
d) 39 e) 36 
 
9. Hallar la suma de todos los números de tres 
cifras que la dividirse entre 23, dan un 
residuo igual al triple del cociente. 
 
a) 728 b) 718 c) 780 
d) 772 e) 572 
 
10. Si se sabe que: 
 
19N = ……………… 541 
13N = ……………… 107 
 
Hallar la suma de las tres últimas cifras de 
72N. 
 
a) 10 b) 14 c) 16 
d) 18 e) 20 
 
 
CLAVES 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
E C B C C E B E A A 
 
 
 
 
 
30 
ARITMETICALa divisibilidad es una parte de la teoría de los 
números que analiza las condiciones que debe 
tener un número para que sea divisible por 
otro. 
 
¿Y cuándo un número es divisible por otro? 
Se dice que “A” es divisible por “B”, si al dividir 
“A” entre “B” la división resulta exacta (cociente 
entero y residuo cero). 
 
"A es divisible por B"
A B
0 q cociente entero
residuo cero

→

 
 
Ejemplo: 
91 es divisible por 7; pues 
91 7
0 13
 
 
1. DEFINICIÓN DE DIVISOR 
Se dice que B es divisor de A, cuando lo 
divide en forma entera y exacta. 
Es decir: 
Si A B
0 K
 
 
Donde: 
A es un entero 
 B es un número natural 
 k es un número entero 
 
 Se lee: B es divisor de A 
 A es divisible por B 
 
2. DEFINICIÓN DE MÚLTIPLO 
Se dice que A es múltiplo de B, cuando lo 
contiene un número entero y exacto de 
veces. 
Es decir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si A B
0 K
 
 Donde: 
A es un entero 
 B es un número natural 
 k es un número entero 
 
( )A B K= 
 
 
A es múltiplo de B. 
 
Notación: A B= 
 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
 
01. Del 1 al 400. ¿Cuántos no son múltiplos de 
7? 
 
 a) 345 b) 342 c) 343 
 d )57 e) 56 
 
02. ¿Cuántos múltiplos de 7 están comprendidos 
entre 30 y 300? 
 
 a) 36 b) 37 c) 38 
 d) 39 e) 40 
 
03. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos 
de 8 y terminan en la cifra 4? 
 
 a) 20 b) 21 c) 22 
 d) 23 e) N.A. 
 
04. ¿Cuántos números de 3 cifras terminan en 6 
y son múltiplos de 7? 
 a) 12 b) 13 c) 14 
 d) 15 e) 16 
 
05. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos 
de 14 y terminan en 8? 
 
a) 18 b) 12 c) 24 
d) 13 e) 27 
 
DIVISIBILIDAD I 
 
 
 
31 
ARITMETICA 
 
06. En un barco habían 180 personas, ocurre un 
naufragio y de los sobrevivientes, 2/5 fuman, 
3/7 son casados y los 2/3 son ingenieros. 
Determinar cuántas personas murieron en 
dicho accidente. 
 
 a) 60 b) 65 c) 70 
 d) 75 e) 105 
 
07. El número de alumnos de un aula es menor 
que 240 y mayor que 100; se observa que a 
los 2/7 del total usan anteojos y los 5/13 son 
alumnos de ciencia. ¿Cuál es la suma de los 
alumnos y que usan anteojos con los de la 
especialidad de ciencias? 
 
 a) 110 b) 91 c) 120 
 d) 108 e) 122 
 
08. En una reunión hay 690 personas entre 
hombres y mujeres, y se observa que de las 
mujeres los 5/8 son trujillanas; los 3/11 tienen 
hijos y los 2/5 practican vóley. ¿Cuántos 
hombres hay en la reunión? 
 
 a) 240 b) 50 c) 250 
 d) 48 e) N.a 
 
09. En una conferencia de prensa a donde 
asistieron 83 personas; se sabe que los 7/17 
de los varones son solteros y los 5/8 de las 
damas tenían automóvil. ¿Cuál es la 
diferencia del número de damas y varones? 
 a) 19 b) 20 c) 21 
 d) 22 e) 23 
 
10. A una reunión asistieron 123 personas de las 
cuales los 4/15 de los hombres, bailaban y la 
séptima parte de las mujeres usaban falda. 
¿Cuántas mujeres hay? 
a) 50 b) 60 c) 63 
d) 70 e) 120 
 
 
11. ¿Por qué número es siempre divisible un 
número de la forma abba ? 
 a) 2 b) 7 c) 13 
 d) 11 e) 9 
 
12. Los números de la forma ab(2a)(2b) siempre 
son divisibles entre: 
 
 a) 8 b) 9 c) 12 
 d) 51 e) 68 
 
13. Los números de la forma abcabc siempre 
son múltiplos de 
 a) 17 b) 9 c) 13 
d) 90 e) 43 
 
14. Un número de la forma abab siempre es 
múltiplo de : 
 
 a) 11 b) 91 c) 7 
 d) 131 e) 101 
 
15. Si a  b 
 
 
2 2
aba bab− No siempre es divisible entre : 
 
 a) 3 b) 7 c) 13 
 d) 23 e) 37 
 
 
PRÁCTICA DOMICILIARIA 
 
01. De los 1800 primeros números naturales, 
cuántos son múltiplos de 6 pero no de 9? 
a) 200 b) 100 c) 150 
d) 120 e) 180 
 
02. Del número 2000 al 3000. ¿Cuántos 
números son 

7 pero no de 

13 ? 
 
a) 132 b) 134 c) 139 
d) 143 e) 151 
 
 
03. ¿Cuántos números de dos cifras son múltiplos 
de 2 ó 3? 
 a) 60 b) 45 c) 30 
 d) 15 e) 75 
 
 
04. ¿Cuántos números de tres cifras del sistema 
de base 6 son múltiplos de 4 pero no de 6? 
 a) 16 b) 46 c) 30 
d) 18 e) 20 
 
 
05. ¿Cuántos términos de la siguiente secuencia 
son divisibles por 30? 
(8x24), (9x24), (10x24), ...., (130x24) ? 
 
a) 23 b) 24 c) 26 
 d) 25 e) 28 
 
06. Al naufragar un barco en el cual viajaban 
200 personas se observa que de los 
 
 
32 
ARITMETICA 
 
sobrevivientes 1/7 son casados, 3/5 
colombianos y 1/3 son marinos. 
¿Cuántos murieron? 
a) 105 b) 130 c) 95 
d) 120 e) 100 
 
07. Rosaura, dice lo siguiente: en un salón 
hay 64 carpetas individuales, del total de 
mis compañeros 1/2 postulan a la UNI, 
1/12 a los PUCP, 1/15 a San Marcos y el 
resto a TECSUP. ¿Cuántos postulan a 
TECSUP junto con Rosaura? 
a) 21 b) 23 c) 25 
d) 22 e) 19 
 
08. Señale la respuesta falsa todo numeral de 
la forma (2a)(2b)(2c)abc es siempre 
múltiplo de: 
 
 a) 29 b) 3 c) 27 
 d) 17 e) 46 
 
09. Un número de la forma ab0ab no 
siempre es múltiplo de: 
 
 a) 11 b) 91 c) 7 
 d) 13 e) 17 
 
 
10. En un barco viajan 150 personas, ocurre 
un accidente y de los sobrevivientes 2/9 
son solteros y los 13/14 son estudiantes. 
¿Cuántos murieron? 
 
a) 24 b) 21 c) 18 
d) 27 e) 3 
 
 
CLAVES 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A A A B D C D D E A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
ARITMETICACRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 
Para saber en forma inmediata si un número es 
divisible entre otro, en algunos casos no es 
necesario efectuar la división correspondiente, 
porque bastará conocer algunas 
características de tal situación de divisibilidad; a 
estas características las conocemos como 
criterios de divisibilidad. 
 
 
 
A. POR UNA POTENCIA DE 2: (2n) 
Un número es divisible por 2n si sus “n” 
últimas cifras forman un numero múltiplo 
de 2n. 
 Ejemplo: 
abcde = 2  e = 2 
abcde = 4  de = 4 
abcde = 8  cde = 8 
 
Ejemplo: 
¿Qué valor debe asignarle a “z” para que el 
numeral 11443z sea divisible entre 8? 
 
Resolución: 
Como 8 = 23 entonces nos fijaremos en las 3 
últimas cifras del numeral 11443z . 
Es decir 43z debe ser 8 
43z 8
3z 54
0
 
 
 
 
 
 
B. POR UNA POTENCIA DE 5: (5n) 
Un número es divisible por 5n si sus “n” 
últimas cifras son ceros (0) o forman un 
número múltiplo de “5n”. 
abcde = 5  e = 5 ó 0 
abcde = 25  de = 00 , 25 
abcde = 125  cde = 000 , 125 
 
C. DIVISIBILIDAD POR 3 o 9 
Un numeral es divisible por 3 o 9 si y solo 
sí la suma de sus cifras es divisible entre 
3 (o entre 9). 
abcd = 3  a + b + c + d = 3 
abcd = 9  a + b + c + d = 9 
D. DIVISIBILIDAD POR 11 
Un numeral es divisible entre 11 sí y solo sí 
la diferencia entre la suma de sus cifras 
de orden impar y la suma de sus cifras de 
orden par es divisible entre 11. 
 abcde
+ − + − +
=11  a - b + c - d + e = 11 
 
 
 
E. DIVISIBILIDAD POR 7 
Un numeral es divisible entre 7 si al 
multiplicar a cada una de sus cifras de 
derecha a izquierda por 1, 3, 2, -1,-3, -2, 1, 
3, … y luego efectuar su suma algebraica 
resulta divisible entre 7. 
 
1 2 3 1 2 3 1
a bcdef g 7
+ − +
= 
  a – 2b – 3c – d + 2e + 3f + g = 7 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
 
1. Determina el valor de la cifra “x” si el 
número 8x6x2 es divisible entre 13. 
 
La característica que debe poseer 
un número para poder ser dividido 
por otro son llamados CRITERIOS 
DE DIVISIBILIDAD. 
 
DIVISIBILIDAD II 
 
 
34 
ARITMETICA 
 
a) 2 b) 3 c) 4 
d) 6 e) 8 
 
2. Calcular a + b, si 
o
89a46b 56= 
 
 a) 9 b) 6 
 c) 4 
 d) 5 e) 7 
 
3. Calcular “b - a” si el número bab4a4 es 
divisible entre 63. 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
4. Si 15! = 130a6a4368000 
 Hallar “a” 
 
 a) 2 b) 6 
 c ) 7 
 d) 4 e) N.A. 
5. Si abc = 5.a.b.c Hallar a+b+c 
 
 a) 12 b) 13 c) 11 
 d) 8 e) 10 
 
6. Si: 

15babababab = 
Además: a < b Hallar: a x b 
 
a) 6 b) 8 c) 10 
d) 12 e) 14 
 
7. Si ba2a13 es divisible entre 63. ¿Cuál es 
la suma de todos los posibles valores de a 
y b? 
a) 14 b) 16 c) 18 
d) 20 e) 22 
 
 
8. El alumno Benyi olvidó la contraseña de su 
correo, sólo recordaba que era un número 
de 4 cifras divisible por 5 , 9 y 11. Además 
la primera y la última cifra eran iguales. 
¿Cuál era la contraseña?. Dar como 
respuesta la suma de sus 3 últimas cifras. 
 a) 9 b) 10 c) 11 
 d) 12 e) 13 
 
9. Si se cumple que
0
4a23b45 99= , entonces 
el residuo que se obtiene al dividir dicho 
número entre 7, es de: 
 a) 5 b) 6 c) 4 
 d) 3 e) 2 
 
10. En una empresa trabajan 180 empleados. 
Se selecciona un grupo de ellos, 
notándose que si se les agrupa de 8 en 8, 
de 10 en 10 y de 12 en 12 siempre sobra 1. 
Del número de no seleccionados. ¿Cuál es 
la suma de sus cifras? 
 a) 4 b) 7 c) 10 
 d) 14 e) 16 
 
11. El número de libros de una biblioteca es tal 
que si se cuenta de 11 en 11, sobren 9; de 
15 en 15 sobran 13; de 18 en 18 sobran 16 
y de 20 en 20 sobran 18. ¿Cuántos son los 
libros si dicho número está comprendido 
entre 2000 y 4000? 
 a) 3958 b) 2588 c) 2598
 
 d) 3858 e) 3388 
 
 
12. El número de alumnos del CPU está 
comprendido entre 850 y 950. Si se 
cuentan de 12 en 12 sobran 5; de 15 en 15 
sobran 8 y de 18 en 18 sobran 11. Halla el 
número de alumnos inscritos. 
a)893 b)891 c)898 
d)899 e)895 
 
13. El número de páginas de un libro es mayor 
que 500 y menor que 600. Si se cuentan 
de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y 
de 7 en 7 sobran 6. ¿Cuántas páginas 
tiene el libro? 
a)512 b)564 
c)534 
d)524 e)547 
14. Si 
0
abc 11= 
0
cba 7=
.
0
bac 9= Calcular 
a.b.c. 
 a) 162 b) 148 c) 216 
d) 152 e) 144 
 
15. Sabiendo que abcd al ser dividido entre 
4,9,11 y 25 deja como residuos 0,3,9 y 3 
respectivamente . Hallar a+b 
 a) 12 b) 11 c) 10 
d) 15 e) 9 
 
PRÁCTICA DOMICILIARIA 
1. Calcular “a” en: 

913aa4 = 
 
a) 2 b) 5 c) 3 
 
 
35 
ARITMETICA 
 
d) 4 e) 6 
 
2. Hallar el valor de “x” para que xx14 sea 
divisible por 12. 
a) 4 b) 5 c) 6 
d) 7 e) 8 
 
 
3. Hallar a + b 
 Si 
o
3a33b 55= 
 además ¨a¨ y ¨b¨ son cifras significativas. 
 
 a) 13 b) 5 c) 18 
 d) 12 e) 8 
 
 
4. Hallar ab sabiendo que el número de la 
forma 2a3b26a es divisible entre 72. 
 
 a) 64 b) 24 c) 26 
 d) 46 e) 36 
 
5. Halle el valor de “a” si: 
0
1 2 4 19a a = 
a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
6. Si: 

9x10...x3x2x1 =++++ . Hallar 
“x” 
 
a) 9 b) 8 
d) 5 e) 6 
 
7. Si: 

1435b9aa = 
Hallar: a – b 
 
a) 2 b) 3 c) 4 
d) 5 e) 6 
8. ¿Cuántos números de 4 cifras de la forma 
abba son divisibles entre 7? 
 
a) 9 b) 18 c) 20 
d) 14 e) 7 
 
9. Sabiendo que el numeral 
8234 +=
o
abc , ¿Cuál es el menor 
número que se le debe sumar a 4abc 
para que sea 
o
23 ? 
A) 10 B) 11 C) 12 
D) 13 E) 14 
 
10. Si el numeral a53b726c
 
es divisible 
entre 8 . además al ser dividido entre 11 
el residuo es 10 y al ser dividido entre 9 
el resto es 2 .Hallar a+b+c 
 
a) 11 b) 15 c) 16 
d) 17 e) 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CLAVES 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
B E E D E A C B B B 
 
 
36 
ARITMETICASe llaman restos potenciales de un entero "E" 
respecto a un módulo "m" al residuo que deja 
cada una de las potencias naturales de "E" al ser 
divididos entre el módulo "m". 
 
Ejemplo: Calcular los restos potenciales de 3 
respecto al módulo 5. 
 
Solución: 
 30 = 
0
5 + 1 
 31 = 
0
5 + 3 
 32 = 
0
5 + 4 g = 4 
 33 = 
0
5 + 2 
 
 34 = 
0
5 + 1 
 35 = 
0
5 + 3 
 36 = 
0
5 + 4 
 37 = 
0
5 + 2 
"Observe que los restos potenciales empiezan a 
repetirse en forma ordenada y periódica. Al tomar 
una potencia cualquiera luego de 4 potencias 
sucesivas se obtendrá el mismo resto que deja la 
potencia tomada". 
GAUSSIANO (g): Se llama así a la menor 
cantidad de restos diferentes posibles que forman 
el periodo. En el ejemplo anterior: g = 4. 
Se tiene en general: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
5 + 1  E = 
0
4 
 3E = 
0
5 + 3  E = 
0
4 + 1 
 
0
5 + 4  E = 
0
4 + 2 
 
0
5 + 2  E = 
0
4 + 3 
 
Ejemplo: Hallar el resto de dividir: 340001 entre 5. 
340001 = 
0
5 + r 
 34+1 = 
0
5 + r 
 
0
5 + 3 = 
0
5 + r 
Por tanto : r = 3 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
01. Hallar “x” si 7 52 17
o
x = 
 
 a) 2 b) 1 c) 3 
 d)5 e) 7 
 
02. Hallar “x” si + =
o
5705 78x 17 
a) 9 b) 3 c) 2 
d)5 e) 8 
03. Si 
º
13abcd= 2)ab3(cd += . Calcular a+ 
d 
a) 12 b) 8 
c) 4 
d) 15 e) 6 
 
04. Hallar la suma de la cifras del menor número 
abcd tal que: 
º
19abcd= y (ab)C.A.=cd 
a) 10 b) 15 c) 18 
d) 19 e) 26 
 
05. Determinar el mayor número menor que 600 
tal que al restarle su complemento aritmético 
 
RESTOS PONTENCIALES 
 
 
37 
ARITMETICA 
 
da como resultado un múltiplo de 17. Dar 
como respuesta la suma de sus cifras. 
 a) 15 b) 21 c) 17 
d) 20 e) 18 
06. Halle el residuo de dividir E  5 si 

20042005
2006E = 
a) 0 b) 1 c) 2 
d) 4 e) 3 
 
07. Halle el residuo de dividir 3E  
 
si 
102101100
5E = 
 
a) 0 b) 1 c) 2 
d) 3 e) N.A. 
 
 
08. Halle el residuo de dividir 83
450
 
 
a) 1 b) 3 c) 5 
d) 7 e) 6 
 
09. Hallar el residuo de dividir 53
400
 
 
a) 3 b) 4 c) 2
 
d) 1 e) 0 
 
10. Hallar el resto de dividir 2200 entre 7 
 
 a) 1 b) 2 c) 3 
 d) 4 e) 5 
 
 
11. Si se divide 84365
43
 , el resto es: 
a) 2 b) 3 c) 5 
d) 6 e) N.A. 
 
 
12. Halle el resto de dividir 95
302
 
 
a) 5 b) 7 c) 8 
d) 4 e) 2 
 
13. El resto de dividir 
55
33333 entre 5 es: 
 
 a) es exacta b) 1 c)2 
 d) 3 e) 4 
 
14. Se efectúa el producto de 375 veces el factor 
3, convirtiéndose el resultado al sistema de 
base 20. ¿Cuál es la última cifra de dicha 
expresión? 
 
a) 2 b) 7 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
15. ¿Cuál es la última cifra en base 9 de: 
652256 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) N.A 
 
 
PRÁCTICA DOMICILIARIA 
01. Hallar el resto de dividir 
4227 entre 9. 
 
a) 4 b) 2 c) 7 
d) 3 e) 8 
 
02. Hallar el residuo de dividir 
44051 entre 7. 
 
a) 2 b) 3 c) 4 
 d) 5 e) 1 
03. ¿Cuál es el residuo al dividir 
98UNI68 
 
 entre 11 ? 
a) 2 b) 1 c) 8 
 d) 7 e) 3 
04. En el sistema de base 7 la cifra de las 
unidades del número 25)1457( es: 
 
a) 2 b) 3 c) 4 
 d) 5 e) 1 
 
05. Hallar el residuo de dividir : 
7544368 entre 11 
 
 a) 2 b) 3 c) 1 
 d) 0 e) 4 
 
 
 
CLAVES 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A A E E B C A A B E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
ARITMETICARESUMEN TEÓRICO 
 
NUMERO PRIMO O PRIMO ABSOLUTO 
Es aquél número que tiene únicamente dos 
divisores: La unidad y él mismo. 
Ejemplo: 
Números primos menores que 100 
2 3 5 7 11 
13 17 19 23 29 
31 37 41 43 47 
53 59 61 67 71 
73 79 83 89 97 
 
Observación: Al número 1 no se le considera 
número primo, por tener sólo 1 divisor que sería 
él mismo. 
 
NUMERO COMPUESTO 
Es aquél número que tiene más de dos divisores. 
Ejemplo: Son números compuestos: 
4;6;8;9;10;12;… 
 
NÚMEROS PRIMOS RELATIVOS COPRIMOS O 
PRIMOS ENTRE SÍ (PESI) 
Son dos ó más números que tienen como único 
divisor común a la unidad. 
 
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ DOS A DOS 
(PESI 2 a 2) 
Dado un conjunto de tres o más números, 
diremos que son PESI 2 a 2; cuando al 
agruparlos de dos en dos resultan ser PESI, 
respectivamente. 
 
Ejemplo: Los números 8 ; 9 y 25 son PESI 2 a 2; 
puesto que: 
• 8 y 9 son PESI 
• 8 y 25 son PESI 
• 9 y 25 son PESI 
 
REGLA PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO 
ES PRIMO 
Para saber si un número dado es primo o no, se 
deben seguir los siguientes pasos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Extraer la raíz cuadrada, aproximadamente 
por defecto. 
b) Enumerar los números primos menores a 
esta aproximación. 
c) Aplicar las condiciones de divisibilidad del 
número por cada uno de estos números 
primos. Si en ninguno de los casos es 
divisible, se dice que el número es primo. 
 
Ejemplo 1: 
¿Es 139 número primo? 
 
Solución: 
a) 139 11,... 
b) Números primos menores que 11,… 
 p = {2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11} 
c) Luego: 
  
  
  
0 0 0 0 0
139 2,3,5,7,11 es decir, 
 139 no es divisible por 2 ; 3 ; 5 ; 7 
y 11. 
  139 es un número primo. 
 
Ejemplo 2: 
¿Es 371 número primo? 
 
Solución: 
a) 371 19,... 
b) p = {2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19} 
c) Pero; =
0
371 7 
 371 no es primo 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA 
ARITMETICA (TEOREMA DE GAUSS) 
Todo número entero mayor que uno, se puede 
descomponer como el producto de factores 
primos diferentes entre sí elevados a ciertos 
exponentes enteros positivos; dicha 
descomposición es única y se le llama: 
“Descomposición Canónica”. 
 
ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN 
NÚMERO 
ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN 
NÚMERO 
 
 
39 
ARITMETICA 
 
Sea “N” un número compuesto, con 
descomposición canónica: 
 
 
 
Donde: 
• A, B, C <> Factores o divisores primos 
• α,β,γ <> Exponentes enteros positivos. 
 
Se definen: 
1. CANTIDAD DE DIVISORES DE UN 
NÚMERO N 
 
 
 
2. SUMA DE LOS DIVISORES DE UN 
NÚMERO N 
 
 
 
3. SUMA DE LA INVERSAS DE LOS 
DIVISORES DE UN NÚMERO N 
 
 
 
4. PRODUCTO DE LOS DIVISORE DE UN 
NÚMERO N 
 
 
 
PROPIEDADES 
 
P.1 La serie de los números primos es ilimitada. 
 
P.2 Varios números consecutivos siempre serán 
primos entre sí. 
 
P.3 La cantidad de divisores de un número N, es 
igual al número de divisores primos de N.(Dp), 
más el número de divisores compuestos de 
N.(Dc) y más 1; es decir: 
 
 
 
 
PRÁCTICA DE CLASE 
 
1. ¿Cuántos ceros se deben escribir a la 
derecha de 9 para que el resultado tenga 239 
divisores compuestos? 
 a) 6 b) 12 c) 10 
 d) 9 e) 8 
 
2. Hallar “n” sabiendo que: 
 
+
=
n 1
Q 42 x 35 
 Tiene 620 divisores que no son primos 
absolutos. 
 
 a) 10 b) 12 c) 13 
 d) 14 e) 15 
 
3. Hallar un número N = 12n . 15n, sabiendo que 
tiene 75 divisores. Dar como respuesta la 
suma de las cifras de N. 
 
a) 18 b) 15 c) 9 
d) 27 e) 21 
4. Si: 13k+2 – 13k posee 75 divisores 
compuestos, halle el valor de k. 
 
a) 3 b) 4 c) 5 
d) 6 e) 7 
 
5. Hallar “k” sabiendo que: N = 15 x 30K tiene 
291 divisores que no son primos 
 
a) 3 b) 4 c) 2 
d) 5 e) 1 
 
6. Determinar el valor de “n” si 175.
n245 tiene 
28 divisores que no son 

35 . 
 a) 5 b) 6 c) 7 
 d) 8 e) 9 
 
7. Si abb es el menor número que tiene 15 
divisores, entonces a + b es 
 
 a) 8 b) 7 c) 6 
 d) 9 e) 5 
 
8. Hallar el menor número entero que tenga 26 
divisores compuestos y 3 divisores primos 
que sumen 16. Dar como respuesta la suma 
de sus cifras 
 a) 15 b) 12 c) 18 
 d) 9 e) 27 
 
N = α β γA .B .C ... 
CD(N) = + + +(α 1)(β 1)(γ 1)... 
SD(N)
+ + +− −
=
− − −
α 1 β 1 γ 1A 1 B C 1
 . . ...
A 1 B 1 C 1
 
SID(N) =
SD(N)
N
 
PD(N) = D(N)N 
CD(N) = CDp + CDc + 1 
 
 
40 
ARITMETICA 
 
9. Sabiendo que el número =
o
abcd 11 y 
además posee 14 divisores. Hallar a + b + c + 
d 
 
 a) 15 b) 16 c) 17 
 d) 18 e) 19 
10. Si el número de divisores de abab es 14. 
Hallar: (a + b) 
a) 8 b) 8 c) 12 
d) 11 e) 10 
 
11. Si N tiene 21 divisores y es de 3 cifras, 
entonces la suma de sus cifras es 
a) 12 b) 16 c) 18 
d) 14 e) 15 
 
12. Hallar “a” para que el número aaaa(7) tenga 
21 divisores. 
 
 a) 2 b) 3 c) 4 
 d) 5 e) 6 
 
13. Si : 70a x 91b tienen 520 divisores 
compuestos, determinar su cantidad de 
divisores PESI con 2015 
a) 38 b) 37 c) 39 
d) 32 e) 35 
 
14. ¿Cuántos términos debe tener el siguiente 
producto para que el resultado sea un 
número que tenga 961 divisores? 
P = 36 x 362 x 363 … 36n ? 
a) 3 b) 4 c) 5 
d) 6 e) 7 
 
 
15. Si el menor número N tiene como 
descomposición canónica: + +b 2 ca (a 1) (2b 1) 
 y presenta 60 divisores positivos múltiplos de 
tres, la cantidad de divisores múltiplos de 25 
que tiene es: 
 
 a) 72 b) 48 c) 18 
 d) 24 e) 36 
 
PRÁCTICA DOMICILIARIA 
01. ¿Cuántos ceros debe tener 
 Z = 2000…0 para que admita 56 divisores? 
 
 a) 4 b) 6 c) 8 
 d) 10 e) N.A 
 
02. Hallar el valor “n”, sabiendo que 15n. 75 tiene 
 (17n + 34) divisores. 
 a) 11 b) 12 c) 13 
 d) 14 e) 15 
 
03. Cuántos divisores de 720 no son múltiplos de 
6. 
 
 a) 16 b) 14 c) 12 
 d) 20 e) 10 
 
04. Halla “n” si: 
n169x10 tiene el doble de 
divisores que el número 226 800. 
 
 a) 9 b) 10 c) 8 
 d) 7 e) menos de 7 
 
05.Si el número 
a 2a 3
2 . 3 .7 tiene 84 divisores que 
no son 
o
12 . Hallar “a”. 
 
 a) 3 b) 4 c) 5 
 d) 6 e) 7 
 
06. Sabiendo que A = 12.
n30 , tiene el doble de 
la cantidad de divisores que B = 
n12 .30. 
Hallar “n”. 
 
 a) 3 b) 4 c) 5 
 d) 6 e) 7 
 
 
07. Calcular el valor de "x" si el número : 
2 +2 +2 +2 + 2 = N
4 +x3 +x2 +x1 +xx
 
Tiene 20 divisores no primos. 
A) 8 B) 12 C) 11 
D) 10 E) 9 
 
 
CLAVES 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
B D A A B B D D C D