2 ÁLGEBRA

Vista previa del material en texto

1LIBRO UNI ÁLGEBRA
LEYES DE EXPONENTES
ÁLGEBRA
I. NOTACIÓN UTILIZADA
A. Para potencia:
na = potencia
exponente
base
B. Para radicación:
= raíz
índice
radicando
n a
II. DEFINICIONES
1. 0a R a 1  
2. 1a R a a  
3. a R n N / n 2    
 na a a a........ " n " fac tores
4.  a R 0 n R    
1
n
1a
a
 
5
m
nam n R / 3a R  
m mnna a
III. TEOREMAS
1. m n m na a a 
2.
m m n
n
a a ;a 0
a
 
3.  nm mna a
4.  n n na b a b  
5.
n n
n
a a ;b 0
b b
    
 
6. m n mna a
7. n n na b a b  
8.
n
n
n
a a ;b 0
b b
 
IV. PROPIEDADES
1.  an b p cpm mnpna b cx x x a
 

2.
m
m
n 1
n n 1n n n
"m" radicales
x x... x a


3. n 1n nx x... x
4. n 1n nx x ... x  
DESARROLLO DEL TEMA
LEYES DE EXPONENTES
Exigimos más!
2LIBRO UNI ÁLGEBRA
V. ECUACIÓN EXPONENCIAL
A. Diversos ejemplos:
x x 14x x x x 22 4;3 4 5 ; 3 81

   
B. Teorema:
 x ysi :a a x y;a 1    
C. Propiedad:
 x ysi :a a x 0;a,b 1    
Problema 1
Reducir:
1 1 12 3 2E 4 27 36
      
Resolución:
11 1
32 2E 4 27 36
 
  
11 13E 4 27 36
 
  
1 1 1E 2 3 6    
1 1 1 3 2 1 6E
2 3 6 6 6
     
E 1 
Problema 2
Simplificar:
3 3 3X . X . X ...90 factores
x. x. x...44 factores
Siendo x >1
Resolución:
Sea "k" la expresión simplificada, luego
 
90
3
44
x
k
x
 
 
 
30 15
1122
x xk
xx
 
4k x 
Problema 3
Determine x en:
x 1 x 13 4 8
 

Resolución:
   
x 1 x 1
2 33 2 2
 

2x 2 3x 33 2 2
 

2x 2 3x 3
3 22 2
 

V. ECUACIÓN EXPONENCIAL
A. x a 1si :x a x a  
B. bx 1si : x b x b  
C.
x yc csi :x y x y  
Por teorema:
2x 2 3x 3
3 2
 
4x 4 9x 9  
5x 13 
13x
5
  
Problema 4
Determine un valor de x en:
3 3xx 4
Resolución:
 3
3 33xx 4   
 
  
3x3x 4
  
3x3 2x 2
Por comparación:
3x 2
3x 2 
problemas resueltos
3LIBRO UNI ÁLGEBRA
EL POLINOMIO
ÁLGEBRA
I. DEFINICIÓN
Es la expresión algebraica que se caracteriza por
presentar a todas sus variables en el mumerador,
estando cada una de estas afectada solo por
exponentes natural.
Son ejemplos de polinomios:
  3P x 2x 7x 4  
  4 2 2Q x; y 5x 3x y 5xy    
  27R x x 3x4 
Obsevación:
Todo númerador real es un polinomio en forma muy
especial el cero, al cual llamaremos polinomio
identicametne nulo.
II. GRADO
A. Grado absoluto (GA)
B. Grado relativo (GR)
*  
   
2 7P x;y 5x y
GR x 2;GR y 7;GA 2 7 9

    
*  
   
3 2 2Q x; y 2x 5x y 4y
GR x 3;GR y 2;GA 2 2 4
  
    
Obsevación:
Todo número real diferente de cero tiene grado cero
el cero carece de grado.
III. POLINOMIOS ESPECIALES
A. Polinomio homogéneo:
*   4 3 2 2P x;y x 3xy 5x y  
B. Polinomio ordenado:
*   2 10 17P x x 5x 4x  
*   5 3Q x x 2x x 1   
C. Polinimio completo:
*   2P x 2 x x  
*   3 2Q x 5x x x 10   
Obsevación:
En todo polinomio completo respecto a la variable x se
cumple que:
N° de términos = GR(x) +1
IV. EUCLIDEANO
A. Forma general
  n n 1 n 2 n0 1 2P x a x a x a x ... a     
Donde:
x = variable o ideterminada
0 1 2 na , a , a ,... a soncoeficientes
n
0a x = término dominante, aquí 0a 0 yn 
0a = coeficiente principal
na = término independiente de x
Obsevación:
Un polinomio se dice literal si su grado mayor o igual
que la unidad, de no ocurrir esto el polinomio es
constante.
B. Propiedades del polinomio literal P(x)
* P(1) = suma de coeficientes
* P(0) = términos independientes de x
DESARROLLO DEL TEMA
EL POLINOMIO
Exigimos más!
4LIBRO UNI ÁLGEBRA
III. POLINOMIOS MÓNICO:
Es un plinomio literal que se encuentra en función de
una sola variable, todos sus coeficientes son enteras y
el princiapl es uno.
Son polinomios mónicos:
 
 
5 2
2
P x x 2x x 10
Q x x 7x 4
   
  
Problema 1
¿Cuántos polinomios de la forma
  n 7 n 10 nP x; y x nx y y    existen?
Resolución:
Según la definición    n 7 ,n 10 n  
deben ser números naturales, luego:
7 n 10
n 7 0 10 n 0
n 7 n 10
 
    
  
Como n tenemos:
n = 7; 8; 9 y 10
existen cuatro polinomios
Problema 2
Si  P 2x 7 6x 1   . Determinar el
polinomio P(7x + 2)
Resolución:
Según el polinomio dato.
 P 2x 7 6x 1  
De acuerdo con en cambio de variable
 
   
 
2x 7 u
2x u 7
u 7x
2
u 7P u 6 1
2
P u 3 u 7 1
P u 3u 22
 
 

   
 
  
 
Finalmente el polinomio buscado es:
   
 
 
P 7x 2 3 7x 2 22
P 7x 2 21x 6 22
P 7x 2 21x 28
   
   
   
Problema 3
Calcular mn si el polinomio:
  m 2 3 n 1P x, y x 5xy mny   
es homogéneo.
Resolución:
Por condición el polinomio dado es
homogéno., luego se cumple:
m 2 4 n 1
m 6 n 3
mn 18
   
  
 
Problema 4
Dado el siguiente polinomio mónico
lineal:
     2P x a 2 x a b 1 x 2a b      
Determine su término independiente.
Resolución:
Por ser un polinimio lineal se cumple
que:
a 2 0
a 2
 

ahora tenemos:
   P x 3 b x 4 b   
Por se un polinomio mónico se cumple
que:
3 b 1
b 2
 

con lo cual tenemos:
término independiente de x = 2
problemas resueltos
5LIBRO UNI ÁLGEBRA
PRODUCTOS NOTABLES
ÁLGEBRA
I. CONCEPTO
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas
que tienen forma determinada, se pueden recordar
fácilmente sin necesidad de efectuar la operación.
II. TEOREMAS
1. Trinomio cuadrado perfecto
• (a + b)2  a2 + 2ab + b2
• (a – b)2  a2 – 2ab + b2
Nota:
2n 2n(a - b) (b - a)
Corolario: Identidad de Lengendre
• (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
• (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
• (a + b)4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2)
2. Diferencia de cuadrados
• (a + b)(a – b) = a2 – b2
3. Desarrollo de un binomio al cubo
• (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 .... forma desarrollada
• (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) .... forma abreviada
• (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 .... forma desarrollada.
• (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b) ... forma abreviada
4. Suma y diferencia de cubos
• (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
• (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
5. Producto de multiplicar binomios con término
común
• (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
• (x + a)(x + b)=x3 + (a+b+c)x2 + (ab+bc+ac)x + abc
6. Desarrollo de un trinomio al cuadrado
• (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
7. Desarrollo de un trinomio al cubo
• (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b+c)(a+c)
• (a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b+c)
(ab+bc+ac)–3abc
8. Identidad de Argan’d
• (a2m+ambn+b2n)(a2m–ambn+b2n) = a4m+a2mb2n+b4n
Caso particular:
(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
9. Identidades de Lagrange
• (a2+b2)(x2+y2)  (ax+by)2+(ay–bx)2
• (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)  (ax+by+cz)2 + (ay–bx)2 +
(az–(cx)2+(bz–cy)2
10. Identidades condicionales
Si: a+b+c=0, se verifica:
• a2+b2+c2=–2(ab+bc+ac)
• a3+b3+c3=3abc
III. PROPIEDAD
Si a2+b2+c2=ab+ac+bc; a,b c   a = b = c
DESARROLLO DEL TEMA
PRODUCTOS NOTABLES
Exigimos más!
6LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 1
Si 1x x 5  . Calcular: 3 3x x
Resolución:
En la condición de plantea:
   
   
   
31
3 3 1 1
3 3
3 3
3 3
x x 5
x x 3 x.x x x 125
x x 3 1 5 125
x x 15 125
x x 140

  



 
   
  
  
  
Problema 2
Sabiendo que:
x 12 7;y 7 10 z 10 12      
Calcular:
3 3 3x y z
xyz
 
Resolución:
Fácilmente podemos reconocer que:
x + y +z = 0
Luego se cumple que:
3 3 3x y z 3xyz  
Finalmente tenemos:
3 3 3x y zE
xyz
3xyzE
xyz
E 3
 

 
Problema 3
Si x, y,z ; tal que
   2x y z 3 xy xz yz    
Calcular:
4 4 4 2
2 2 2 2 2 2
x y z 2x yzk
x y x z y z
  
 
Resolución:
De la condición tenemos:
   2 2 2
2 2 2
x y z xy xz yz 3 xy xz yz
x y z xy xz yz
       
    
Por propiedad tenemos:
x = y = z
Finalmente en "k" tenemos:
4 4 4 2
2 2 2 2 2 2
4 4 4 4
4 4 4
4
4
x y z 2x yzk
x y x z y z
x x x 2xk
x x x
5xk
x
K 5
  
 
  
 

 
problemas resueltos7LIBRO UNI ÁLGEBRA
división algebraica
ÁLGEBRA
I. DEFINICIÓN
Dados dos polinomios llamados dividendo y divisor, es
posible encontrar otros dos polinomio llamados
cocientes y residuo, tal que verifiquen la siguiente
identidad.
       x x x xD d Q R 
Donde:
 xD : es el dividendo
 xd : es el divisor
 xQ : es el cociente
 xR :es el resto o residuo
A. Propiedades:
1. El grado del dividendo deberá ser mayor o igual
que el grado del divisor.
D d        
2. El grado del cociente es igual al grado del
dividendo menos el grado del divisor.
Q D d              
3. El grado del resto o residuo, con respecto a la
variable con la cual se efectúa la división, es
menor que el grado del divisor. Por lo cual se
deduce que, el máximo valor que puede tomar
el grado del resto o residuo es igual al grado del
divisor disminuido en uno.
maxR d R d 1                     
B. Clases de cocientes
Hay dos clases de cocientes.
1. Cociente Entero. Es el cociente propiamente
dicho de la división.
2. Cociente Completo. Es una expresión
fraccionaria que está compuesto por el cociente
entero, por el residuo y por el divisor
Se sabe que:        x x x xD d Q R 
Dividiendo entre  xd :
 
   
 
 
x x
x
x x
cociente
entero
Cociente Completo
D R
Q
d d
 

C. Teorema
Si al dividendo y al divisor de una división se les
multiplica por una misma expresión distinta de cero,
entonces el resto o residuo también quedará
multiplicado por dicha expresión.
Sabemos que:
       x x x xD d Q R 
Multiplicando ambos miembros por  xA :
                x x x x x x xA D A d Q A R    
Observación:
Para efectuar la división entre polinomios se
recomienda utilizar el método de Horner o para
cierto caso especial la regla de Ruffini.
DESARROLLO DEL TEMA
DIVISIÓN ALGEBRAICA
Exigimos más!
8LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 1
Calcular ab si la división es exacta
4 3 2
2
2x 5x x ax b
x x 1
   
 
Resolución:
Dada la ecuación:
 1 2 - 5 1 a b
- 1 2 - 2 2 
 1 7 - 7
 - 10 10
 2 - 7 10 0 0
En las columnas del residuo:
a 7 10 10 b 10 0
a 17 b 10
ab 170
     
   
  
Problema 2
Si Q(x) es el cociente de dividir:
5x 2x 7
x 1
 

Resolución:
Según la regla de Ruffini tenemos:
 1 0 0 0 -2 7
 
x = -1 -1 1 -1 1 1
 1 -1 1 -1 -1 8 
 
 
 
4 3 2Q x x x x x 1
Q 1 1 1 1 1 1
Q 1 3
    
      
  
Problema 3
Dertermine el resto de dividir:
II. TEOREMA DEL RESTO
A. Definición:
Es una regla práctica que permite encontrar en
forma directa el residuo de cierta división, consta
de dos pasos.
1. Se iguala el divisor a cero y se despeja por
transposición de términos la parte variable.
2. Se reemplaza el valor numérico de la parte
variable en el polinomio dividendo, obtenido así
el residuo de la división.
Ejemplo: Determinar el residuo de dividir
4x 2x 7
x 1
 

a. x 1 0 x 1    
b.   4D x x 2x 7  
     
 
4R x 1 2 1 7 1 2 7
R x 10
        
 
Observación:
El teorema del resto o teorema de Descartes en
sus inicios solo se aplicaba cuando el divisor era un
binimio de primer grado, hoy en día el divisor podrá
ser un polinomio literal de grado arbitrario.
III. DIVISIONES NOTALES
A. Definición:
Es una división entre binomios que presenta la
siguiente forma.
n nx y ;n / n 2
x y
  


B. Cociente notable (C--N):
Es el cociente de una división exacta.
Ejemplo: La división:
n nx y ;n / n 2
x y
  


¿Origina un cociente notable?
Por el teorema del resto x - y = 0
 x = 0
sea el dividendo:
 
 
 
n n
n n
D x x y
R x y y
R x 0
 
  

n nx y SioriginaC N n / n 2
x y
    


B. Propiedad:
Si la división:
m r
a b
x y
x y


origina un C - N se cumple:
1. El número de términos del C - N "n" verifica:
 
m rn
a b
 
2. En el C - N los exponentes de x disminuyen de
"a" en "a", mientras que los de y aumentan en
"b" en "b"
problemas resueltos
Exigimos más!
DIVISIÓN ALGEBRAICA
9LIBRO UNI ÁLGEBRA
7 5 3
2
x 2x x x 1
x 1
   

Resolución:
Según el teorema del resto:
2 2x 1 0 x 1   
En el dividendo tenemos:
       3 22 2 2D x x x 2 x x x x x 1      
Reemplazando 2x por 1
 
 
R x x 2x x 1
R x x 1
   
  
Problema 4
Si la división:
n 2 33
5 3
x y
x y
 

Origina un cociente notable. Calcular
la suma de cifras del número que
representa "n"
Resolución:
Según propiedad se cumple que :
n 2 33
5 3
n 2 11
5
n 2 55
n 57
de cifras 12
 
 
 

 
10LIBRO UNI ÁLGEBRA
factorización en 
ÁLGEBRA
I. DEFINICIÓN
Es el proceso mediante el cual un polinomio de
coefic ientes enteros se transforma como la
multiplicación de dos o más polinomios, también de
coeficientes enteros.
II. FACTOR PRIMO
Es aquel polinomio literale que no se puede expresar
como una multiplicación de otros polinomios literales.
Ejemplo:
* f(x)  x2 – 4 no es primo, por que se puede expre-
sar como (x – 2)(x + 2).
* f(x)  x – 2 es primo, por que no se puede
factorizar.
* f(x)  3x – 6 si es primo porque al obtener 3(x – 2)
percatese que 3 es de grado cero.
Se dice que la factorización se realiza en  cuando los
factores primos obtenidos presentan únicamente coefi-
cientes enteros; mientras no se indique alguna aclara-
ción la factorización solo se realiza en .
Observación:
* Al factor primo también se le llama
polinomio irreductible.
III. CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN
A. Factor común
Se denomina así al factor repetido en varios térmi-
nos, para lo cual se eligen las bases comunes afec-
tadas del menor exponente.
Ejemplo:
Factorizar:
f(x;y)  4x3y4 + 5x2y5 + 7x4y7
Se observa: x2y4 como factor común.
Luego factorizando tenemos:
f(x; y)  x2y4 (4x – 5y + 7x2y3)
B. Identidades
Es la aplicación inmediata de algunos productos
notables como:
– Diferencia de cuadrados:
A2 – B2 = (A + B) (A – B)
Ejemplo:
Factorizar : P(x)  9x2 –16
Reconocemos : P(x)  (3x)2 – (4)2
Luego : P(x)  (3x + 4) (3x – 4)
– Diferencia de cubos
 A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB + B2)
Ejemplo:
Factorizar : P(x)  27x3 – 8
Reconocemos : P(x)  (3x)3 – (2)3
Luego : P(x)  (3x – 2)(9x2 + 6x + 4)
– Suma de cubos
A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2)
Ejemplo:
Factorizar : f(x)  8x6 + 1
DESARROLLO DEL TEMA
Exigimos más!
FACTORIZACIÓN EN Z
11LIBRO UNI ÁLGEBRA
Reconocemos : f(x)  (2x2)3 + (1)3
Luego : f(x)  (2x2 + 1) (4x4 –2x2 + 1)
– Trinomio cuadrado perfecto
 A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
Ejemplo
Factorizar : f(x)  9x4 + 6x2 + 1
Notese : f(x)  (3x2)2 + 2(3x2)(1) + (1)2
Luego : f(x)  (3x2 + 1)2
C. Agrupación de términos
Consiste en seleccionar convenientemente los tér-
minos de tal manera que se genere algún factor
común o alguna identidad.
Ejemplo:
Factorizar:
 f(x;y)  x10 – x2y8 + x8y2 – y10
Nos percatamos que no existe factor común en
todos los términos, pero si agrupamos de dos en
dos obtenemos:
 f(x;y)  x2 (x8 – y8) + y2 (x8 – y8)
Factor Repetido: (x8 – y8)
Luego: f(x;y)  (x
8 – y8) (x2 + y2)
Continuamos:
f(x;y)  (x4 + y4) (x2 + y2) (x + y) (x – y) (x2 + y2)
Se uso repetidas veces diferencia de cuadrados:
f(x;y)  (x4 + y4) (x2 + y2)2 (x + y) (x – y)
D. Aspa simple
Se utiliza para factorizar particularmente Polinomios
de la forma: P(x)  ax2n + bxn + c ó que se amol-
den a dicha forma.
Proceso
* Descomponer los extremos.
* Verificar que la suma de productos en aspa sea
igual al término central.
Ejemplo:
Luego los factores se forman:
Horizontalmente: (x – 3) (x – 4)
E. Aspa doble
Se usa en forma particular para polinomios de la forma:
P(x;y)  ax2m + bxmyn + cy2n + dxm + eyn + f
Proceso:
* Traza dos aspas simples
* Verificación final con los extremos, veamos en
un ejemplo:
Factorizar:P(x;y)  15x2 – xy – 6y2 + 34x + 28y – 16
como se encuentra ordenado.
1.er Aspa
2.O Aspa
Verificación final
(Los términos estan descompuestos)
Luego, en un esquema se tiene:
 P(x;y) = (5x + 3y –2) (3x – 2y + 8)
FACTORIZACIÓN EN Z
Exigimos más!
12LIBRO UNI ÁLGEBRA
F. Aspa doble especial
Se emplea para factorizar polinomios de 5 términos
con la forma:
 P(x)  Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + F
Proceso:
* Se descomponen los términos extremos en 2
factores cada uno.
* Se hace el balanceo
Ejemplo:
Factorizar:
2 2P(x) (x 5x 1)(x x 1)     
G. Divisores binomicos (evaluación)
Se usa básicamente para factorizar polinomios de
grado mayores o iguales a 3.
Proceso:
Consiste en evaluar usando la regla de Ruffini.
Luego:
f(x) = (x – a) q (x)
Al valor de "a” se denomina cero del polinomio.
Por ejemplo:
P(x) = x3 – x2 – 4; si evaluamos en x = 2, tenemos:
Luego: x3 – x2 – 4 se puede expresar como:
P(x)= (x – 2) (x2 + x + 2)
(Nótese que esta factorizada)
Problema 1
Factorizar:
5r(p4+q)–p2(r2+25q)
A) (rp2–5q)(5p2–r)
B) (rp–5q)(5p4–r)
C) (rp4–5q)(5p3–r)
D) (rp3–5q)(5p2–r)
E) (rp2–5q)(5p4–r)
Resolución:
 Agrupando los términos indicados
y factorizando parcialmente
= 5p2(rp2–5q)–r(rp2–5q)
= (rp2–5q)(5p2–r)
Respuesta: A) (rp2–5q)(5p2–r)
Problema 2
Factorizar:
10x2+21y2+29xy
A) (6x+7y)(2x+3y)
B) (5x+7y)(2x+4y)
C) (5x+7y)(2x+3y)
D) (5x+7y)(3x+3y)
E) (4x+7y)(2x+3y)
Resolución:
10x2+29xy+21y2
5x
2x
7y
3y
14xy
15xy
29xy
+
Finalmente:
(5x+7y)(2x+3y)
Respuesta: C) (5x+7y)(2x+3y)
problemas resueltos
Exigimos más!
FACTORIZACIÓN EN Z
13LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 3
Factorizar e indicar la suma de sus
factores primos.
12a2–59b–63–7ab–10b2+15a
A) 7a–3b+4
B) 7a–3b+3
C) 7a–4b+2
D) 7a–5b+2
E) 7a–3b+2
Resolución:
 Ordenando y aplicando el criterio
de aspa doble
4a
3a
 –
2b
5b
12a -7ab - 10b - 15a - 59b - 632
 –7
9
2
 Finalmente (4a–5b–7)(3a+2b+9)
luego  factores primos: 7a–
3b+2
Respuesta: E) 7a–3b+2
Problema 4
¿Cuántos factores primos tiene el polino-
mio:
7 6 2 5 3P(x;y) x y 2x y x y ?  
UNI
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 5
Resolución:
De acuerdo con el criterio del factor
común tenemos:
5 2 2P(x; y) x y (x 2xy y )   
Dando uso de los productos notables
tenemos:
5 2P(x; y) x y (x y)  
Finalmente los factores primos son:
x, y (x y) 
N de factoresprimos 3  
Respuesta C) 3
Problema 5
Determine la suma de los factores pri-
mos del polinomio:
3 2P(x) x x x 1   
UNI
A) 2x + 1 B) 3x + 2
C) 3x – 1 D) 3x + 1
E) 2x
Resolución:
Por agrupación de términos tenemos:
3 2P(x) x x ( x 1)    
2P(x) x (x 1) (x 1)   
Por el criterio del factor común:
2P(x) (x 1) (x 1)   
Por diferencia de cuadrados tenemos:
P(x) (x 1) (x 1) (x 1)     
2P(x) (x 1) (x 1)   
Aquí reconocemos que los factores
primos son: (x + 1) y (x – 1)
de f .p 2x 
Respuesta E) 2x
Problema 6
Reconocer un factor de:
5P(x) x x 1  
UNI
A) x2 – x – 1
B) x2 – x + 1
C) x3 – x – 1
D) x3 – x2 + 1
E) x3 + x2 + 1
Resolución:
Con la finalidad de formar una diferencia
de cubos sumamos y restamos x2.
5 2 2P(x) x x x x 1    
2 3 2P(x) x (x 1) x x 1    
2 2 2P(x) x (x 1) (x x 1) (x x 1)        
Por el criterio del factor común:
2 2P(x) (x x 1) x (x 1) 1      
2 3 2P(x) (x x 1)(x x 1)     
Respuesta D) x3 – x2 + 1
14LIBRO UNI ÁLGEBRA
POTENCIA DE UN BINOMIO
I. FACTORIAL DE UN NÚMERO Z+
Llamamos así al producto que resulta de multiplicar
todos los números enteros y positivos de manera
consecutiva desde la unidad hasta el número indicado.
Notación: n! ó n
Se lee: Factorial de "n".
Así: 2! 1 2 2 
3! 1 2 3 6  
4 ! 1 2 3 4 24   
5! 1 2 3 4 5 120    
6 ! 1 2 3 4 5 6 720     
En general:
n! 1 2 3...(n – 2)(n – 1)n  
o también: n! n(n – 1)(n – 2)...3 2 1  
Observaciones:
1. (a b) ! a! b!  
2. (ab)! (a!) (b !) 
3. a a!!
b b!
   
 
Propiedades
1. on! existe n z
 
Luego:
• (–5)! No existe
• –5! Si existe
• (2/3)! No existe
• 7! Si existe
2. Por definición 1! = 1.
Por acuerdo 0! = 1.
Ejemplo: Hallar "x" en: (x – 4)! = 1
Luego: x – 4 0 x – 1 1
x 4 x 5
  
 
3. Si: a! = b!  a = b * a; b  0; 1
Ejemplo: (x – 5)! = 6
  (x – 5)! = 3!
  x – 5 = 3
 x = 8
4. Todo factorial contiene en su desarrollo a otro
factorial menor.
(n 2) !
(n 1)!
n! n (n 1) (n 2)...3 2 1


  

 
n! = n(n – 1)!
n! = n(n – 1) (n – 2)!
II. NÚMERO COMBINATORIO
Representa el número de combinaciones de "n" ele-
mentos tomados de "k" en "k".
Notación: n nk k n kC C C 
Definición: nk
n!C ; n k
k !(n k)!
 

Donde: on k
    
Ejemplo:
5
2
5! 120C 10
2!(5 2)! 2 6
  
 
Regla práctica:
" k " factores
n
k
n(n – 1)(n – 2)...(n – k 1) (n – k)n!C
k !(n – k) !

 

" k " factores
!
1 2 3...k (n – k)  !
ÁLGEBRA
DESARROLLO DEL TEMA
Exigimos más!
POTENCIA DE UN BINOMIO
15LIBRO UNI ÁLGEBRA
Propiedades
1. nk
o
C Existe n z
k z
k n


 


2. Propiedad complementaria
n n
k n–kC C
Ejemplo:
50 50
48 2
50 49C C 1225
2 1
  

3. Propiedad de igualdad
n n
p qC C
1.a Posibilidad: p = q
2.a Posiblidad: p + q = n
Ejemplo:
Hallar la suma de valores de "n" en:
10 10
n 6C C .
1.a Posibilidad: n1 = 6.
2.a Posibilidad: n + 6 = 10  n2 = 4.
Luego n1 + n2 = 10.
4. Suma de combinatorios
n n n 1
k k 1 k 1C C C

  
Ejemplo:
Hallar: 4 5 6 70 1 2 3S C C C C

   
Luego: 5 5 6 70 1 2 3S C C C C   
 
6 6 7
1 2 3S C C C  
 
7 7
2 3S C C 
 83S C
 
8 7 6S   
3 2
56
1


5. Reglas de degradación
• n n 1k k 1
nC C
k


Ejemplo: 10 93 2
10C C
3

• n nk k–1
n – k 1C C
k
 
Ejemplo: 8 8 8 85 4 5 4
8 5 1 4C C C C
5 5
   
• n n–1k k
nC C
n – k

Ejemplo: 9 84 4
9 8
4 4
9C C
9 – 4
9C C
5


III. BINOMIO DE NEWTON
(Para exponente entero y positivo)
Definición: 
n
n n n–k k
k
k 0
(x a) C x a

  
Donde: x; a 0 n   
Así: (x + a)2 = x2 + 2 x a + a2
(x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3
(x + a)4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4
(x + a)5 = x5 + 5x4a + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4 + a5
Nos damos cuenta:
 5 5 5 5 4 5 3 2 5 2 3 5 4 5 50 1 2 3 4 5(x a) c x c x a c x a c x a c xa c a      
Luego:
 
n n n n n 1 n n 2 2 n n 3 3 n n
0 1 2 3 n
Desarrollo o expansióndel binomio
(x a) c x c x a c x a c x a ... C a        
Propiedades
1.
n
N. de términos Exponente "n " 1
de (x a)
  

Hallar el nº de términos en el desarrollo de: (x + 3y)7.
 N.º de términos = 7 + 1 = 8.
POTENCIA DE UN BINOMIO
Exigimos más!
16LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 1
Si "x" es un número real tal que el
término central en el desarrollo de:
122 3x–
3 2
 
  
Es 924, hallar el valor de:
1 + x2 + x4 + x6
Nivel intermedio
A) 4
B) 8
C) 6
D) 16
E) 2
Resolución:
Sabemos que:
n n–k k
K 1 kT C x a 
C 12 71
2
T T T

 
12 12–6 6
7 6T C (2 3) (–3x 2) 924 
6 6 6
6 6
12.11.10.9.8.7 2 3 x 924
6.5.4.3.2.1 3 2
 
 x = 1
Entonces:
1 + 12 + 14 + 16 = 4
Respuesta: A) 4
Problema 2
Hallar el valor de "n" de modo que:
n
n 4
r 0
n
(2r 1) 2
r


 
   
 
Nivel difícil
A) 18
B) 16
C) 17
D) 15
E) 20
Resolución:
Sabemos:
n n
n n–1
r 0 r 0
n n
2 r n 2
r r 
   
      
   

2. Si: x = a = 1; se obtiene la sumatoria de coeficien-
tes:
n n n n n n
0 1 2 3 nc c c c ... c 2     
5 5 5 5 5 5 5
0 1 2 3 4 5c c c c c c 2 32      
n–2 n–2 n–2 n–2 n–2
0 1 2 n–2c c c ... c 2    
Hallar la suma de coeficientes en el desarrollo de:
(5x2 + y4)40
Luego: x = y = 1  (5(1)2 + (1)4)60  660
3. Término de lugar general:
Siendo: (x + a)n.
En su desarrollo: n n–k kk 1 kT c x a 
Donde: "k + 1" es el lugar.
Ejemplo:
Hallar el T61 en el desarrollo de:
B(x; y) = (3x
2 + 2y3)90
90 2 30 3 60
61 60T c (3x ) (2y )
90 30 60 60 180
61 60T c 3x 2 y 
90 30 60 60 180
61 60T c 3 2 x y 
4. Término central ("n" exponente del binomio)
Si "n" par existe un solo término central:
c n 1
2
T T


5. Suma de exponentes
Siendo B(x,a) = (x
p + aq)n
(p q)n(n 1)Exponentes
2
  
Ejemplo:
Hallar la suma de exponentes en el desarrollo de:
 393 x 4
Luego: p = 1/3; q = 1/2; n = 39.
1 1 39(39 1)
3 2exponentes Exp 650
2
   
     

problemas resueltos
Exigimos más!
POTENCIA DE UN BINOMIO
17LIBRO UNI ÁLGEBRA
Entonces:
n n
n–4
r 0 r 0
n n
2r 2
r r 
   
      
   
n 1 n n 42 n 2 2 2   
n n 4(n 1) 2 2 2  
 n = 15
Respuesta: D) 15
Problema 3
Si: n! (n! 3) 18
n! 4


 .
Determinar el valor de:
2K n 3n 7  
Nivel intermedio
A) 47
B) 17
C) 3 3
D) 35
E) 61
Resolución:
Tenemos:
(n!)2 – 3(n!) = 18(n!) + 18 4
(n!)2 – 21(n!) – 72 = 0
(n! – 24 )(n! + 3) = 0
n! = 24 ; n! = -3
n = 4
Entonces:
2K 4 4 3 7  
K 35
Respuesta: D) 35
18LIBRO UNI ÁLGEBRA
I. DEFINICIÓN:
Es el proceso mediante el cual una expresión irracional
se transforma en otra parcialmente racional.
Frecuentemente se racionalizan denominadores con
el auxilio del factor racionalmente (R:F) según la
relación.
(Exp. Irracional).(FR) = Exp. Racional
A. Factor racionalizante (F.R)
Es el menor número irracional positivo que multiplica
a otro número irracional y lo transforma en racional.
Ejempo:
¿Cuál es el factor racionalizante de 2 ?
Resolución:
observar lo siguiente
2 2 4 2
2 8 16 4
2 18 36 6
2 32 64 8
 
 
 
 




   
   
   
Existen varios números irracionales que multiplican
a 2 y lo transforman en racional pero entre todos
ellos 2 es el menor FR 2 
B. Radical simple:
Se denomina así a todo número irracional que se
puede experesar segúnla foma:
n A;n A Q   
Veamos algunos ejemplos:
5 333 4 2 3 24  
Veamos algunos ejemplos:
C. Radical doble:
Se denomina asi a todo número irracional que se
puede expresar según la forma:
m nA B ;m n , A B Q    
Veamos algunos ejemplos:
34 12 2 3 10 108    
II. TRANSFORMACIÓN DE RADICALES
DOBLE A SIMPLES
A. 1° caso
A B . Se transforma según la fórmula:
A C A CA B
2 2
   
Donde "C" se calcula Así: 2C A B  !racional!
B. 2° caso
A B . Se transforma en M 2 N x y  
Donde: x.y N x y M   
racionalización
ÁLGEBRA
DESARROLLO DEL TEMA
Exigimos más!
RACIONALIZACIÓN
19LIBRO UNI ÁLGEBRA
II. CASOS DE RACIONALIZACIÓN
n mA FR A;A #primo      
 
A. Denominador monomio
Donde: n n mFR A  , veamos algunos ejemplos.
•
11 1. 3 3
33 3.FR
 
•
3 31
3 3 2
5 5. 2 5 2
24 2 .FR
 
•
5 2 4 4
5 5 53 3
13 13 13 2 .3 .5
120 2 .3.5 2 .3.5.FR
13FR 13FR
2.3.5 30
  

B. Denominador binomio con índice potencia
de dos:
veamos algunos ejemplos:
• 
 
     2 2
1 7 21 7 2
7 2 7 2 FR 7 2
1 7 2 7. 2
7 2 57 2

 
  
 

•
 
 
 
   
 
2 2
5 11 3 5 11 35
11 3 11 3 FR 11 3
5 11 3 5FR5
11 3 811 3
 
 
  

 

• 
   2 2
2 2FR 2FR
13 913 3 13 3
2 2FR FR
4 213 3
 

 

•
   
 
   
 
   
4
4 2 24
4 4
4 2 2
4
4
1 FR 5 1
5 15 1 5 1
5 1 FR 5 1 FR1
5 15 1 5 1
5 1 5 11
45 1
 
 
 
 
 
 


C. Denominador binomio con índice potencia
de tres:
veamos los siguientes ejemplos
 
 
   
22 3 33 3
33 33
3 33 3 3 3
3 33 3 33
33 3
33
1. 5 5. 2 2
1
5 2 5 2 FR
1 25 10 4 25 10 4
5 25 2 5 2
1 25 10 4
75 2
 
  
 
 
    
 
 

•
•  
   
2 23 3 3 3
3 3 3 3
3 33 3 3 3
3 33 33 3
3 3 3
3 3
1. 11 11. 5 5
1
11 5 11 5 FR
1 121 55 25 121 55 25
11 511 5 11 5
1 121 55 25
611 5
 
  
 
 
    
 
 

D. Denominador con índice susperior a tres:
1.
   n n
n
A B FR A B
 
  

 Donde:
 
 
 
A B A B
A B A B
A - B
A - B
Expresión FR Resultado
 
 
 
Expresión FR Resultado
3 3A B
3 3A B
2 23 3 3 3A A. B B 
2 23 3 3 3A A. B B 
A B
A B
n 1 n 2 n 1n n n nFR A A B ... B
  
   
RACIONALIZACIÓN
Exigimos más!
20LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 1
Transformar a radicales simples la
siguiente expresión:
E 8 60 
Resolución:
Reconociendo:
A = 8  B = 60
Hallemos "C":
2C 8 60 4 C 2    
Luego:
 8 2 8 2E
2 2
  
Finalmente:
E 8 60 5 3   
Método práctico: Debemos observar
que el radical doble presenta la
siguiente forma:
x 2 y
Luego podemos afirmar que:
x 2 y a b  
Donde se debe cumplir que:
a b a b x ab y     
Problema 2
Transformar a radicales simples la
siguiente expresión:
5 2 6
Resolución:
 5 2 6 3 2 2 32
5 2 6 3 2
   
   
Problema 3
El equivalente de:
E 6 2 5 11 2 30 1.Es :    
Resolución:
Utilizemos el método práctico para
transformar a los radicales dobles en
simples.
* 6 2 5 5 1 5 1
* 11 2 30 6 5
    
  
2.
   n n
n / n número impar
A B FR A B
  
  

Donde:
n 1 n 2 n 1n n n nFR A A B ... B
  
   
3.
   n n
n / n número par
A B FR A B
  
  

Donde:
n 1 n 2 n 1n n n nFR A A B ... B
  
   
Como:
E 6 2 5 11 2 30 1    
Ahora en la expresión "E" se tendría:
   E 5 1 6 5 1    
Reduciendo:
E 6  
Problema 4
Racionalizar el denominador de la
expresión:
7 7
7E
5 3


Resolución:
Observamos que 7 75 3 corresponde
a la relación (2) visto anteriormente,
con lo cual tenemos.
 7 7
7FR 7FRE
5 35 3 FR
7FRE
8
 

 
problemas resueltos
21LIBRO UNI ÁLGEBRA
ECUACIONES
ÁLGEBRA
I. ECUACIÓN
Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas
en la que al menos esté presente una variable que
ahora recibirá el nombre de incógnita.
Notación:
Primer miembro Segundo miembro
A(x; y;...z) B(x; y;...z) 
Donde: x; y; ...; z: incógnita
Una ecuación que sólo se verifique para ciertos valores
de las incógnitas recibe el nombre de ecuación condi-
cional o, simplemente, ecuación.
Por ejemplo:
• x – 1= 3 se verifica solo para x = 2; es una ecuación
condicional.
• x2 – 1 = (x + 1) (x – 1) se verifica para todos los
valores de x; es una identidad.
Para representar una identidad se emplea el símbolo 
en lugar del símbolo =.
A. Soluciones de una ecuación
Las soluciones de una ecuación son los valores de
las incógnitas que transforman la ecuación en una
identidad, es decir, se igualan ambos miembros. Las
soluciones satisfacen a la ecuación. Resolver una
ecuación es hallar todas sus soluciones.
Por ejemplo:
x = 2 es una raíz, o solución de la ecuación x + 3 = 5,
ya que sustituyendo x = 2 en esta se obtiene
2 + 3 = 5, es decir, los dos miembros se hacen
iguales y la ecuación se convierte en una identidad.
B. Operaciones aplicadas en la transformación
de ecuaciones
• Si se suman miembro a miembro varias igual-
dades, se obtiene otra igualdad.
Por ejemplo la igualdad x – y = z, podemos
sumar “y” a ambos miembros, con lo que resulta
x = y + z.
• Si se restan miembro a miembro varias igual-
dades, se obtiene otra igualdad. Por ejemplo,
en la igualdad x + 5 = 7, podemos restar 5 a
ambos miembros con lo que se obtiene x = 2.
• Si se multiplican miembro a miembro varias
igualdades se obtiene otra igualdad.
Por ejemplo, si se multiplican por 3 los dos
miembros de la igualdad: 21 y 5x
3
 .
Se obtiene: y = 15x2
Análogamente, si los dos miembros de:
9 C k – 492
5

se multiplican por: 
5
9
Se obtiene: 5C (k – 492)
9

• Si se dividen miembro a miembro varias igual-
dades se obtiene otra igualdad siempre que
no se divida por cero.
Por ejemplo, si se dividen los dos miembros de
la igualdad 3x = 6 por 3, se obtiene x = 2.
Análogamente, en la igualdad F = ma se puede
dividir los dos miembros por m(m 0) obte-
niéndose:
Fa
m

Fórmula:
La fórmula es una ecuación que expresa un
hecho general, una regla o un principio.
DESARROLLO DEL TEMA
ECUACIONES
Exigimos más!
22LIBRO UNI ÁLGEBRA
II. ECUACIÓN LINEAL O DE PRIMERGRA-
DO CON UNA INCÓGNITA
Forma General: ax + b = 0 ; a 0 ; en donde a y b
son constantes arbitrarias.
Como primer paso para la resolución de esta ecuación
transponemos “b” al segundo miembro obteniéndose
así la ecuación equivalente.
 ax = b
Después dividimos ambos miembros entre “a”, obte-
niéndose otra ecuación equivalente que es la solución
de la ecuación dada:
bx –
a

Si este valor de “x” se sustituye en ax + b = 0 ob-
tendremos la identidad:
ba – b 0
a
    
 
 –b + b = 0
Teorema:
La ecuación lineal con una incógnita
ax + b = 0, a 0
Tiene solución única:
 bx –
a
III. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO (CUA-
DRÁTICA)
A. Forma general
2ax bx c 0  
donde: x  incógnita, asume dos valores
a ; b ; c / a 0  
B. Fórmula de Carnot
Si: x1; x2 son las raíces de la ecuación:
ax2 + bx + c = 0; a 0
Estas se obtienen a partir de la relación:
2
1;2
–b b – 4acx
2a

1. Discriminante
  dada la ecuación cuadrática en "x":
ax2 + bx + c = 0; a 0
se define como: 2b – 4ac 
2. Propiedad del discriminante
El discriminante de una ecuación cuadrática per-
mite decidir qué clase de raíces presenta, es decir:
1. Si: 0  , la ecuación tiene raíces reales y
diferentes.
2. Si: 0  , la ecuación tiene raíces reales e
iguales (raíces dobles).
3. Si: 0  , la ecuación tiene raíces imagi-
narias y conjugadas.
IV. RELACIÓN ENTRE LAS RAÍCES Y LOS CO-
EFICIENTES (PROPIEDADES DE LAS RAÍ-
CES) DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Si x1 ; x2 son las raíces de la ecuación cuadrática en "x"
ax2 + bx + c = 0
Se cumple:
• Suma: 1 2
bs x x –
a
  
• Producto: 1 2
cp x . x
a
 
• Diferencia: 
2
1 2
b 4ac| x x | ;a 0
a
  
Para determinar la diferencia de raíces se recomienda
utilizar la equivalencia de Legendre, veamos:
(x1 + x2)
2 – (x1 – x2)
2 = 4(x1 x2)
A. Casos particulares
Dada la ecuación cuadrática en "x": ax2 + bx + c = 0
De raíces x1 ; x2, si estas son:
1. Simétricas, se cumple: x1 + x2 = 0.
2. Recíprocas, se cumple: x1 . x2 = 1.
V. RECONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN
CUADRÁTICA EN "X"
Siendo "s" y "p", suma y producto de raíces, res-
pectivamente, toda ecuación cuadrática en "x" se
determina según la relación:
2x – sx p 0 
VI. TEOREMAS CUADRÁTICAS EQUIVA-
LENTES
A. Ecuaciones cuadráticas equivalentes
Siendo: ax2 + bx + c = 0
a1x2 + b1 x + c1 = 0
Se cumple: 
1 1 1
a b c
a b c
 
B. Ecuaciones cuadráticas con una raíz común
Sean: ax2 + bx + c = 0
a1 x
2 + b1 + c1 = 0
Se cumple:
 
2
1 1 1 1 1 1(ab – a b)(bc – b c) (ac – a c)
Exigimos más!
ECUACIONES
23LIBRO UNI ÁLGEBRA
VII.POLINOMIO DE GRADO SUPERIOR
A. Definición
Dado un número entero n 3 , un polinomio en
variable x con coeficientes en k de grado n, es una
función de la forma:
P(x)  anx
n + an–1x
n–1 + ........ + a1x + a0, con an  0
A la cual llamaremos polinomio de grado superior,
donde:
• x = es la variable independiente.
• aiK, son los coeficientes de las x y son
constantes que pueden ser cualesquiera
números.
• K es un conjunto.
• an= coeficiente principal
• ao= término constante
• n = [P]° es el grado del polinomio P(x)
Observación:
El estudio de todo polinomio:
P(x)  anx
n + an–1x
n–1 + ... + a1x + a0
con an  0, a0  0 radica en el tratamiento de sus
coeficientes ia K y en particular de an y a0.
B. El Teorema fundamental del Álgebra
Todo polinomio P(x) de grado n > 0 con
coeficientes complejos en general, tiene al menos
una raíz gene-ralmente compleja.
Colorario:
Todo polinomio P(x) de grado n > 0, tiene exacta-
mente "n" raíces.
Por ejemplo P(x) = x5 + x – 1 tiene en total 5
raíces entre reales e imaginarias, asimismo podemos
decir que 4F(x) x tiene en total 4 raíces (cada
una es igual a cero).
VIII. POLINOMIOS CON COEFICIENTES
REALES
A. Teorema (paridad de las raíces imaginarias)
Si un polinomio P(x) con coeficientes reales tiene
como raíz el número imaginario Z, entonces Z tam-
bién es raíz de P(x).
Observaciones
• La paridad de raíces imaginarias, refiere lo
siguiente, si Z = a + bi, con b  0 es raíz de
un polinomio P(x) entonces Z = a – bi tam-
bién es raíz de P(x).
• Si Z = a + bi es raíz del polinomio P(x), entonces
(x – Z) (x – Z ) será un factor de P(x).
Propiedad
Un polinomio con coeficientes reales puede escri-
birse como el producto de un número real, multi-
plicado por factores cuadráticos irreductibles con
coeficientes reales y factores lineales con coeficien-
tes reales.
B. Teorema (paridad de raíces irracionales)
Si un polinomio P(x) con coeficientes racionales tiene
como raíz a b , donde b es irracional, a y b son
racionales; entonces a b también es raíz de P(x).
Sea P(x) un polinomio con coeficientes racionales.
Si ( a b) es raíz del polinomio P(x), donde a,
b, ab son irracionales, entonces a b, ; a b, 
a b  también son raíces de P(x).
Si la raíz ( a b) es de multiplicidad K, las otras
raíces también son de multiplicidad K.
IX. RELACIONES ENTRE LAS RAÍCES Y
LOS COEFICIENTES
Dado el polinomio de grado n > 0:
P(x) = anx
n + an–1x
n–1 + ....... + a0
an  0 (con coeficientes reales o complejos) y cuyas n
raíces son r1, r2, r3, ..., rn (reales o complejas, incluidas
tantas veces como se repiten las raíces múltiples), en-
tonces existen relaciones entre los coeficientes de P(x)
y las raíces ri.
Dichas relaciones se obtienen del siguiete modo:
• n n 1n n 1 0a x a x ... a 0

   
 
n n 1 n 2 0n 1 n 2
n
n n n
aa a
x x x ... 0 a 0
a a a
        
 (1*)
• Como r1, r2, ..., rn son las n raíces de P(x), entonces
el polinomio P(x) se puede escribir como:
P(x) = an(x – r1) (x – r2) .... (x – rn)
Como P(x) = 0  an(x – r1)(x – r2)....(x – rn)=0,
an  0  (x – r1)(x – r2)....(x – rn) = 0
(2*)
• Pero son idénticos (1*) y (2*):
 n x 1 n 2 0n 1 n 2
n n n
aa a
x x x ...
a a a
     
1 2 n(x r )(x r )...(x r )      n n 11 2 nx r r ... r x     
   nn 11 2 1 3 1 2 3 nr r r r ... x ... 1 r r r ...r     
ECUACIONES
Exigimos más!
24LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 1
Sea la ecuación 4x2 – 2x + 3 = 0, cuyas
raíces son a y b. Halle otra ecuación
cuadrática que tenga por raíces (2a – 1)
y (2b – 1)
UNI 2008 - I
Nivel fácil
A) y2 – y + 1 = 0
B) y2 – y – 2 = 0
C) y2 + y + 3 = 0
D) 2 1y y 2 0
2
  
E) 2 1y y 3 0
4
  
Resolución:
Dada la ecuación:
4x2 – 2x + 3 = 0 de raíces {a;b}
1. Si cambiamos: "x" por " y
2
"
entonces: 
2y y4 2 + 3 = 0
2 2
      
   
tenemos: y2 – y + 3 = 0
de raíces {2a; 2b}
2. Si cambiamos: "y" por "y+1"
Entonces: (y + 1)2 – (y + 1) + 3 = 0
Tenemos: y2 + y + 3 = 0 de raíces
{2a – 1, 2b – 1}
Respuesta: C) y2 + y + 3 = 0
Problema 2
Las raíces de la ecuación x x 2 4  
son:
UNI 2007 - II
Nivel intermedio
A) solo x = 6
B) solo x = 3
C) x = 3, x = 6
D) x 6 , x = 3
E) No existen soluciones
Resolución:
 x x 2 4 x 2 4 x      
Elevando al cuadrado y teniendo en
cuenta que
 x – 2  0  4 – x  0
tenemos x2 – 9x + 18 = 0
(x – 3)(x – 6) = 0 de donde la que
verifica solo será x = 3
Respuesta: B) Solo x = 3
Problema 3
Una ecuación cuadrática tienen como
raíces a 4 y 2    . Halle la suma de
las cifras del producto de estas raíces,
siendo  el discriminante de la ecua-
ción.
UNI 2006 - II
Nivel difícil
A) 10 B) 11
C) 12 D) 13
E) 14
Resolución:
Suma de Raíces S 2 2   
2Producto Raíces P 2 8     
Luego la ecuación será:
2 2x (2 2)x 2 8 0        
Luego calculando el discriminante:
2 2(2 2) 4( 2 8)
36
           
 
Luego:
Producto de Raíces = (40)(34) = 1360
cifras 10
Respuesta: A) 10
Problema 4
Si {x1; x2} es el conjunto solución de:
x 1 x x3 3 1 3 2    
entonces la suma de x1 y x2 es:
UNI 2008-I
 Nivel fácil
A) –4 B) –2
C) 2 D) 4
E) 0
Resolución:
Si: 
x 1 x x3 – 1– 3 23
  
Si: x 0
Eliminando los valores absolutos:
3x+1 – (3x – 1) = 3x + 2
Reduciendo:
3x . 3 –2 . 3x – 1 = 0
Tenemos:
3x = 1  x 0
Si: –1 x 0 
Eliminando los valores absolutos:
3x+1 + 3x – 1 = 3x + 2
Reduciendo: 3x+1 = 3
Tenemos: x + 1 = 1
De donde: x = 00 1 x 0   
Si: x < –1
Eliminando los valores absolutos:
–x–13 3 x –1 3
x
2
Reduciendo: 3–x–1 = 3
Tenemos: –x – 1 = 1
De donde: x –2
 C.S. {–2;0}
Piden: –2 + 0 = –2
Respuesta: B) –2
Problema 5
Las raíces de la ecuación x x 2 4  
son:
UNI 2008-I
 Nivel intermedio
A) Solo x = 6
B) Solo x = 3
C) x = 3, x = 6
D) x 6 , x = 3
E) No existen soluciones
Resolución:
x x 2 4 x 2 4 x      
problemas resueltos
Exigimos más!
ECUACIONES
25LIBRO UNI ÁLGEBRA
Elevando al cuadrado y teniendo en
cuenta que:
x 2 0 4 x 0    
Tenemos: x2 – 9x + 18 = 0
(x – 3)(x – 6) = 0 de donde la que
verifica solo será x = 3.
Respuesta: B) x = 3, x = 6
Problema 6
La suma de todas las soluciones posi-
tivas de la ecuación:
2
2
10 6 x x
1 x x
  
 
es:
UNI 2009-II
Nivel difícil
A) 2 5 17
2
  
B) 2 5 17
2
  
C) 2 5 17
2
 
D) 3 5 17
2
  
E) 3 5 17
2
 
Resolución:
Piden: x > 0
Llamemos a:
x2 + x + 1 = m; m > 0
Del dato:
2
2
10 7 (1 x x )
1 x x
   
 
2
10Reemplazando : 7 m
m
m 7m 10 0
(m 2)(m 5) 0
m 2 m 5
 
  
   
   
Reemplazando:
2 2
2 2
x x 1 2 x x 1 5
x x 1 0 x x 4 0
      
      
Utilizando la fórmula general:
1 5 1 17x x
2 2
     
como x > 0:
1 2
1 5 1 17x x
2 2
     
1 2
2 5 17x x
2
    
Respuesta: B) 2 5 17
2
  
Problema 7
La función polinomial:
 2
4 2
F(x, y, z) (x y)(y z 3)
[(Z y)(y x 3)] (x y z 3)
    
       
tiene N raíces (x, y, z). Entonces N es
igual a:
UNI 2008 - I
Nivel fácil
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Resolución:
   2 4
0 0
(x y)(y z 3) (z y)(y x 3)       
2
0
(x y z 3) 0    
Se genera un sistema de ecuaciones:
x y 0 y z 3 0
z y 0 y x 3 0
x y z 3 0
     

     
    
De donde:
1 
 
x y 0
z y 0
x y z 3 0
C.S. (1,1,1)
 

 
    
 
2 
x y 0
y x 3 0
x y z 3 0
C.S.
 

  
    
 
3 
y z 3 0
z y 0 C.S.
x y z 3 0
  

   
    
4  
y z 3 0
y x 3 0 C.S. (2; 1,2)
x y z 3 0
  

     
    
Nes igual a 2
Respuesta: C) 2
Problema 8
Determine el polinomio mónico de me-
nor grado de coeficientes enteros que
tenga como raíces a los números reales
2 3 y 3 2 . Dar como respuesta
la suma de sus coeficientes.
UNI 2007 - II
Nivel intermedio
A) 28 B) 42 C) 56 D) 70 E) 84
Resolución:
Por el teorema de la paridad de raíces
irracionales: Si una raíz es 3 2  la otra
será ( 3 2)  la cual origina el polinomio
cuadrático x2 + 6x + 7.
Análogamente: Si la otra raíz es 2 3 
la otra será 2 3  que origina el
polinomio: (x2 + 4x + 1).
Por lo tanto el polinomio mónico será:
P(x) = (x2 + 6x + 7)(x2 + 4x + 1)
Nos piden: P(x) (14)(6) 84 
Respuesta: E) 84
Problema 9
Dados los siguientes polinomios: P(x)
de grado 2 y término independiente
uno; y Q(x) = (x – 1) P(x) + 3x + 1.
Si Q(2) = 7 y P(1) = 2, halle la suma
de raíces de Q(x).
UNI 2004 - II
Nivel intermedio
A) 0 B) 8/3
C) 10/3 D) 4
E) 5
Resolución:
De los datos: P(x) = ax2 + bx + 1
Q(x) = (x – 1) (ax2 + bx + 1) + 3x + 1
Pero:
Q(2) 7;(1)(4a 2b 1) 7 7
4a 2b 1......(1)
    
  
P(1) 2;a b 1 2
a b 1...(2)
   
 
de (1) y (2) = a 3 / 2;b 5 / 2  
De donde:
3 23 3Q(x) x 4x x
2 2
   
se pide:
1 2 3
4 8x x x
3 / 2 3
    

Respuesta: B) 8/3
26LIBRO UNI ÁLGEBRA
I. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE LOS
NÚMEROS REALES
El sistema de los números reales, es un conjunto provisto
de dos operaciones internas (adición y multiplicación) y
una relación de orden y otra de igualdad.
Notación
Denotamos por  al conjunto de los números reales.
A. Axiomas de adición
(A1) a,b : a b    
(Clausura o cerradura)
(A2) a,b : a b b a    
(Conmutatividad)
(A3) a,b, c : a (b c) (a b) c      
(Asociatividad)
(A4) a : !0 / a 0 0 a a        
(Existencia y unidad del elemento neutro)
(A5) a : !(–a) / a (–a) (–a) a 0        
(Existencia y unidad del elemento inverso)
B. Axiomas de multiplicación
(M1) a,b : ab   
(Clausura)
(M2) a,b : ab ba  
(Conmutatividad)
(M3) a,b, c : a(bc) (ab)c  
(Asociatividad)
(M4)      a : !1 / a 1 1 a a   
(Existencia y unicidad del elemento neutro)
(M5)      1 –1 –1a – {0} : !a / a a a a 1   
(Existencia y unidad del elemento inverso)
C. Axioma distributiva
Distributividad de la multiplicación respecto de la
adición.
(D1) a,b, c : a(b c) ab ac    
(D2) a,b, c : (b c)a ba ca    
D. Relación de orden
Es una comparación que se establece entre 2 ele-
mentos de un conjunto que pertenece al campo
de los números reales, el campo real es un campo
ordenado.
Símbolos de la relación de orden:
> : "mayor que"  : "menor o igual que"
< : "menor que"  : "mayor o igual que"
II. DESIGUALDAD
Es una relación de orden que se establece entre dos
números reales de diferente valor.
Existen dos tipos de desigualdades.
6 > 1  (Desigualdad verdadera)
5 < –2  (Desigualdad falsa)
A. Axioma de tricotomia
Si a b   , entonces una y solamente una
de las siguientes relaciones se cumple:
NÚMEROS REALES
ÁLGEBRA
DESARROLLO DEL TEMA
Exigimos más!
NÚMEROS REALES
27LIBRO UNI ÁLGEBRA
B. Axioma de transitividad
Si: (a b) (b c) (a c);a,b, c      
C. Otros axiomas y teoremas de la desigualdad
a,b, c, d  , se cumple:
• a b a c b c    
• a b c d a c b d      
• Si: a b c 0 ac bc    
• Si: a ba b c 0
c c
    
• Si: a b –a –b  
• Si: 0 a b 0 c d 0 ac bd       
• 2a ;a 0  
• ab 0 {(a 0 b 0) (a 0 b 0)}        
• ab 0 {(a 0 b 0) (a 0 b 0)}        
• a y 1
a
 tienen el mismo signo  a – {0}
• Si a y b tienen el mismo signo y 1 1a b
a b
  
• Si: 1 1 1ab 0 a x b
a x b
      
• 2n–1 2n–1a b a b , n     
• 2n 2n0 a b a b , n       
• 2n 2na b 0 a b ; n       
• Si: a x b ab 0    entonces:
2 2 20 x Max(a ,b ) 
• Si: 0 a b  entonces a ba b
2
 
• Si: 0 a b  entonces a ab b 
D. Propiedades de desigualdades entre medias
Si: x1; x2; ... xn son números positivos, se define:
• Media aritmética de x1; x2; ... ; xn
MA (x1; x2; ...; xn) = 
n
i
i 1
1 x
n 

• Media geométrica de x1; x2; ...; xn
MG (x1; x2; ...; xn) =
n
n i
i 1
x


• Media armónica de x1; x2; ...; xn
MH (x1; x2; ... xn) = n
ii 1
n
1
x

• Media potencial de x1; x2; ...; xn
MP (x1; x2; ...; xn) =
n
k
ik
i 1
x
n


Entonces:
MP MA MG MH  
Para dos números: a  b, K  
k k
k a b a b 2ab
2 2 1 1
a b
   

E. Recta numérica real
Es la recta geométrica donde se puede ubicar los
números reales, es decir, existe una correspon-
dencia biunivoca entre el conjunto de los números
reales y esta recta.
NÚMEROS REALES
Exigimos más!
28LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 1
Sean a, b, c y d cuatro números reales
positivos tal que a – b = c – d y a < c.
Decir la verdad o falsedad de las si-
guientes afirmaciones:
I. a c , si a b
b d
 
II. c a , si c d
d b
 
III.
c a
b d

UNI 2004 - I
 Nivel fácil
A) FFV
B) FVV
C) FVF
D) VFV
E) VFF
Resolución:
I. Si a < c
1 1 ; si a b a b 0
c a
     
Luego:
1 1(c d) (a b)
c a
  
d b1 1
c a
  
b d a c,
a c b d
  (V)
II. Si c < d  a < b
c a
d b
 (F)
III.
a c
b d
ab cd



c a
b d
 (F)
Respuesta: E) VFF
Problema 2
Sean los números racionales a1, a2, ...,
an tales que a1< a2 < ... < an–1 < an.
Entonces se cumple que:
UNI 2008 - II
Nivel fácil
A)  

n
i
n ni 1
1 n
a
a a
n
B)  

n
i
i 1
1 n
a
a a
n
C)

 
n
1 i n
i 1
a a a
D)

 
n
n n
1 i n
i 1
a a a
E)

 
n
1 n
i
i 1
a a
a
n n
Resolución:
Para un grupo de datos no todos iguales:
   
 1 2 3 n1 n
a a a ... a
a a
n
 , – son símbolos ideales, no son números rea-les, son simples representaciones.
problemas resueltos
Exigimos más!
NÚMEROS REALES
29LIBRO UNI ÁLGEBRA
 

n
i
i 1
1 n
 a
a a
n
Respuesta: B) 

n
i
i 1
1 n
 a
a a
n
Problema 3
Clasifique como verdadero (V) o falso
(F) cada una de las siguientes afirma-
ciones:
• a,b números enteros, a/b es un
número racional.
• a,b números enteros, 
2
a b
1 a


es un número racional.
• Si k y k2 es par, entonces k es
par.
UNI 2009 - I
Nivel difícil
A) FVV B) FFV
C) VFV D) VFF
E) FFF
Resolución:
a) Aplicación de teorema
Recordar:
 Número A / A Z B Z 0
racional B
       
 
b) Solución del problema
• Es falso, cuando b = 0.
• Es verdadero, porque en:
2
a b
1 a


; 2(1 a 0) 
• Es verdadero:
o
o
2
K 2
K .2 K Z

  
Respuesta: A) FVV
30LIBRO UNI ÁLGEBRA
INECUACIONES
ÁLGEBRA
2. Aplicar uno de las teoremas siguientes:
I. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)       
II. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)       
III. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)       
IV. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)       
D. Método de los puntos de corte
Sea: 2
P(x)
ax +bx +c 0
Consideraciones previas
• En la resolución de una inecuación cuadrática
se transpone, si es necesario, todos los términos
a un sólo miembro de la desigualdad.
1. Factorizar la expresión cuadrática si es posible;
si no se puede factorizar aplicar la fórmula cuadrática.
2. Hallar los puntos de corte (valor de x) igualando
a cero el factor o los factores.
3. Ubica los puntos de corte en la recta numérica real.
4. Denotar las zonas o regiones determinadas por los
puntos de corte colocando los signos intercalados
empezando por la derecha con signo positivo.
5.
I. Si: P(x) > 0, el conjunto solución es la unión
de intervalos positivos (abiertos).
II. Si: P(x) 0 , el conjunto solución es la unión
de intervalos positivos (cerrados).
II. Si: P(x) < 0, el conjunto solución es el inter-
valo negativo (abierto).
IV. Si: P(x) 0, el conjunto solución es el inter-
valo negativo (cerrado).
Teorema
Sea: ax2 + bx + c > 0; a > 0
Si:    2b 4ac 0
Se verifica para todo x diferente de 
b
2a   bC.S. : x 2a
Teorema
Sea: ax2 + bx + c < 0; a > 0
Si:    2b 4ac 0
No se verifica para ningún valor real "x".
C.S. : x
I. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Son aquellas inecuaciones de la forma:
I. ax2 + bx + c > 0
II. ax2 + bx + c > 0
III. ax2 + bx + c < 0
IV. ax2 + bx + c  0
Donde:  a 0 ;b, c   
A. Método de resolución de inecuaciones de se-
gundo grado con una incógnita
I. Método de completar cuadrados.
II. Método de la ley de signos de la multiplicación.
III. Método de los puntos de corte.
B. Método de completar cuadrados
Sea: ax2 + bx + c  0
1. El coeficiente de x2 debe ser 1, si no lo fuese
entonces se divide a ambos miembros entre a.
2 bx cx 0
a a
  
2. El término independiente se pasa al segundo
miembro.
2 b cx x
a a
 
3. Se busca obtener un trinomio cuadrado perfecto,
sumando a ambos miembros la mitad del coe-
ficiente de x elevado al cuadrado.
2 2
2 b b c bx 2(x)
2a 2a a 2a
                   
4. Escribiendo el primer miembro como un binomio
al cuadrado y reduciendo el segundo miembro.
2 2
2
b b 4acx
2a 4a
     
5. Finalmente:
Teorema
2x m x m x m;m 0      
2x m x m x m;m 0      
C. Método de la regla de signos de multiplicación
 Sea: ax2 + bx + c  0
1. Se factoriza el trinomio (factor común, dife-
rencia de cuadrados, aspa simple)
DESARROLLO DEL TEMA
Exigimos más!
INECUACIONES
31LIBRO UNI ÁLGEBRA
Teorema
Sea: ax2 + bx + c > 0; a > 0
Si: b2 – 4ac < 0
Se verifica para todo valor real “x”.
C.S. : x 
Teorema
Sea: ax2 + bx + c < 0; a > 0
Si: b2 – 4ac < 0
La inecuación no se verifica para ningún valor real “x”.
C.S. : x
II. INECUACIONES POLINOMIALES
Son aquellas que presentan la siguiente forma general:
n n-1 n-2
0 1 2 n-1 nP(x) a x a x a x ... a x a 0     
x  Variable
a0; a1; a2; ... an  Coeficientes
n Z n 2  
• Reducir el polinomio mediante factorizaciones ob-
teniendo la forma equivalente siguiente:
     1 2 nx a x a ... x a 0   
donde todos los ai son diferentes entre sí, para
luego aplicar: el método de los puntos de corte.
III. INECUACIONES FRACCIONARIAS
Son aquellas inecuaciones que reducida a su mas simple
expresión asume la siguiente forma general:
P(x) 0
Q(x)

Donde:
P(x) Q(x) son polinomios no nulos con coeficientes
reales.
Resolución:
Se tiene: 
(x)
(x)
P 0
Q
Multiplicamos a ambos miembros por:
(x) (x)
(x)
(x)
2
2 P QQ 0
Q
 
Expresión reducida:
P(x) Q(x) > 0; no olvidando: Q(x) 0
Para luego utilizar el método de los puntos de corte.
IV. INECUACIONES IRRACIONALES
Se denomina así a aquellas inecuaciones donde la
incógnita se encuentra bajo signo radical, los casos
más usuales son:
A. Caso I
2n 1 P(x) Q(x) 
Donde P(x), Q(x) son polinomios; n N se resuelve:
P(x)  Q(x)2n+1
Ejemplo:
(1) Resolver: 3 x 2 1 
Resolución:
Se obtiene: x – 2 > 1
 x > 3
B. Caso II
2n 2nP(x) Q(x)
Es equivalente a resolver un sistema constituido a
partir de:
2n 2n0 P(x) Q(x) 
Así:
P(x) 0 ... (1)
Q(x) 0 ... (2)
P(x) Q(x) ... (3)



finalmente:   1 2 3C.S. S S S
Ejemplo:
(1) Resolver: x 2 6 x  
Resolución:
1° x + 2  0
x  –2 ... (1)
2° 6–x  0
–x  –6
 x  6 ... (2)
3° x + 2 < 6 –x
2x < 4
x < 2 ... (3)
Luego: C.S. = 1 2 3S S S 
 C.S.: [–2; 2>
C. Caso III
P(x) Q(x)
Se resuelve el sistema construido a partir de:
P(x)  0 ... (1)
Q(x) > 0 ... (2)
P(x) < Q2(x) ... (3)
finalmente:   1 2 3C.S. S S S
Ejemplo:
Resolver: x 2 3 
Resolución:
1° x – 2  0
x  2 ... (1)
2° 3 > 0
 x R ... (2)
3° x – 2< 32
x < 11 ... (3)
INECUACIONES
Exigimos más!
32LIBRO UNI ÁLGEBRA
Luego:   1 2 3C.S. S S S
 C.S. = [2; 11>
D. Caso IV
P(x) Q(x)
Se resuelve: P(x) 0
1S P(x) 0 Q(x) 0 P(x) Q(x)     
2S P(x) 0 Q(x) 0   
Finalmente: 1 2C.S. S S 
V. VALOR ABOLUTO (V.A)
a. Definición
Sea a  , el valor absoluto se denota por |a|, el cual
se define por:
a;a 0
a
a;a 0
=
–



Ejemplos:
1. |4 – 2| =|2| = 2
2. |3 – 5| =|–2| = –(–2) = 2
B. Propiedades
1. El valor absoluto de todo número real siempre es
un número no negativo. a 0
2. El valor absoluto de todo número real siempre es
igual al valor absoluto de su opuesto. a a= –
3. El valor absoluto de la multiplicación de dos números
reales es igual a la multiplicación de los valores
absolutos de los números en mención.|ab| = |a||b|
4. El valor absoluto de la división de dos números reales
(divisor es diferente de cero) es igual a la división
de los valores absolutos.
a a ; b 0
b b
=
5. Todo número al cuadrado, siempre es igual al valor
absoluto de la base elevado al cuadrado.
a2 = |a|2
6. La raíz cuadrada de todo número elevado al
cuadrado, siempre es igual al valor absoluto del
número.
2a a=
Nota:
– Hagamos la siguiente generalización:
 



x a;x a 0
x a
x a;x a<0
– –
– =
– + –
– Generalizando:
|a + b| = |–a –b| ; |a – b| = |b – a|
– Generalizando:
|abc... n| = |a||b||c|...|n|
– Estas dos propiedades antes mencionadas nos permiten
hacer lo siguiente:
– |3(x – 4)| = 3|x – 4|
– 2|x + 2| = |2x + 4|
– –2|x + 2| = –|2x + 4|
–
x 1 x 1
3 3
+ +=
– x 2 x 2= 3 3
+ +–
–
 Comentario
Esta propiedad va a ser de gran utilidad en el
trabajo de una ecuación e inecuación con un valor
absoluto.
7. Desigualdad triangular:
|a + b|  |a| + |b|
En particular si:
|a + b| = |a| + |b|
 ab  0
Nota:
– Generalizando si n o:
a2n = |a|2n
a2n+1 = |a|2n.a
– ¡Tenga cuidado!
Teoría de exponentes

2x x
x 0
=
 Números Reales
2x x
x 
=
VI. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
A. Caso 1
|x| = 0  x = 0
Ejemplo:
• |x – 3|=0  x – 3 = 0  x = 3
B. Caso 2
|x| = a  (a  0)  (x = a  a = –a)
Ejemplo:
• |x – 3| = 5
Si 5  0
x – 3 = 5  x – 3 = –5
 x = 8  x = –2
Exigimos más!
INECUACIONES
33LIBRO UNI ÁLGEBRA
|x – 3| = –4
Si –4  0 (Falso)
 C.S. = 
C. Caso 3
|x| = |a|  x = a  x = –a
Ejemplo:
|x – 3| = |2x + 2|
 x – 3 = 2x + 2  x – 3 = –2x –2
 –5 = x 3x = 1
 x = -5 x = 
1
3
VII. INECUACIONES CON VALOR
ABSOLUTO
A. Caso 1
|x|  a: a  0  (–a  x  a)
Ejemplo:
|x – 3|  5: 5  0 (–5  x – 3  5)
–2  x  8
B. Caso 2
|x|  a: x  a  x  –a
Ejemplo:
|x – 2|  3: x – 2  3  x – 2  –3
 x  5  x  –1
C. Caso 3
|x|  |y|  (x – y)(x + y)  0
Ejemplo:
|x – 2|  |2x – 3|  (–x + 1)(3x – 5)  0
(x – 1)(3x – 5)  0
Aplicando puntos de corte:
5
x ;1 ;
3
– +    
Problema 1
Halle el valor de a , para que la ine-
cuación 2 2(a 14) x 4x 4a 0    , tenga
como solución el conjunto [–2; 4].
UNI 2010-II
A) –6 B) –4 C) –2 D) –1 E) –1/2
Resolución:
(a2 – 14)x2 – 4x + 4a  0
Se debe cumplir que:
2 2
a 4 a –4 7a a –4
2
4 4a2 –8
a – 14 a –14
     
  
 
Por tanto: a = –4
Respuesta: B) –4
Problema 2
Si el conjunto solución de la inecuación:
(2x – x) (3x – Log3x)(x
2 – 9)(3x – 9) > 0
es de la forma: S a;b c;   . Ha-
lle a + b + c.
UNI 2009-I
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5
Resolución:
(2x – x)(3x – log3x)(x
2 – 9)(3x – 9) > 0
Resolviendo:
De donde:     x x2 x 2 x 0; x 0
De donde:
x x
3 33 log x 3 log x 0; x 0    
Resolviendo:
(2x–x)(3x–log3x)(x+3)(x–3)(3
x–9) > 0
C.V.A. = Si: log3xR x > 0
     x x x32 -x 3 -log x x 3 (x 3)(3 9) 0
 
    
Reduciendo:
(x – 3)(3x – 9) > 0
x x(x 3 0 3 9) (x 3 0 3 9)        
x(x 3 x 2) (x 3 0 3 9)       
x > 3  x < 2..... S1
Luego: C. S.: C. V. A  S1
S =  0; 2    3 ; + 
   
 a b c
 a + b + c = 5
Respuesta: E) 5
Problema 3
La inecuación x2 – 2bx – c < 0 tiene como
conjunto solución 3;5 . Halle b + c.
UNI 2008 - II
A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24
Resolución:
Analizando:
  
 
2x 2bx c 0
x 3;5
Operando:
a) Aplicación de fórmula o teorema
• Suma de raíces: x1 + x2 = 
b
a

• Producto de raíces: 1 2
cx x
a

b) Solución del problema
–3  5 serán raíces de la ecuación:
x2 – 2bx – c = 0
Entonces:
1 2
2b
x x 2 b 1   
1 2
c
x x 15 c 15

   
Conclusión
 b + c = 16
Respuesta: A) 16
problemas resueltos
INECUACIONES
Exigimos más!
34LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 4
Resolver:
|2x + 6| = |x + 8|
Nivel fácil
Resolución:
Aplicando el teorema:
|a|=|b|  a = b  a = –b
2x + 6 = x + 8  2x + 6 = –x–8
 x = 2 3x = –14
 x = 14
3
–
Respuesta: C.S.=
14
– ;2
3
 
 
 
Problema 5
Resolver: |3x + 5| = 2x – 3
Nivel intermedio
Resolución:
Aplicando el teorema:
|x| = a  a  0  (x = a  x = –a)
Entonces:
2x–3 0 (3x+5=2x–3 3x+5=–2x+3)
x 
3
2 
 (x = –8  5x = –2)
 x = 2
5
–
Como:
–8  3
2
(F) 2 3
5 2
– (F)
Respuesta: C.S. =
Problema 6
Resolver: |3x + 4|  x + 10
Nivel intermedio
Resolución:
Aplicando el teorema:
|x|  a  (a  0)  (–a  x  a)
Entonces:
x+10  0  (–x –10  3x + 4  x + 10)
x –10 (–x–10 3x+4 3x+4 x+10)
–14  4x  2x  6
 x  –10  
7
x x 3
2
    
 
–
 x  –10  
7
– x 3
2
   
 
Intersectando:
–10 –7
2
3 +–
Respuesta:     
– 7x ; 3
2
Problema 7
Sea la igualdad:
    x a b x a b .....(*)
entonces la proposición verdadera es:
UNI 2009 - I
Nivel fácil
A) (*) si y solo si   2 2x 0 a b
B) (*) si y solo si x = a = b
C) (*) si y solo si   x 0 a b
D) (*) si y solo si   x 0 a b
E) (*) si y solo si x = a = –b
Resolución:
a) Aplicación de fórmula o teorema
     x y x y x y
b) Solución del problema
 
           
 
(x a b) x a b x a b (x a b)
2b 2a 2x 0
Conclusiones
   a b x 0
Otra solución
Tenemos:
    x a b x a b
(2x) (2b – 2a) = 0
x = 0  a = b
Recuerda:     x y (x y)(x y) 0
Problema 8
Sean los conjuntos:
 
 
   
    
A x / x x 1 y
B x A / x x 1 1

Entonces podemos decir que A\B es:
UNI 2009-II
Nivel intermedio
A)  B) 1 1,2 2
   
C) 1 ,02
   
D) 
1 ;0
2



E) 0;
Resolución
 A x / x – x 1  
 B x A / x – x – 1 1  
Operando:
I. Calculando el conjunto A (de la ine-
cuación).
 i) x 0 : 0 1 
iC.S. 0;  
ii) x 0 : x - (-x) 1 
2x 1
 1 2x 1  
 
1 1x pero x 0
2 2
   
II. Calculando el conjunto B (de la ine-
cuación)
1 ;   
    
   
 
  
 i
Como x A
2
1i) x 0 : 2x 1 1
2
1 2x 1 1
0 x 1, pero
1 x 0
2
C.S.
 
ii
i ii
ii) x 0 : 1 1
1 1
C.S. 0
C.S. C.S. C.S. 0
B 0
  

 
   
  
;
;
;
Calculando A–B
1A B ;0
2
   
Respuesta: D) 1 ;0
2

Exigimos más!
INECUACIONES
35LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 9
Dada la siguiente relación:
  y y x x
diga cuál de las siguientes gráficas es la
que le corresponde:
UNI 2010 - I
Nivel difícil
A) B)
C) D)
E)
Resolución:
Ubicación de incógnita
Encontrar la gráfica de la relación.
Análisis de los datos o gráficos
  
  
y y x x
y x y x
Operación del problema
Si:       x 0 y 0 y x y x
Si:        
  
x 0 y 0 y x y x
2y 0 y 0
y
x
Si:       

x 0 y 0 y x y x
2x 0
y
x
Si:       

x 0 y 0 y x y x
x y
y
x
Luego: 
y
x
Respuesta: D) 
y
x
36LIBRO UNI ÁLGEBRA
FUNCIONES
ÁLGEBRA
La palabra función se escuchará muy a menudo en la misma
vida diaria por ejemplo en las siguientes frases:
1. Los precios están en función a la oferta y la demanda.
2. El volumen de una esfera está en función del radio de
la misma.
Y así podría escucharse otras frases que nos dan una idea
intuitiva del concepto de una función, el concepto intuitivo
de función. "Es la relación de 2 ó más conjuntos bajo una
regla o ley".
El objetivo es esquematizar el concepto intuitivo en una
definición formal, pero antes daremos algunos conceptos
previos.
I. PAR ORDENADO
Es un conjunto de 2 elementos denotado así: (a;b)
Donde:
a: se llama 1.a componente.
b: se llama 2.a componente.
Que formalmente se define así:
(a,b) = {{a}, {a, b}}
Teorema:
(a,b) = (m,n) a = m b = n 
II. PRODUCTO CARTESIANO
Dados 2 conjuntos A y B no vacíos el producto carte-
siano de A y B denotado por A x B se define:
  A x B a,b / a A b B   
Ejemplo:
Sean A =    m,n , B p,q,r
A x B = {(m,p), (m,q), (m,r), (n,p), (n,q), (n,r)}
B x A = {(p,m), (p,n), (q,m), (q,n), (r,m), (r,n)}
Vemos que:
A x B B x A A B  
Por el diagrama del árbol
A B AxB
m
p
qq
r
p
(m,p)
(m,q)
(m,r)
(n,p)
n
p
qq
r
(n,p)
(n,q)
(n,r)
Por el diagrama sagital o de Ven
A B
m
n
p
q
r
            A B m,p , m,q , m,r , n,p , n,q , n,r 
Por el diagrama cartesiano
            A B m,p , m,q , m,r , n,p , n,q , n,r 
III. RELACIONES
Dados 2 conjuntos no vacíos, A y B se llama relación R
de A en B a todo subconjunto de A x B.
Ejemplo:
Sea A = {m, n}, B = {p, q,r}
            A x B m,p , m,q , m,r , n,p , n,q , n,r
DESARROLLO DEL TEMA
Exigimos más!
FUNCIONES
37LIBRO UNI ÁLGEBRA
Ejemplo:
m
n
p
A B
f
q
1
2
3
7
Df =  A m,n,p,q , Rf  1,3
Observación:
Si:  x,y  f función de A en B
se denota, y = f(x), se dice:
y: es imagen de x bajo f.
x: es la preimagen de x bajo f.
x: variable independiente.
y: variable dependiente.
C. Cálculo del dominio y el rango
El dominio se halla ubicando los posibles valores que
puede asumir la variable independiente. El rango,
dependiendo del dominio considera los valores de
la variable dependiente.
Ejemplo:
Halle el dominio y el rango en:
 
2
2
25 xf x
x 7


I) Df =  2 2x R / 25 x 0 x 7 0     
=     2x R / x 5 x 5 0 x 7 0      
x 5,5 x , 7 7,         
x 5 , 7 7;      
Df =   x 5 , 7 7,5     
II) Rf = R+0
D. Gráfica de una función
Se define como el conjunto de los pares (x,y)
 x, y R x R / x Df Rf  
Así: A B C D E
Sea:           f 3,5 , 2,2 , 1,2 , 4,3 , 5, 4
Se citan las relaciones:
      1R m,p , n,p , n, r
      2R m,q , n,p , n,q
  3R m,q
IV. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Unafunción f es una correspondencia entre 2 con-
juntos A y B tales que a cada elemento a  A le co-
rresponde un único elemento de B.
Se llama función f al conjunto de pares ordenados
(a,b) que:
Para cada aA,  !b B / a, b   f asimismo:
 a,b  f (a, c)  f b = c
Ejemplo
f       3,a , 4,a , 5,b
Cumple la definición, por tanto f es una función.
Ejemplo:
3
7
9
m
n
p
A B
f
f         3,m , 3,n , 7,p , 9,n
– No se cumple la condición de unicidad.
– No es función.
"No deben existir 2 o más pares ordenados con el
mismo primer elemento".
A. Dominio de una función
Se llama así al conjunto de todas las primeras compo-
nentes que coinciden con los elementos del conjun-
to de partida denotado por Df (dominio de f).
Df = {  x A / !b B a,b     f}}
B. Rango de una función
Es el conjunto de todas las segundas componentes
de todos los pares ordenados de f, denotado por
Rf (Rango de f).   Rf b B / a A a,b f    
FUNCIONES
Exigimos más!
38LIBRO UNI ÁLGEBRA
Observación:
• Si tanto la variable independiente "x" y la variable
dependiente "y" son reales se llama función real
en variable real.
• Si los pares son continuos la gráfica obtenida
es una línea.
E. Propiedad de las funciones reales
f es una función real de variable real si y solo si cada
recta vertical corta a lo más en un punto a su gráfica.
Ejemplo:
 
V. FUNCIONES ESPECIALES
A. Función identidad
B. Función constante
C. Función valor absoluto
 
x x 0
f x x 0 x 0
x x < 0

  

D. Función escalón unitario
  0, x aU x
1, x a

 

E. Función signo (sig.x)
 
1 x 0
y Sig x 0 x 0
1 x < 0

  

F. Función máximo entero 
 f x x n n x n 1,n      Z
 
2 2 x 1
1 1 x 0
f x x 0 0 x 1
1 1 x 2
2 2 x 3
     
        
   
   
y
2
1
1 2 3
-1-2
O
-1
-2
Df=
Rf=z
R
Exigimos más!
FUNCIONES
39LIBRO UNI ÁLGEBRA
G. Función inverso multiplicativo
  1f x / x 0
x
  ;    f x 1/ x; x 0
H. Función polinomial
1. Función lineal
 f x ax b ; a 0  
2. Función cuadrática a 0
  2f x ax bx c;   de raíces x1, x2
Discriminante:  = b2 – 4ac
3. Función cúbica
  3 2f x ax bx cx d   
Reemplazando x por bx
3a
 se transforma en:
 3k x px q 
  31f x x px q,    de raíces 1 2 3x , x , x llama-
mos discriminante:
2 3q p
2 3
        
   
I. Función potencial
  nf x x / n  N
VI. TRAZADO DE GRÁFICAS ESPECIALES
En esta sección veremos una forma rápida de construir
las gráficas de algunas funciones definidas a partir de
otras cuyas gráficas se asumen conocidas. En este sen-
tido, dada la gráfica de una función de base y = f(x)
veremos primero la forma de construir rápidamente las
gráficas de las funciones siguientes:
1. g(x) = f(x) + k; g(x) = f(x - h); g(x) = f(x-h)+k
2. g(x) = -f(x); g(x) = f(-x); g(x) = -f(-x)
3. g(x) = af(x); g(x) = f(ax); ( a 0 )
4. g(x) = |f(x)|; y
5. g(x) = f(x)
[Todas en base a la gráfica y = f(x)]
(1a) La gráfica de    g x f x k  se obtiene despla-
zando verticalmente la gráfica de y = f(x) en |k| unidades:
i) Hacia arriba, si k > 0
ii) Hacia abajo, si k < 0
x
y
O
g(x) = f(x)+2
y = f(x)
h(x) = f(x)-2
-2
2
(1b) La gráfica de    g x f x h  se obtiene despla-
zando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en h uni-
dades:
i) Hacia la derecha, si h > 0
ii) Hacia la izquierda, si h < 0
pues si f(x) = x2, entonces:
f(x – 4) = (x – 4)2 = g(x)
f(x + 3) = (x + 3)2 = j(x)
Donde en el caso de: j(x) = (x + 3)2 [x – (–3)]2 se
tiene que: h = –3 (<0). Tenemos la gráfica correspon-
diente a continuación:
FUNCIONES
Exigimos más!
40LIBRO UNI ÁLGEBRA
 
(1c) La gráfica de    g x f x h k   se obtiene com-
binando (1a) y (1b) en cualquier orden.
 
y=f(x)=x2
x
y
y=(x-7)2
7
O
y=x -32
-3 (7;-3)
g(x) = (x-7)-3
2
(2a) La gráfica    g x f x  se obtiene por reflexión
de la gráfica de y = f(x) sobre el eje x. Considerando a
este eje como doble espejo.
Todo lo que está encima del eje X pasa abajo, y viceversa.
O
y=-f(x)
x
y
f
-f
y=f(x)
(2b) La gráfica  y f x  se obtiene por reflexión
de la gráfica de y = f(x) sobre el eje y considerando a
este eje como doble espejo.
Todo lo que está encima del eje y, pasa abajo y viceversa.
 
O
y=-f(x)
x
y
x
f(x)=f(-x)
y=f(x)
-x
(2c) La gráfica de  y f x   se obtiene combinado
(2a) y (2b).
Ejemplo:
Como ilustración de los resultados anteriores. Hallaremos
la gráfica de: y = g(x) = –(x – 2)2 + 1
Resolución:
Sean f(x) = (x + 2)2 – 1, entonces:
f(–x) = [(–x) + 2]2 – 1 = (x – 2)2 – 1
 –f(–x) = –x(x – 2)2 + 1
Luego y = g(x) = –f(–x):
f(x)=(x+2)-1
2
y
y=f(-x+2)-1
2
x
-2
-3-4 0
-1 1
-3
1 2 3 4
1
3
=(x-2)-1
2
g(x)=-(x-2)+1=-f(-x)
2
Note que pudimos haber graficado esta parábola di-
rectamente, claro.
(3a) La gráfica de  y a f x . a 0  , se obtiene:
i) Estirando la gráfica de y = f(x) verticalmente en
un factor a, si a > 1, con base en el eje X.
ii) Si: 0 < a < 1, escogiendo la gráfica de: y = f(x)
verticalmente en un factor a.
(3b) La gráfica de  y f ax , a > 0, se obtiene:
i) Encogiendo horizontalmente la gráfica de y = f(x)
en un factor a, si a > 1, con base en el eje Y.
ii) Estirando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en
un factor a, si 0 < a < 1.
Gráfica de: y = |f(x)|
Desde que:
 
   
 
 
f x , si f x 0
y f x f x 0
f(x), si f x 0
    

Entonces la gráfica de: y f(x) se encontrará comple-
tamente en el semiplano superior y  0 y se obtiene a
partir de la gráfica de la función y = f(x); reflejando
hacia arriba del eje x todo lo que este debajo de este
eje, quedando intacta la parte de la gráfica de: y = f(x)
que originalmente ya se encontraba arriba o en el mismo
eje x (es decir, en la zona y  0).
Exigimos más!
FUNCIONES
41LIBRO UNI ÁLGEBRA
VII. FUNCIONES PARES, IMPARES Y
PERIÓ-DICAS
A. Función par
Una función f se llama función par si:
i) x Domf x Dom f  
ii) f (–x) = f(x)
En este caso la regla de correspondencia y = f(x)
no varía si se reemplaza x por –x. Geométricamente,
la gráfica es simétrica respecto al eje y.
Así tenemos que las funciones f(x) = x2, f(x) = Cosx,
f(x) = x4, son funciones pares.
B. Función impar
Una función f se llama función impar, si:
i) x Domf x Dom f   
ii) f (–x) = –f(x)
Aquí la regla de correspondencia y = f(x) no varía
si se reemplaza simultáneamente tanto x por – x
como y por – y. Por lo tanto, su gráfica es simétrica
res-pecto al origen.
y
x
f(x)
0 x
-x
f
f(-x)=-f(x)
Son funciones impares:
a) f(x) = x3
b) f(x) = sen x
c) (x) = 1/x
Una función que es a la vez par e impar es, por
ejemplo:
f(x) = 0, x 5 , 2 2 ,5       .
x0-2-5 2 5
y
C. Funciones periódicas
Una función f, en R, se denomina función periódica
si existe un número real T 0 , tal que:
i) x Domf x T Dom f   
ii) f (x + T) = f(x) . x Domf 
Tal número T es llamado un periodo de T.
 
xx
y
0
f(x)
x+T x+2T x+3T
T
Note que f(x+T) = f(x)
Toda función periódica con periodo T tiene su grá-
fica de modo tal que la misma forma que tiene en
un intervalo de longitud T se repite horizontal y
periódicamente en el siguiente intervalo consecuti-
vo de longitud T.
Note que si T es un periodo de f, entonces 2T, 3T...
también son periodos de f.
Las funciones seno y coseno tienen periodo T = 2 :
Sen(x + 2 ) = Senx . Cos(x + 2 ) = Cosx; x R 
También vemos que: 2 . 4 .6 ...2k     
 con k entero 0 , son periodos de seno y coseno,
siendo 2  el menor periodo positivo.
Definición
Se llama periodo mínimo de una función periódica
al menor de sus periodos positivos.
VIII. ÁLGEBRA DE FUNCIONES
A. Igualdad de funciones
Dos funciones f y g son iguales si:
i) Dom f = Dom g
ii) f(x) = g (x), x  Dom f
En tal caso se denota f = g.
Así tenemos que las funciones:
f(x) = x2 –x, 2x 0, 4 ; g(x) x x, x 0,5         
No son iguales, pues aunque tienen la misma regla
de correspondencia, sus dominiosno coinciden.
B. Adición de funciones
Recordemos que una función está completamente
FUNCIONES
Exigimos más!
42LIBRO UNI ÁLGEBRA
definida cuando se especifica su dominio y su regla
de correspondencia.
Definición: si f y g tienen dominios Dom f y Dom g,
se define una nueva función llamada.
Función Suma
"f + g", tal que:
i)  Dom f g Domf Domg  
ii) (f + g)(x) = f(x) + g(x)
C. Sustracción y multiplicación de funciones
Si f y g tiene dominios Dom f y Dom g, se definen
las funciones:
1. Diferencia "f – g"
i)  Dom f g Domf Domg  
ii) (f – g)(x) = f(x) – g(x)
2. Multiplicación "f . g"
i) Dom (fg) = Dom f  Dom g
ii) (f . g)(x) = f(x) g(x)
     f g x f x g x / x Dom f Domg     
      f g x, f x g x / x Domf Domg  
Notación
La multiplicación de una función por sí misma:
2 nf f : f : f f.f...f (n veces), n  
Donde:
     nDom(f ) Domf Domf ... Domf Domf    
Por lo tanto: el dominio de cualquier potencia
entera positiva de f tiene el mismo dominio de
la función f.
Así:
     2f x, f x .f x / x Domf 
Asimismo:
   c . f x,c f x / x Dom f 
para cualquier constante real c.
C. División de funciones
Si f y g son funciones con dominios Dom f y Dom g,
se define la nueva función "cociente" denotada por
"f/g", tal que:
i) Dom (f/g) =  Domf x Domg / g(x) 0  
 =    Domf Domg x Domg / g(x) 0   
ii)       
f x
f / g x ,
g x
 x Dom (f / g) 
La condición (i) exige que el dominio de f/g no
debe contener los valores de x que hagan que
g(x) = 0.
Es así, que:
 
   
f x
f / g x, / x Dom f / g
g x
          
IX. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Dadas 2 funciones f y g la función composición deno-
tado por fog se define así:
• fog = {(x;y)|y = f(g(x))}
• Dfog =  x Dg g(x) Df  
Esquematizando con el diagrama sagital:
Ejemplo:
f = {(3;5), (4;3), (5;2)}
g = {(5;3), (3;5), (7;2)}
Exigimos más!
FUNCIONES
43LIBRO UNI ÁLGEBRA
fog = {(5;5), (3;2)}
Ejemplo:
f(x) 4x 3 , x 15,22  
g(x) 3x 1, x 7,14  
• (fog)(x) = f(g(x)) = 4(3x – 1) + 3 = 12x – 1
• Dfog x 7,14 3x 1 5,22    
16 23x ,
3 3

23x 7,
3

23fog(x) 12x 1 / x 7,
3
  
Propiedades de la composición de funciones
Dadas las funciones f, g, h, I (identidad)
1. (fog)oh = fo(goh) [asociativa]
2. Si I es la función identidad:  función f:
foI = f  Iof = f
3. (f + g)oh = (foh) + (goh)
4. (fg)oh = (foh) . (goh)
5. fog  goh, en general
6. InoIm = Inm; n,m,  Z+
7. Ino(f + g) = (f + g)n, n Z+
8.
1
nnI oI | I | , para n par  Z+
9.
1 1
n nn nI o I I o I I  , n Z+, impar
X. FUNCIÓN INVERSA
Definiciones previas.
A. Función inyectiva
Llamada también univalente o uno a uno, se dice
inyectiva si a cada elemento del rango le corresponde
un único valor del dominio.
Formalmente: f es inyectiva si para:
 1 2x ; x Df
1 2 1 2x x f(x ) f(x )  
Equivalentemente:
1 2 1 2f(x ) f(x ) x x  
Ejemplo:
Ver x 1f(x)
x 1


 es inyectiva.
Resolución:
Sean  1 2x ; x Df
Si: f(x1) = f(x2)
1 2
1 2
1 2
x 1 x 1
 x x
x 1 x 1
 
  
 
f es inyectiva.
Teorema
f es inyectiva si todo vector horizontal corta su
gráfica a lo más en 1 punto.
Ejemplo:
FUNCIONES
Exigimos más!
44LIBRO UNI ÁLGEBRA
B. Función suryectiva (epiyectiva)
Sobreyectiva o sobre. Se dice suryectiva si el conjun-
to de llegada queda cubierto por el rango de ese
modo coincidiendo el rango y el conjunto de llegada.
C. Función biyectiva
Una función se dice que es biyectiva si es inyectiva
y suryectiva a la vez.
XI. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INVERSA
Dada una función     f x, y / y f x  inyectiva se
define la función inversa denotado por f* como lo que:
  f* y; x / y f(x) x Df   
De donde:
Df* = Rf, Rf* = Df
Ejemplo:
Halle la inversa de x 1f(x)
x 1


 si existe.
Resolución:
Se ha visto que es inyectiva, es a su vez suryectiva.
 su inversa
Para hallar la inversa se despeja "x".
 
   
f x 1
x f x x
f x 1

 
 
  x 1f x
x 1


Df* = R – {1} ; Rf* = R – {1}
XII. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA
Conociendo la gráfica de la función f(x) la gráfica de
f*(x) se obtiene reflejando en el eje de la función
identidad, así:
Propiedades:
      f x, y / y f x , x Df y f x    
      f* y, x / y f x , x Df x f * y    
   y f x f * y x x DF  
I.   f * f x x; x Df 
II.   f f * y y; x Df* Rf  
III. (fog)* = g* o f*
IV. (f*)* = f
Exigimos más!
FUNCIONES
45LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 1
Sean A y B conjuntos no vacíos, señale
la alternativa que presenta la secuencia
correcta, después de determinar si la
proposición es verdadera (V) o falsa (F):
I. Si:
(x,y);(x,z) f {(x,y) /x A,y B} AxB    
implica que y = z, entonces po-
demos decir que f es una función
de A en B.
II. Toda función sobreyectiva f:A B
es inyectiva.
III. Toda función inyectiva f:A B es
sobreyectiva.
A) VVV
B) VFV
C) VFF
D) FFV
E) FFF
UNI 2010-I
Nivel fácil
Resolución:
I. Verdadero
De acuerdo a la condición de unici-
dad esta proposición es perfecta-
mente válida.
II. Falso
No necesariamente, por ejemplo:
F : 1;2 0;4  2y F(x) x 
Es una función sobreyectiva, pero
no es inyectiva.
III. Falso
No necesariamente, por ejemplo:
F : 1;3 2;4 y F(x) 2x 1  
Es una función inyectiva, pero no
es sobreyectiva.
Respuesta: C) VFF
Problema 2
Dadas las funciones:
f = {(3, 1); (2, –3); (5, 0); (4, –4);
 (1, 1)}
g = {(–4, 3); (–2, 7); (0, 0); (1, 5);
 (2, 1)}
h = {(1, –4); (3, –2); (5, 0); (7, 2)}
Determine la función compuesta f o g
o h.
UNI 2010-I
Nivel intermedio
A) {(1, 0); (5, 1)}
B) {(3, –3); (5, –4)}
C) {(1, 1); (7, 1)}
D) {(1, 1); (2, –3)}
E) {(3, –1); (7, 1)}
Resolución:
f={(3;1), (2;–3), (5;0), (4;–4), (1;1)}
g={(–4;3), (–2;7), (0;0), (1;5), (2;1)}
h={(1;–4), (3;–2), (5;0), (7;2)}
Calculando goh:
goh = {(1;3), (3;7), (5;0), (7;1)}
f = {(3;1), (2;–3), (5;0), (4;–4), (1;1)}
fo(goh) = {(1;1), (7;1)}
Respuesta: C) {(1;1), (7;1)}
Problema 3
Dada la función:
1f(x) K ; x K
x K
   

Halle todos los valores que puede
tomar K para que la gráfica de la fun-
ción f y de su inversa sea la misma.
UNI 2010-I
Nivel difícil
A) 1;2
B) 0;1  
C) 1;1  
D) 0 ;  
E) ;  
Resolución:
1y K ; x K
x K
   

1 1x K x K ; y K
y K y K
      
 
1f * (x) K ; x K
x K
   

f(x) f * (x) 
Lo cual se cumple para cualquier valor
real de K, es decir: K ;   .
Respuesta: E) ;  
Problema 4
El rango de la función  f : 0  
definida por: 1f(x) x
x
  es:
UNI 2007 - II
A)  2, 2
B) 2, 2   
C) 1, 1 
D) 1, 1   
E)  0
Resolución:
Sabemos:
1x 2 ; x 0
x
  
1x 2 ; x 0
x
   
f(x) 2 f(x) 2    
problemas resueltos
FUNCIONES
Exigimos más!
46LIBRO UNI ÁLGEBRA
Ranf = ; 2 2; 2;2        
Respuesta: A) 2, 2 
Problema 5
Dada la función:
25x 7x 8f(x)
x 3 / 5
 

definida sobre 3 3,
5 5
 
.
Halle el rango de f .
UNI 2008 - I
A) 13 7;
5 5
  
B) 13 7;
5 5
 
C) 7 13;
5 5


D) [7;13
E) 7;13]
Resolución:
Piden: Rango de f .
Siendo:
25x 7x 6f(x)
3x
5
 

Tenemos:
 5(5x 3)(x 2)f(x)
5x 3
 

Reduciendo:
f(x) 5(x 2) 
Si: 3 3x ;
5 5
  , entonces:
3 3x
5 5
  
Restando 2:
3 32 x 2 2
5 5
     
Por 5:
13 7x 2
5 5
   
 
f(x)
13 5 x 2 7    
Luego:
7 f(x) 13 
Rg f 7;13 
Respuesta: D) 7;13
Problema 6
En la figura adjunta se muestra las grá-
ficas de las funciones f y g definidas
por:
f(x) = ax2 + bx + c
g(x) = mx2 + nx + p
De las siguientes relaciones:
I. 2n 4mp
II.
a b
m n

III. abc mnp
¿Cuáles son verdaderas?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y II
E) II y III
Resolución:
Del gráfico: f y g tienen raíces reales e
iguales.
I. 0  para g  n2 – 4mp = 0
2n 4mp 
II. Como tienen vértices iguales en-
tonces:
b n a b– –
2a 2m m n
  
III. a > m, ya quef es más cerrada
que g. Siendo:
2 3xbb 4ac b 4abc  
2 3xnn 4mp n 4mnp  
De la segunda proposición se de-
duce:
a m b n  
3 3b n es decir abc mnp
 Solo I y II son verdaderas.
Respuesta: D) I y II
Problema 7
Sea P(x) = x3 – 3ax2 – a2x + 3a3, donde
a > 0 y Q(x) = –P(x – a). Diga cuál de
las siguientes afirmaciones es correcta:
UNI 2009 - II
Nivel fácil
A) Q(x) P(x); x 0  
B) Q(x) P(x); x 0;a  
C) P(x) Q(x); x a;2a  
D) Q(x) P(x); x 2a;3a  
E) P(x) Q(x); x 3a  
Resolución:
Graficando la función P(x):
2 2P(x) (x a )(x 3a)  
P(x) (x a)(x a)(x 3a)   
 
Graficando la función: Q(x) = –P(x – a)
Exigimos más!
FUNCIONES
47LIBRO UNI ÁLGEBRA
Esbozando ambas gráficas:
Para x 2a;3a la gráfica de la función
Q(x) está en la parte superior del P(x).
Q(x) P(x); x 2a;3a   
Respuesta:
D) Q(x) P(x); x 2a;3a  
Problema 8
Sea f una función tal que:
   f x 2 x 2 x 4 x ; x 4   
entonces Dom(f) Ran(F) es igual a:
Nivel 2009 - II
Nivel intermedio
A) [0;
B) [1;
C) 0;
D) [4;
E) 1;
Resolución:
Esbozando la gráfica de: x 2 x
(por álgebra de funciones)
La expresión:
 x 2 x es inyectiva.
 Dom(f) = 0; 
Analógicamente la expresión:
 2 x 4 x
es inyectiva:
 2 x 4 x 4;   
 Ran(f) = 4; 
Dom(f)nRan(f) = 0; 
Respuesta: A) 0; 
Problema 3
Indique la gráfica que mejor representa a:
2g(x) x 4 3 , x   
UNI 2008 - II
Nivel difícil
A)
B)
C)
D)
E)
Resolución:
Tenemos:
 
De donde:
 
Luego:
Respuesta: D) 
Problema 10
Indique la secuencia correcta después
de determinar si la proposición es ver-
dadera (V) o falsa (F):
I. La composición de una función par
con una función impar es una fun-
ción par.
II. El producto de dos funciones im-
pares es una función impar.
III. La suma de dos funciones pares
es una función par.
UNI 2011 - I
A) VFV
B) VVV
C) FVV
D) FFV
E) VFF
Resolución:
Ubicación de incógnita
Valor de verdad
Operación del problema
I. F par :F( x) F(x) 
G impar : G( x) – G (x) 
(FoG)(x) F(G(x))
Ahora:
(FoG)( x) F(G( x))  
(FoG)( x) F( G(x))  
(FoG)( x) (FoG)(x) 
F o G es par _ _ _ _ _ _ _ _ _ (V)
II. F impar: F(–x) = –F(x)
G impar: G(–x) = –G(x)
FUNCIONES
Exigimos más!
48LIBRO UNI ÁLGEBRA
(F.G)(x) F(x) G(x) 
(F.G)( x) F( x) G( x)   
(F.G)( x) – F(x) – G(x)  
(F.G)( x) F(x) G(x)  
(F.G)( x) (F.G)(x) 
 F .G es par _ _ _ _ _ _ _ _ _ (F)
III. F par: F(–x) = F(x)
G par: G(–x) = –G(x)
(F G)(x) F(x) G(x)  
(F G)( x) F( x) G( x)     
(F G)( x) F(x) G(x)   
(F G)( x) (F G)(x)   
 F G es par _ _ _ _ _ _ _ (V)
Respuesta: A) VFV
Problema 11
Dadas las funciones f, g:  , de-
finidas por:
   f(x) x 2 2 y g(x) = –(x2 + 2)
Determine f + g.
UNI 2010 - II
A)
       
  

        
2
2
1 7x , x 2
2 4
1 9x , x 2
2 4
B)
       
  

        
2
2
1 1x , x 2
2 4
1 5x , x 2
2 4
C)
    
 

     
2
2
1 9x , x 2
2 4
1 7x , x 2
2 4
D)
 
 
   

   

2
2
7x 1 , x 2
4
1x 1 , x 2
4
E)
       
  

        
2
2
1 1x , x 2
2 4
1 7x , x 2
2 4
Resolución:
Ubicación de incógnita
Determinar f + g
Análisis de los datos o gráficos

    
    
 f : y f(x) x 2 2
x ; x 2y f(x) x 4 ; x 2
       2g y g(x) x 2
Operación del problema
     
   



2x x 2 ; x 2y f(x) g(x) 2x x 2 : x 2
   
  
 
   
  
   





21 7x ; x 2
2 4
y f(x) g(x) 21 9x ; x 2
2 4
Respuesta: A) 
 
 

   



   
2
2
1 7x ; x 2
2 4
1 9x ; x 2
2 4
Problema 12
Sea f una función tal que:
   f(x 2 x) 2(x 4 x), x 4
entonces Dom(f) Ran(f) es igual a:
UNI 2009 - II
A)  0;
B)  1;
C) 0;
D)  4;
E) 1;
Resolución:
Ubicación de incógnita
Dom(f); Ran(f)
Análisis de los datos o gráficos
      
 

RangoDo min io
f x 2 x 2 x 4 ; x 4
Operación del problema
Esbozando la gráfica de: x 2 x
(por álgebra de funciones)
La expresión:
 x 2 x
es inyectiva.
 Dom(f) =  0;
Analógicamente la expresión:
 2 x 4 x ,
es inyectiva:
     2 x 4 x 4;
 Ran(f) =   4;
Dom(f)nRan(f) =  0;
Respuesta: A)  0;
49LIBRO UNI ÁLGEBRA
LOGARITMOS EN 
ÁLGEBRA
I. TEOREMA DE EXISTENCIA DEL LOGA-
RITMO
Para todo par de números reales "a" y "b" tales que
a 0; a 1 y b 0   , existe un único número real x, que
cumple ax = b.
II. DEFINICIÓN DE LOGARITMO
Sean los números reales "a" y "b", si a 0,a 1 y b 0   ,
el número real x se denomina logaritmo del número b
en base a y se denota por Logab si y solo si 
xa b .
De la definición se tiene:
x
ax Log b a b  
Donde:
a: base del logaritmo
b: número del logaritmo
c: logaritmo de b en la base a
Ejemplos:
1. x 6 x2Log 64 x 64 2 2 2 x 6      
Luego: 2Log 64 6
2.
x
6 x
1
3
1Log 729 x 729 3 3 x 6
3
          
Luego: 1
3
Log 729 6 
3. Calcular el valor de "x" si cumple la igualdad:
1/2Log 1024 3 x 
  3 x 10 x 311024 2 2 10 x 32

      
x 13 
III. IDENTIDAD FUNDAMENTAL DEL LO-
GARITMO
Si a 0;a 1 b 0    se cumple: aLog ba b
Ejemplos:
• 2LOg 32 3
• m 4Log 10(m 4) 10, m 4 m 5     
•  
Log 2
3 2 13 2
2
  
  
IV. TEOREMAS SOBRE LOGARITMOS
Sea la base real a, tal que a 0 a 1  
1. Sea A y B reales, tal que: AB > 0:
a a bLog AB Log A Log B 
2. Sea A y B reales, tal que: A 0
B

 a a bALog Log A Log BB  
3. Sea A real, tal que nn N A 0   .
n
a aLog A nLog A
4. Sea A real, tal que n N,n 2.Si A 0  
n
a a
1Log A Log A
n

5. Sea A real, tal que: A 0,m n    
n
m
aa
mLog A Log A ; n 0
n
 
Colorario
Si se eleva a un exponente "m" y se extrae raíz
n-ésima a la base y número del logaritmo el valor
de logaritmo no se altera.
n n
nn
a a a
Log A Log A Log A ; A 0  
6. Si: A 0 B 0  
a aLog A Log B A B  
7. Cambio de base:
Sea la base "c" donde c 0 c 1   .
c
a
c
Log b
Log b
Log a

DESARROLLO DEL TEMA
LOGARITMOS EN 
Exigimos más!
50LIBRO UNI ÁLGEBRA
Demostración:
Por identidad: clog bc b (1) 
Por identidad: alog ba b (2) 
Además: clog ac a (3) 
Reemplazando (3) en (2) se obtiene:
  ac clog blog a log b c a cc c log a log b log b  
c
a
c
log b
log b
log a
 ; b aLog a Log b 1
A. Propiedad
1
b b
a
1Log a (Log a)
log b
 
B. Regla de la cadena
Si: a 0; a 1; b 0; b 1; c 0; c 1 d 0        se
cumple:
a b c alog b log c log d log d 
C. Sistemas de logaritmos
Cada base de logaritmos determina un sistema de
logaritmos, en consecuencia existen infinitos sis-
temas de logaritmos para una base positiva y dife-
rentes de 1; los sistemas más importantes son:
1. Sistema decimal o de Briggs
Es aquel sistema de logaritmos en la cual la base
es 10.
Notación: 10Log N LogN
Se lee: Logaritmo de "N". En general:
Parte Parte
LogN ;
entera decimal
(característica) (mantisa)

 
Teorema
Sea todo N > 1 el número de cifras es igual a la
característica más uno. Es decir:
#de
cifras N característica 1 
2. Sistema hiperbólico o Neperiano
Es aquel sistema cuya base es el número tras-
cendental:
1 1 1 1e ...
0! 1! 2! 3!
e 2, 7182....
    

Notación: eLog N LnN
Problema 1
Calcular el logaritmo de 8 en base 4.
A) 1/2 B) 2
C) 3/4 D) 3/2
E) 5/2
Resolución:
Sea "" el logaritmo pedido, luego:
Log4 8 = 
Según la definición:
4 8 
2 32 2 
2 3 
3
2
 
Respuesta: D) 3/2
Problema 2
Resolver:
xLog (x 1)x 1 x  
A) {1} B)  C)  12
D)  34 E)  25
Resolución:
Según teorema tenemos:
x 1 1 x
2x 2
x 1
  


Pero según definición de base x > 0;
x 1 .
CS  
Respuesta: C) 
Problema 3
Determine el mayor valor de x en:
LogxLog(x) = Log(x) + 2
UNI 2007 - I
Nivel difícil
A) 10 B) 10
C) 100 D) 1000
E) 10 2
Resolución:
Según propiedad tenemos:
Log(x)Logx Log(x) 2 
2
[Log(x)] Log(x) 2 0  
Con el auxiliodel aspa simple conse-
guimos:
[Log(x) – 2] [Log(x) + 1] = 0
Log(x) = 2  log(x) = –1
x = 102  x = 10–1
x = 100  x = 
1
10
Mayor valor de x = 100
Respuesta: C) 100
problemas resueltos
51LIBRO UNI ÁLGEBRA
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y
LOGARITMOS
ÁLGEBRA
I. FUNCIÓN LOGARÍTMICA
A. Definición
Dado un número real b (b 0;b 1)  llamamos
función logarítmica de base b a la función de f de
R+ en R que asocia a cada x el número de Logbx.
En símbolos:
bF : | y f(x) log (x)
    
Ejemplos:
A) f(x) = Log2x B)  1
2
g(x) Log x
C) h(x) = Logx D) p(x) = Ln x
Observaciones
a) yby Log x x b  
De donde concluimos que las funciones expo-
nenciales y logarítmicas son inversas una de
la otra.
b) Para la función   by f x Log x 
Dominio Df 0, x 0    
Rango bRf R y Log x R    
B. Gráfico de la función logaritmo
1. Caso I
Si b > 1.
Ejemplos:
A) f(x) = Log2x
B) g(x) = Logx
C) h(x) = Log4x
D) 
2
p(x) Log x
Graficaremos:
  2y f x Log x 
 
x
+1/4
1/2
1
2
4
8
0
+1
-2
y=Log x2
1
2
3
 
1
3
2
4
-4
-2
-3
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(5,Log 5)
2
Log 5
2
Log 8
2
(8,Log 8)
2
y
x
Nótese que: 5 < 8 y Log25 < Log28
En general si b > 1 la gráfica tiene la forma
siguiente:
Log m
Log r
b
m
r
b
b
Log s
es una 
función
creciente
y=Log x
b
s1
Propiedades
1. f(1) = Logb1 = 0, es decir el par ordenado
(1,0) pertenece a la función.
2. Si: r < s entonces Logbr < Logbs.
3. Si: r > 1 entonces Logbr > 0.
4. Si: 0 < m < 1 entonces Logbm < 0.
2. Caso II
Si 0 < b < 1.
Ejemplos:
A) 1
2
f(x) Log x B) 1
3
g(x) Log x
C) 3
4
h(x) Log x D) 1
5
p(x) Log (2x)
DESARROLLO DEL TEMA
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Exigimos más!
52LIBRO UNI ÁLGEBRA
Graficaremos:
  1
2
y f x Log x 
 
x
8
4
2
1
1/2
1/4
-1
-2
-3
y=Log x2
0
1
2
 
En general: si 0 < b < 1, la gráfica tiene la forma
siguiente:
 m
y
x
Log m
b
es una función
decreciente
1
r
Log r Log s
b b
s
Log x
b
y=
Propiedades
1. f(1) = Logb1 = 0, es decir el par ordenado
(1,0) pertenece a la función.
2. Si: r < s entonces Logbr > Logbs.
3. Si: r > 1 entonces Logbr < 0.
4. Si: 0 < m < 1 entonces Logbm < 0.
II. FUNCIÓN EXPONENCIAL
A. Definición
Dado un número real a, tal que 0 a 1  ; se llama
función exponencial de base a la función que asocia
a cada x real el número ax . y = f(x) = ax.
Ejemplos:
A) xf(x) 2 B) 
x1g(x)
2
   
 
C) xh(x) 3 D) xp(x) 10
E) xq(x) ( 2) F) 
x
1r(x)
3
 
   
 
• El dominio de esta función es todos los reales,
es decir: Df , R    .
• Por propiedad: si x R y a 0 .
entonces: ax > 0, por tanto el rango es:
Rf 0, 
B. Gráfico de la función exponencial
1. Caso I
Si a > 1.
Ejemplos:
A) xf(x) 2 B) xg(x) 3
C) xh(x) ( 3) D) xp(x) 10
E) 
x3q(x)
2
   
 
F) 
x5r(x)
4
   
 
Graficaremos: y = f (x) = 2x
x y = 2x
-3
-2
-1
0
1
2
3
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
 
01 2 3 4-4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
x
y=2x
En general
Si a > 1 la gráfica tiene la forma siguiente:
0 r sm
1
y
x
y=a (a 1)
ar
as
x
Es una función
creciente
am
Propiedades
1. f(0) = a° = 1, es decir el par ordenado (0,
1) pertenece a la función.
2. Si r < s entonces ar < as, ó si s > r entonces
as > ar.
3. Si r < 0 entonces ar < 1.
4. Si m < 0 entonces am < 1.
2. Caso II
Si 0 < a < 1.
Exigimos más!
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
53LIBRO UNI ÁLGEBRA
Ejemplos:
A) 
x1f(x)
2
   
 
B) 
x1g(x)
10
   
 
C) 
x
1h(x)
3
 
   
 
D) xp(x) (0, 8)
Graficaremos: 
x
x1y f(x) 2
2
    
 
 
x
-3
-2
-1
0
1
2
3 1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
x1
y
2
   
 
 
01 2 3 4-4 -3 -2 -1
1
4
8
y
x
y=2x
x1
y
2
   
 
En general
Si 0 < a < 1 la gráfica tiene la forma siguiente:
mr s
1
y
x
as
ar
0
y=ar ; 0 a 1 
Es una función
creciente
Propiedades
1. f(0) = a0 = 1, es decir el par ordenado (0, 1)
pertenece a la función.
2. Si r < s entonces ar > as, ó si s > r entonces
as < ar.
3. Si r < s entonces ar > 1.
4. Si m > s entonces am < 1.
C. La función exponenciaL de Base "e"
• La función y = ex donde "e" es número irracional
trascendente juega un rol muy importante en
las matemáticas.
• Las aproximaciones del número "e" se pueden de-
terminar con la expresión:
1 1 1 1 1e 1
1! 2! 3! 4! n!
        
• El valor de "e" con siete decimales de aproxi-
mación es: e = 2,7182818...
La gráfica de y = ex es:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3 20,09
7,39
2,72
1
0,37
0,14
0,05
y=ex
 
0 1 2 3-3 -2 -1
4
8
y
x
y=ex
Problema 1
Sea S el conjunto solución de la ecua-
ción, en R:
3 2
x
1x 7x 15x 9
3log
5
   
  
 
Halle la cantidad de elementos de S.
UNI 2010 - I
Nivel fácil
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Resolución:
Analizando:
3 2
x
1x 7x 15x 9 ; x 0 x 1
3log
5
      
  
 
Operando:
3 2
3
f(x) 5
g(x)
x 7x 15x 9 Log x  
 
   

Tenemos: f(x) = x3 – 7x2 + 15x – 9
Factorizando: f(x) = (x – 1)(x – 3)2
Cuya gráfica:
También: g(x) = 3
5
Log x  
 
Cuya gráfica:
Luego:
problemas resueltos
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Exigimos más!
54LIBRO UNI ÁLGEBRA
 Número de soluciones de la ecua-
ción se encuentra a partir del número
de intersecciones de las gráficas de f(x)
y g(x) no encontrándose intersecciones
entre estas dos gráficas.
Respuesta: A) 0
Problema 2
Determine el conjunto solución de la
inecuación: 4x – 4–x < 1.
UNI 2008 - II
Nivel intermedio
A) 4
1 50;Log
2
  
 
B) ;0
C) 4
1 5;Log
2
   
 
D) 1 5;
2

E) 4
5 1;Log
2
   
 
Resolución:
Piden: 4x = m; m > 0
Tenemos:
x x4 4 1 
x
x
14 1
4
 
Reemplazando el cambio de variable:
1m 1
m
 
Efectuando:
2m m 1 0; m 0
m
   
Reduciendo:
2m m 1 0  
1 5 1 5V.C. ;
2 2
   
 
  
Entonces:
1 5 1 5m ; m 0
2 2
   
1 50 m
2
 
Luego:
4
1 5log
2x4 4
   
 
4
1 5x log
2
     
 
Respuesta: C) 4
1 5- ; log
2
    
 
Problema 3
Si {x1; x2} es el conjunto solución de:
x 1 x x3 3 1 3 2    
entonces la suma de x1 y x2 es:
UNI 2008 - I
Nivel difícil
A) –4 B) –2 C) 0
D) 2 E) 4
Resolución:
x 1 x x3 – 1– 3 23
  
Si: x 0
Eliminando los valores absolutos:
3x+1 – (3x – 1)= 3x + 2
Reduciendo: x x3 3 2 3 1 0    
Tenemos: 3x = 1 x 0 
Si: –1 x 0 
Eliminando los valores absolutos:
3x+1 + 3x – 1 = 3x + 2
Reduciendo: 3x+1=3
Tenemos: x + 1 = 1 de donde: x = 0
0 1 x 0   
Si: x < –1
Eliminando los valores absolutos:
–x–13 3 x –1 3
x
2
Reduciendo: 3–x–1 = 3
Tenemos: –x – 1 = 1
De donde: x –2 \ C.S. {–2;0}
Piden: –2 + 0 = –2
Respuesta: B) –2
55LIBRO UNI ÁLGEBRA
CÁLCULO DE LÍMITES
ÁLGEBRA
I. NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITES
Consideremos una función real de variable real:
3x xf(x) ; x 0
x
 
Se observa que el equivalente será:
2f(x) x 1; x 0  
¿Qué sucede si x asume valores muy cercanos a cero?
f(x) asumirá valores muy cercanos a 1, dándole un
enfoque geométrico:
Y
1
f(x)
0 x
f
X
(valores por
la izquierda)
(valores por
la derecha)
Se observa que, a medida que x se acerca a 0, ya sea
por la derecha o por la izquierda, entonces f(x) se
acerca a 1. Es decir: Si x tiende a 0, entonces f(x)
tiende a 1. Simbolizando:
x 0
lim f(x) 1


o en forma equivalente:
2
x 0
lim (x 1) 1

 
Para obtener el valor de 1 se ha reemplazado en
f(x) = x2 + 1 el valor x = 0, así:
2
x 0
lim f(x) f(0) 0 1 1

   
II. DEFINICIÓN
El número L se llama límite de la función real de una
variable real f en el punto x0 (x0 no pertenece
necesariamente al Dom(f); si para cada 0 , es posible
hallar un  que depende de  , tal que:
 00 ; 0 / x Domf 0 x x f(x) L            
Se dice que L es el límite de f(x), cuando x tiende a x0
y se escribe como:
0x x
lim f(x) L


III. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Y
f
X
L 
f(x)
L
L
X0 X X0 X0 
IV. TEOREMA DE UNICIDAD DEL LÍMITE
Sea A una función real de una variable real y x0 no
pertenece necesariamente al Dom A.
0 0
1 2 1 2x x x x
lim A(x) L lim A(x)L L L 
   
A. Teoremas
Sean: f g dos funciones reales de variable real y
además "a" un punto que no pertenece
necesariamente a: Domf  Domg = 
DESARROLLO DEL TEMA
CALCULO DE LÍMITES
Exigimos más!
56LIBRO UNI ÁLGEBRA
Si: 
x a
lim f(x) A

  
x a
lim g(x) K


Entonces:
1.
x a
 lim(f g)(x) A + K 

 
2.
x a
 lim(f g)(x) A K 

  
3.
x a
 lim(f g)(x) A K 

 
4.
x a
 Si c R
 lim cf (x) c A

 

5.
x a
 Si K 0:
f A lim (x) 
g K
   
 

V. LÍMITES LATERALES
A. Definición 1
Se dice que L es el límite lateral de f(x) cuando x
tiende hacia "a" por la derecha y se denota por:
+x a
 lim f (x) L 


Geométricamente:
B. Definición 2
Se dice que "m" es el límite lateral de f(x) cuando
x tiende hacia "x" por la izquierda y se denota por
 lim f(x) M 
x a

 
Geométricamente:
Teorema:
+
lim f(x) L lim f(x) Mlim f(x)
x a x ax a
  
 
Es decir existe el límite de una función, sí y solo si
existen los límites laterales y son iguales.
VI. TEOREMA SOBRE LÍMITES INFINITOS
1. x 0
1lim
x
 
2. x 0
1lim
x
 
3. Si "n" es un entero positivo, entonces:
nx 0
nx 0
1a) lim
x
; sin es impar1b) lim
 ; si n es parx


 

 

4. Sean f y g dos funciones tales que:
 
    
x x
 
lim f (x) limg(x)
 

entonces:
 
x 
lim f(x) g(x)
 
  
 ;
 
x
A lim f(x) g(x)
 
 
Generalmente, al calcular el 
x a
Lim f(x)

 es necesario
calcular los límites laterales de f(x) cuando la función
tiene diferentes reglas de correspondencia para x
< a y x > a.
Es decir, usando los siguientes símbolos, podríamos
resumir así:
I. ( ) ( )    
II. ( ) ( )    
III. ( ) ( )   
Nota:
Cuando se tienen funciones racionales, el análisis
del comportamiento en . Se realiza dividiendo el
numerador y el denominador por la mayor potencia
de la función racional.
IV. ( ) ( )   
V. ( ) ( )   
VI. n ; n 0 (par)( )
 ; n 0 (impar)
 
  
 
Exigimos más!
CALCULO DE LÍMITES
57LIBRO UNI ÁLGEBRA
VII.
 ; K 0
K( )
 ; K 0
 
  
 
VIII.
 ; K 0
K( )
 ; K 0
 
  
 
VII.CÁLCULOS DE LOS LÍMITES
A. Forma indeterminada 0
0
Si se reeemplaza x por el va lor del x0
correspondiente se obtiene la expresión 0/0,
efectuaremos ciertas operaciones algebraicas para
levantar la indeterminación.
B. Forma indeterminada 

Sea:
n n 1 n 2
0 1 2 n
m m 1 m 2
0 1 2 m
a x a x a x ... a
L lim
b x b x b x ... b
 
 
   

   
Entonces de acuerdo al valor de los grados n y m
de los polinomios se tiene:
0
0
 ; si n m
a
L ; si n m
b
0 ; si a n m
 

 

 
VIII.TEOREMA SOBRE LÍMITES AL INFINITO
Si n es un entero positivo cualquiera, entonces:
1 1 0 lim 0 lim n nx xx x
 
   
 x
x
1Sea : f : R R definida por f(x) = 1+
x
1entonces : lim 1+ e 2, 71828... 
x
   
 
    
 
Para las formas indeterminadas ; 0  se trata de
transformarlas a una de las dos formas:
0
0
 ó 

.
Problema 1
Calcular:
x 0
3 x 3Lim
x
   
 
UNI
Nivel fácil
A)
1
2 3 B)
1
3
C)
1
3 D)
2
3
E)
2
2 3
Resolución:
Tenemos:
x 0
3 x 3Lim
x
   
 
Evaluamos:
3 x 3 0
0 0
  
Luego:
x 0
( 3 x 3) ( 3 x 3)Lim .
x ( 3 x 3)
   
 
Efectuando:
x 0
xLim
x( 3 x 3)  
x 0
1 1 1Lim
3 x 3 3 3 2 3
 
  
Respuesta: A) 
1
2 3
Problema 2
Calcular:
3x 1
6 2Lim
x 1x 1
   
UNI
Nivel intermedio
A) -2 B) –1
C) 2 D) 1
E) x
Resolución:
Tenemos:
3x 1
6 2Lim
x 1x 1
   
Evaluamos:
6 2
0 1 1
    

Luego:
2
3 2x 1
2(x x 1)6Lim
x 1 (x 1)(x x 1)
   
     
Efectuando:
2x 1
2(x 2)(x 1)Lim
(x 1)(x x 1)
   
    
Simplificando:
2 2x 1
2(x 2) 2(1 2)Lim 2
x x 1 1 1 1
            
Respuesta: A) -2
Problema 3
Evaluar:
   
x
Lim x 2 x 5 x

    
UNI
Nivel intermedio
problemas resueltos
CALCULO DE LÍMITES
Exigimos más!
58LIBRO UNI ÁLGEBRA
A)
7
2 B)
2
4
C)
5
2 D)
3
2
E) 27
Resolución:
Tenemos:
   
x
Lim x 2 x 5 x

    
Evaluamos:
   2 5         
Racionalizando:
 
       
   x
x 2 x 5 x x 2 x 5 x
Lím
x 2 x 5 x
          
    
Efectuando:
2
x
(x 2)(x 5) xLim
(x 2)(x 5) x
  
  
Reduciendo:
x 2
2
10x(7 )7x 10 xLim
7 10x 7x 10 x x 1 x
x x

 
     
Simplificando:
x
2
10(7 ) 7xLim
27 101 1
x x



  
Respuesta: A) 7/2
59LIBRO UNI ÁLGEBRA
DERIVADAS
ÁLGEBRA
Dada la ecuación y = f(x), generalmente, si cambiamos el
valor de x es lógico pensar que cambie el valor de y.
Trataremos de hallar una relación que nos permita, de alguna
manera, medir estos cambios.
Esta idea será sumamente fructífera ya que muchos
problemas reales (físico y/o geométricos) requieren analizar
la relación entre las variaciones de dos magnitudes.
Veamos algunas consideraciones elementales que nos van
a permitir tener una visión más clara de esta idea.
Consideremos una función "f" real de variable real continua
en el intervalo a;b tal que y = f(x). Sea 0x a;b , es
decir a < x0 < b. Si al punto x0 le sumamos una cantidad
pequeña x llamada incremento, encontramos el punto
0x x x   , supondremos que el punto x a;b .
El incremento que experimenta la función al pasar del punto
x0 a 0x x x   , lo representaremos por y , siendo por tanto
0y f(x) f(x )   , tal como se observa en la figura adjunta:
Luego el cociente de los dos incrementos se llama "cociente
incremental", entonces:
0
0
f(x) f(x )y 
x x x
 
 
Si trazamos una recta que pase por los puntos (x0, f(x0))
y (x, f(x)) cuya ecuación es: y = mx + b, se tiene:
De donde:
0
0
f(x) f(x )yTan( )
x x x
  
 
y f(x) mx b  
0 0 0y f(x ) mx b  
Entonces:
0
0
(mx b) (mx b)
Tan( ) m
x x
  
  

Luego:
tg m 
m Tan( )  se le llama "pendiente" de la recta .
Se observa además que la pendiente de la recta :
y = mx + b
es el coeficiente principal.
I. DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN
Se denomina derivada de la función f a la función
denotada por f' cuya regla de correspondencia es:
h 0
f(x h) f(x) f '(x) Lim 
h
     
DESARROLLO DEL TEMA
DERIVADAS
Exigimos más!
60LIBRO UNI ÁLGEBRA
Donde su dominio está formado por los valores de x
del dominio de f, para los cuales el límite dado existe.
En este caso decimos que f es derivable o diferenciable.
Otras notaciones
Además de la notación f(x) para la derivada de y = f(x)
se utilizan:
dy df(x)y ' ; ; ; D , y
dx dx
Se lee: “Derivada de f con respecto a x”.
II. REGLA GENERAL PARA HALLAR LA DE-
RIVADA DE UNA FUNCIÓN
h 0 x 0
f(x h) f(x) f(x x) f(x)f(x) Lim Lim
h x  
              
• Se suma a la variable x un incremento x 0  y se
calcula f(x x)  .
• Se forma el incremento y de la función
correspondiente al incremento x de la variable x,
es decir, se calcula     y f(x x) f(x).
• Se divide ambos miembros por el incremento x
es decir:
y f(x x) f(x)
x x
   
 
• Se calcula 
x 0
yf(x) lim
x 


III. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE
LA DERIVADA
Consideremos al gráfico de la función f, representada
por la curva y = f(x), tomemos los puntos A y B, el
punto B muy próximo al punto A cuyas coordenadas
son (x, f(x)) como se muestran en la figura:
• En este caso hemos supuesto un h > 0.
Observamos que B es un punto de la gráfica de F
que se desliza a través de ella a medida que variamos
h. Si hacemos que h se aproxime a cero, la recta
AB ini-cialmente secante se convierte en tangente.
• Observamos que antes de hacer esta aproximación
de h a cero, la pendiente de la recta AB era:
s
f(x h) f(h)m
h
 
Y ahora haciendo que h 0 , la pendiente de la
recta (que ahora es tangente) es:
s h 0
f(x h) f(x)m Lim
h
     
Y es lo que hemos definido como la derivada de f.
En conclusión:
f'(x) representa geométricamente(en caso de
existir) a la pendiente de la recta tangente (de la
gráfica de f) en el punto (x, f(x)), con x Domf y
donde Domf ' Domf .
IV. DERIVADAS LATERALES
Dada la función f real de variable real definidos y
denotamos:
A. Derivada por la derecha de f en el punto x0
0 0
0 h 0
f(x h) f(x )
f (x ) Lim
h
 
'
Si tal límite existe.
B. Derivada por la izquierda de f en el punto x0
' 0 0
0
h 0
f(x h) f(x )
f (x ) Lim
h
 


Si tal límite existe.
Observación
 
Es consecuencia inmediata de la definición de
límite que f(x) existe sí y solo sí las derivadas
laterales existen y son iguales.

' '
0 + 0 0
 f '(x )=f (x ) f (x )
Por lo tanto f es diferenciable en x0.
Teorema
Si la función f es diferenciable en x0 entonces f es
continua en x0.
Observaciones
• Si la función no es continua en x0, entonces
f no es diferenciable en x0.
• Si f es continua en x0, no se puede afirmar
que f sea diferenciable en x0.
Exigimos más!
DERIVADAS
61LIBRO UNI ÁLGEBRA
Corolario
Si la función f es diferenciable sobre el intervalo I,
entonces f es continua sobre I.
Observación
 
Sea f una función definida en [a; b]; a < b diremos
que f es diferenciable en todo el intervalo [a; b]
si lo es en a;b y además existen 'f (a) y 
'f (b) .
V. DERIVADA DE ALGUNAS FUNCIONES
ELEMENTALES
A. Teoremas
1. Sea "c" una constante. Si f(x) = c, entonces
   f '(x) 0; x .
2. Si f(x) = x, entonces f '(x) 1; x   .
3. Sea "n" . Si f(x) = xn, entonces  n 1f '(x) nx ,
x .
VI. ÁLGEBRA DE LAS DERIVADAS
A. Teorema
Sean f y g diferenciables en un intervalo I y c es
una constante, luego.
1. f g es diferenciable en I y
(f g) '(x) f '(x) g '(x); x I    
2. c f es diferenciable en I y
(cf) '(x) c f '(x); x I  
3. f g es diferenciable en I y
(f g) '(x) f '(x) g(x) f(x) g '(x); x I     
4. f/g es diferenciable en I, si g(x) 0 , x I  y
2
f '(x) g(x) f(x) g '(x)'f (x)
g g(x)
   
    
 
VII.DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRI-
GONOMÉTRICAS
1. Si f(x) = Senx, entonces f'(x) = Cosx; x 
2. Si f(x) = Cosx, entonces f'(x) = –Senx; x 
3. Si f(x) = Tanx, entonces f'(x) = Sec2x:
    x ,k(2k 1)
2
4. Si f(x) = Cotx, entonces f'(x) = Csc2x;   x k , k 
5. Si f(x) = Secx, entonces:
f '(x) Secx Tanx  ;    x (2k 1) ,k2
6. Si f(x) = Cscx, entonces:
f '(x) Cscx Cotx   ;     x k , k
VIII. APLICACIONES DE LA DERIVADA
A. Valores extremos
Se llaman valores extremos de una función a todos
sus máximos y mínimos relativos.
Si f '(x) existe y si f '(x0) es un valor extremo
entonces la recta tangente en este punto debe
ser horizontal, esto equivale a que: f'(x0) = 0.
Teorema
Si una func ión f satisface las s iguientes 3
características:
• f tiene un valor extremo en el punto x = a.
• f esta definida en un entorno N(a) de a.
• Existe f'(a).
B. Teorema de L' Hôspital
Si: 
x a
f(x)Lim L
g(x)

sea de la forma: 
0
0
 ó 


Se puede considerar el l ímite pero con las
correspondientes derivadas:
x 0 x 0 x 0
f(x) f '(x) f ''(x)L Lim Lim Lim ..... L
g(x) g '(x) g ''(x)  
   
C. Criterio de la primera derivada
Si C un punto crítico de f si existe un intervalo [a;
b] donde f es continua y C a;b , entonces:
1.
     
   
f(c) es unmáximof '(x) 0; x a;c
y
relativo de ff '(x) 0; x c;b
2.
     
   
f(c) es unmínimof '(x) 0; x a;c
y
relativo de ff '(x) 0; x c;b
D. Concavidad y puntos de inflexión
Sea f una función continua sobre un intervalo a;b
al cual pertenece x0 tal que f''(x0) = 0.
1.
0
0 0
0
f ''(x) 0; x a; x
(x ; f(x ))
f ''(x) 0; x x ;b
     
   
Es un punto de inflexión
2.  0 0 0
0
f ''(x) 0; x a; x
x ; f(x )
f ''(x) 0; x x ;b
        
Es un punto de inflexión
E. Raíz de multiplicidad
Dado un polinomio P(x) de grado no menor que
dos. Si X0 es una raíz de P(x) cuya multiplicidad es
k, se cumple:
DERIVADAS
Exigimos más!
62LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 1
Calcular:
x
2
tgx 8lim
sec x 10


Resolución:
x
2
tgx 8lim
sec x 10


Da lugar a una indeterminación del tipo


. Llamemos:
f(x) = tgx – 8 y
1g(x) sec x 10 10
cos x
   
Entonces f y g son derivables en su
domino de definición (en particular en
2

 y en un entorno suyo):
2
2
1f '(x) sec x
cos x
  y
2 2
1 senxg '(x) ( senx)
cos x cos x
  
De este modo:
2
x x
2 2 2
2
2
x
2
x
2
1
f '(x) cos xlim lim
g '(x) senx
cos x
cos xlim
cos x senx
4lim 1
senx
  




 

Al ser f y g son derivables en un
entorno de 
2
 podemos aplicar la regla
de L'Hôpital y se tiene que:
x x
2 2
x
2
f(x) f '(x)lim lim
g(x) g '(x)
tgx 8lim 1
sec x 10
  


 

Problema 2
Resolver aplicando el teorema de
L'Hôpital:
x 0
1 1lim
Ln(1 x) x
   
Resolución:
x 0
1 1lim
Ln(1 x) x
       
x 0 x 0
x Ln(1 x)1 1 0lim lim
Ln(1 x) x x Ln(1 x) 0 
                  
x 0
11
1 x(L'Hôpital) lim
1Ln(1 x) x
1 x


 
 


x 0
x 0
x
1 xlim
(1 x)Ln(1 x) x
1 x
xlim
(1 x)Ln(1 x) x
0 (L'Hôpital)
0



  

 
  
   
 
x 0
x 0
1lim
1Ln(1 x) (1 x) 1
1 x
1 1lim
Ln(1 x) 2 2



   


 

Problema 3
Resolver aplicando el teorema de
L'Hôpital:
x 0
x senxlim
1 cos x 

Resolución:
x 0
x senx 0lim (L'Hôpital)=
1 cos x 0
   
  

x 0
senx x cos x 0lim (L'Hôpital)=
senx 0
    
 

x 0
cos x cos x ( senx) x 2lim 2
cos x 1
    
Problema 4
Si deseas cercar un jardín rectangular
y si tienes 200 metros de cerca,
¿cuáles son las dimensiones del jardín
más grande que puedes cercar?
A) 50 B) 60
C) 70 D) 80
E) 200
Resolución:
Tenemos:
Dato:
2x + 2y = 200  x + y= 100
  y = 100 – x
Maximizando el área: f(x) = xy
Entonces:
f(x) = x(100 – x)
f(x) = 100x – x2
f'(x) = 100 – 2x = 0
problemas resueltos
Exigimos más!
DERIVADAS
63LIBRO UNI ÁLGEBRA
Luego:
x = 50; y = 50
Dimensiones:
Largo: 50 m
Ancho: 50 m
Respuesta: A) 50
Problema 5
Hallar los valores extremos de:
f(x) = 3x2 – x3
Resolución:
Tenemos:
f(x) = 3x2 – x3
f'(x) = 6x – 3x2 = 3x(2 – x)
Puntos críticos:
x = 0  x = 2
 f''(x) = 6 – 6x
Luego:
f''(0) = 6 > 0 entonces f(0) = 0
es un mínimo relativo.
f''(2) = –6 < 0 entonces f(2) = 4
es un máximo relativo.
Problema 6
En un cono de altura 16 cm y radio 9 cm
se inscribe un cilindro de radio r.
Determine el radio y la altura del cilindro
de mayor volumen si sabemos que tiene
radio entero.
UNI
Nivel difícil
A) 644 ,
9
B) 805 ,
9
C) 166 ,
3
D) 327 ,
9
E) 168 ,
9
Resolución:
• VO’B  VOA
9 r 16rH 16
16 16 H 9
   

• 2cilindro
16rV r (16 ) Derivando
9
   
248 r32 r 0 r 6
9
    
16H
3

Respuesta: C) 166 ,
3
64LIBRO UNI ÁLGEBRA
FUNCIÓN POLINOMIAL
ÁLGEBRA
I. DEFINICIÓN
Una función polinomial es una expresión algebraica
racional entera, cuya forma general es:
n n 1 n 2
0 1 2 n 1 nF(x) a x a x a x ... a x a ;n
 
       
Donde:
x = variable o indeterminada
a0, a1, a2, ... y an son los coeficientes, todos ellos son
números reales
a0x
n es el término dominante siempre que an  0
a0 = Coeficiente principal
an = Término independiente de x, es un número real,
también se le llama término constante.
Observación: Las funciones constante, lineal y cuadrá-
tica que se obtienen cuando n = 0; n = 1 y n = 2
respectivamente son casos particulares de una función
polinomial.
II. CERO DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL
También llamado raíz, sea y = F(x) una función po-
linomial no constante, es decir [F]°  1, un cero de la
función es el valor que asume su variable de modo
que la función se anule. Matemáticamente:
0 0F(x ) 0 x x es uncero deF(x)  
Teorema: Si x = x0 es un cero de F(x), entonces un
factor de F(x) será el binomio (x – x0).
Ejemplo: Dado el polinomio F(x)  x5 – 2x + 1 fácil-
mente podemos notar que F(1) = 0, luego afirmamos
que x = 1 es un cero de F(x) y por tanto (x – 1) es un
factor de F(x).
Observación
El cero o raízde una función polinomial F(x) de grado
mayor o igual que dos, puede ser simple o múltiple.
1. Es simple si x = x0 solo determina al factor (x – x0)
no se repite en F(x).
2. Es múltiple si x = x0 determina el factor (x – x0)
m,
con m  N/m  2, es decir (x – x0) es un cero de
multiplicidad "m".
Propiedades
Sea y = F(x) una función polinomial de grado no menor
que tres ([F]°  3) cuya gráfica aproximadamente es:
1. Cada punto que corresponde a la gráfica de la
función de modo que la gráfica de y = F(x) cruza al
eje x indica la presencia de una raíz simple o de
multiplicidad impar.
De la gráfica: x1 y x2 pueden ser raíces simple o
raíces de multiplicidad impar de la función.
2. Cada punto que corresponde a la gráfica de la
función de modo que la gráfica de y = F(x) es
tangente al eje x indica la presencia de una raíz de
multiplicidad par.
De la gráfica: x3 es una raíz de multiplicidad par de la
función y = F(x).
III. TEOREMAS DE TRANSFORMACIÓN DE
RAÍCES
Sea y = F(x) una función polinomial de grado no menor
que dos, luego para la ecuación F(x) = 0, tenemos:
1. F 1
x
 
 
 
 = 0, es la ecuación que tiene por raíces a los
recíprocos de las raíces de F(x) = 0.
2. F(x + h) = 0, con h  , es la ecuación que tiene
como raíces a las raíces de F(x) = 0 disminuidas en
"h".
3. F(x – h) = 0, con h  , es la ecuación que tienen
como raíces a las raíces de F(x) = 0 aumentadas
en "h".
4. F(k . x) = 0, con k  , es la ecuación que tiene
como raíces de F(x) = 0 divididas por "k".
DESARROLLO DEL TEMA
Exigimos más!
FUNCIÓN POLINOMIAL
65LIBRO UNI ÁLGEBRA
5. F x
k
 
 
 
 = 0, con k  , es la ecuación que tiene
como raíces de F(x) = 0 multiplicadas por "k".
IV. TEOREMAS ADICIONALES
A. Teorema de Descartes
Frecuentemente llamado Regla de los signos de
Descartes, esta referido a la cantidad de raíces positivas
o negativas que puede tener una función polinomial
F(x) de grado n  2 con coeficientes reales.
1. El número de raíces positivas de la ecuación F(x) = 0,
será igual al número de variaciones de signos
que presente los coeficientes de F(x), o, es
menor que esta cantidad en un número par.
2. El número de raíces negativas de la ecuación F(x) = 0
será igual al número de variaciones de signos que
presenten los coeficientes de F(–x), o, es menor
que esta cantidad en un número par.
Observación:
Llamaremos variación de signos de los coeficientes
de un polinomio ordenado en forma decreciente al
paso de un coeficiente positivo, a un coeficiente
negativo o viceversa.
B. Teorema de Gauss
Permite analizar la existencia de alguna raíz racional
de la función F(x), cuyo grado es n  2 y término
independiente distinto de cero.
Sea la función polinomial:
F(x)  a0x
n + a1x
n–1 + a2x
n–2 + ... + an–1x + an
Donde: a0, a1, a2, ... an 
Si x0 es una raíz racional de F(x) = 0 ésta será de la
forma x0 = 
p
q
, donde p y q son primos entre si, de
modo que p es un divisor del término independiente
de x en F(x) y q es divisor del coeficiente principal
en F(x).
C. Teorema de Bolzano
Consideremos una función polinomial F(x) cuyo
grado es n  2 y de coeficientes reales. Si a < b
y F(a) • F(b) < 0, entonces existe al menos una
raíz real de F(x) que pertenece al intervalo a;b (o
en general un número impar de raíces reales).
Ejemplo: Para: F(x)  x3 + 2x – 4
Se observa que: F(1) = –1 y F(2) = 8
Por lo que: F(1) • F(2) < 0
Luego por el teorema de Bolzano existe una raíz
real x0 que pertenece al intervalo 1;2 , es decir:
1 < x0 < 2
Problema 1
La función polinomial:
 2
4 2
F(x, y, z) (x y)(y z 3)
[(Z y)(y x 3)] (x y z 3)
    
       
tiene N raíces (x, y, z). Entonces N es igual a:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Resolución:
   2 4
0 0
(x y)(y z 3) (z y)(y x 3)       
2
0
(x y z 3) 0    
Se genera un sistema de ecuaciones:
x y 0 y z 3 0
z y 0 y x 3 0
x y z 3 0
     

     
    
De donde:
1. 
 
x y 0
z y 0
x y z 3 0
C.S. (1,1,1)
 

 
    
 
 2. 
x y 0
y x 3 0
x y z 3 0
C.S.
 

  
    
 
3.
y z 3 0
z y 0 C.S.
x y z 3 0
  

   
    
4.  
y z 3 0
y x 3 0 C.S. (2; 1,2)
x y z 3 0
  

     
    
Nes igual a 2
Respuesta: C) 2
Problema 2
Determine el polinomio mónico de me-
nor grado de coeficientes enteros que
tenga como raíces a los números reales
2 3 y 3 2 . Dar como respuesta
la suma de sus coeficientes.
A) 28 B) 42 C) 56 D) 70 E) 84
Resolución:
Por el teorema de la paridad de raíces
irracionales: Si una raíz es 3 2  la otra
será ( 3 2)  la cual origina el polino-
mio cuadrático (x2 + 6x + 7).
Análogamente:
Si la otra raíz es 2 3  la otra será
2 3  que origina el polinomio:
(x2 + 4x + 1)
Por lo tanto el polinomio mónico será:
P(x) = (x2 + 6x + 7)(x2 + 4x + 1)
Nos piden: P(x) (14)(6) 84 
Respuesta: E) 84
Problema 3
Dados los siguientes polinomios: P(x)
de grado 2 y término independiente
uno; y Q(x) = (x – 1) P(x) + 3x + 1.
Si Q(2) = 7 y P(1) = 2, halle la suma
de raíces de Q(x).
A) 0 B) 8/3 C) 10/3 D) 4 E) 5
Resolución:
De los datos: P(x) = ax2 + bx + 1
Q(x) = (x – 1) (ax2 + bx + 1) + 3x + 1
Pero:
Q(2) 7; (1)(4a 2b 1) 7 7
4a 2b 1......(1)
    
  
P(1) 2;a b 1 2
a b 1...(2)
   
 
de (1) y (2) = a 3 / 2;b 5 / 2  
de donde: 3 23 3Q(x) x 4x x
2 2
   
se pide: 1 2 3
4 8x x x
3 / 2 3
    

Respuesta: B) 8/3
problemas resueltos
66LIBRO UNI ÁLGEBRA
SUCESIONES Y SERIES
ÁLGEBRA
I. DEFINICIÓN DE SUCESIÓN
Una sucesión es una función cuyo dominio es  y
rango un subconjunto de .
Notación:
x :
n X(n)
 

 
También:
   n nx x n x 
   n 1 2 nx : x ; x ,..., x ,...
nx es el elemento n-ésimo de  nx
Ejemplos:
1.      n nx : 2, 4, 6,...,2n,... ó x 2n
2.      n nx : 1, 3, 5,...,2n –1,... ó x 2n –1
3.      n n1 1 1 1x : 1, , ,..., ,... ó x2 3 n n
4.    
1 2 3 n n
n n
2 2 2 2 2x : , , ,..., ,... ó x
1! 2! 3! n! n!
    
  
5.    n
1 1 1 1x : , , ,..., ,...
1 2 2 3 3 4 n n 1
  
      
II. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
Sea {xn} una sucesión y sea L, decimos que L es el
límite de {xn} si los términos  n 0x n n  de la sucesión
se aproximan a L. Es decir:
Lim nX L 0,     un entero 0n 0, tal n   que
 entero o nn n : x L   .
Observación:
• El entero n0 depende de 0. 
• n nLim x L ó Lim x L. 
n  
Ejemplo:
Si    n 2n 1x 3n 2  , calcular Lim xn.
Resolución:

n
2n 1x
3n 2
n n
122n 1 2nLim x Lim Lim
3n 2 2 33
n

           
 
A. Teorema
n
n
Si r 1 Lim r 0

  
Por ejemplo: 
n
Lim 0
4
   
 
B. Definiciones
Sea {xn} una sucesión:
1. {xn} es acotada superiormente, si existe 1k ,
tal que n n 1: x k   .
2. {xn} es acotada inferiormente, si existe 2k  ,
tal que n n 2: x k .  
3. {xn} es acotada si existe k > 0, tal que n :  
nx k.
DESARROLLO DEL TEMA
Exigimos más!
SUCESIONES Y SERIES
67LIBRO UNI ÁLGEBRA
Ejemplo:
1. La sucesión {xn}, tal que n
1x
n
 es acotada supe-
riormente e inferiormente: n0 x 1  , luego es
acotada.
III. SUCESIONES MONÓTONAS
Sea {xn} una sucesión, diremos que {xn} es monótona
si es uno de los 4 tipos de sucesiones siguientes:
1. Sucesión creciente
Si: n n 1x x ; n   
2. Sucesión decreciente
Si: n n 1x x ; n  
3. Sucesión no decreciente
Si: n n 1x x ; n  
4. Sucesión no creciente
Si: n n 1x x ; n  
Ejemplo:
1. La sucesión n
1x
n
 es decreciente.
En efecto,   

 1 1n :
n n 1
2. La sucesión xn = n
2 es creciente.
En efecto, 2 2n : n (n 1)   
IV. CONVERGENCIA DE UNA SUCESIÓN
La sucesión {xn} es convergente si existe un único
nL / Limx L  .
Observación:
Si Limxn es ó   , entonces de-cimos que {xn}
es divergente.
Ejemplos:
1. La sucesión    n 1x n es convergente.
En efecto: 1Lim 0.
n

2. La sucesión  
n 1
n
1x 2
3
      
   
 es convergente,en
efecto: 
n 1 n1 2 1 2Lim2 Lim 0 0
n 3 3 3

         
   
3. La sucesión {xn} = {(–1)
n} no es convergente, en
efecto:  n 1 ; n es parLim 1
1 ; n es impar

  

el límite no es único, entonces Limxn no existe.
Teoremas
1. Toda sucesión monótona y acotada es convergente.
2. Toda sucesión convergente es acotada. Lo contrario
no necesariamente se cumple.
3. Toda sucesión monótona no acotada es divergente
a ( o  ).
V. CRITERIOS DE CONVERGENCIA
A. Criterio de la razón
Sea {xn} una sucesión en , tal que si:


  n 1 n
nn
x
Lim 1 lim x 0
x
la sucesión converge a cero.
Ejemplos:
1. Calcular: n
n
lim x

, siendo 
n
n
ax
n!
 y  a 0 
Resolución:
 

   

n n 1
n n
a aa 0; x ; x 1
n! n 1 !
Apliquemos el criterio de la razón:
n 1 n 1
nn
ax a n!
x n 1! n 1a
   
 
nn
a
lim 0 1 lim x 0
n 1
    

2. Analizar la convergencia de:  n n
n!x
n
 
  
 
Resolución:
 
 
 

  

n n 1n n 1
n 1 !n!x x
n n 1
 
   
n n
n 1
n 1 nn
n 1 !x n n
x n!n 1 n 1



   
 
 n
1 1n : 1
11
n
   
  
 
e
n n
n!lim x lim 0
n
  
 nx es convergente.
3. La sucesión {xn} = {(–1)
n} no es convergente, en
SUCESIONES Y SERIES
Exigimos más!
68LIBRO UNI ÁLGEBRA
VI. TEOREMA DEL ENCAJE
Sean las sucesiones {an}, {bn} y {cn},
tales que  n n na b c para todo  n .
n n
n n
Lim a Lim C L
 
  , entonces 

nn
Lim b L
VII.TEOREMA DE LA MEDIA ARITMÉTICA
Sea la sucesión convergente n n 1{a } ,
si:
 
   
    
 
1 2 n
nn n
a a ... a
Lim{a } a Lim a; a
n

VIII.TEOREMA DE LA MEDIA GEOMÉTRICA
Sea la sucesión convergente n n 1{a } ;
si:
 
 
   nn 1 2 3 nn n
Lim{a } a Lim a .a .a ...a a; a 
IX. PROGRESIÓN ARITMÉTICA (P.A.)
Es aquella sucesión que se caracteriza por ser cualquier
término de ella, excepto el primero, igual al anterior
aumentado en una misma cantidad constante llamada
razón de la progresión por diferencia.
A. Representación:
 a1 • a2 • a3 • ....... • an
 a1 • a1 + r • a1 + 2r • a1 + 3r• ....... •a1 + (n – 1)r
B. Elementos de la P.A.
  Inicio de la P.A.
a1  Primer término
•  Separación de términos
an  Término enésimo
r  Razón de la P.A.
Sn  Suma de "n" primeros términos
C. Clases de P.A.
De acuerdo a la razón:
 Si r>0  P.A. creciente
 Si r<0  P.A. decreciente
 Si r=0  P.A. trivial sucesión constante
D. Propiedades
Sea la P.A.  a1 • a2 • a3 •.............aK• ..........•an
1. Razón:
2 1 3 2 9 8 k k–1y a – a a – a a – a ..... a – a    
2. Término general
x ya a (x – y)r 
En particular:
n 1a a (n –1)r 
3. Términos equidistantes de los extremos:
Sean ellos ap  aq
1 p q n
"p" términos "p" términos
a ............a ............a ..........a
 
p q 1 na a a a  
4. Término central
Cuando "n" es impar
 1 nc
a a
a
2


 Corolario:
x–1 x 1
x
a a
a
2

5. Suma de los "n" primeros términos
 1 nn
(a a )
S n
2


  n 1nS 2a (n –1)r2 
X. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA (P.G.)
Es aquella sucesión en la cual el primer término y la
razón son diferentes de cero y además un término
cualquiera, excepto el primero, es igual al anterior
multiplicado por una misma cantidad constante llamada
razón de la progresión. También se denomina progresión
por cociente
Exigimos más!
SUCESIONES Y SERIES
69LIBRO UNI ÁLGEBRA
A. Representación
:: t1 :t2 :t3 :t4 :..........:tn
:: t1 :t1 q:t1
2q :t1
3q :..........:t1
n–1q
B. Elementos de la P.G.
::  inicio de la P.G.
t1  primer término (t1  0)
:  separación de términos
q  razón (q  0)
tn  término enésimo
Sn  suma de "n" primeros términos
Pn  producto de "n" primeros términos
C. Clses de P.G.
* Si q>1, P.G. Creciente
* Si 0<q<1, P.G. Decreciente
* Si q=1, P.G. Trivial
* Si q<0, P.G. Oscilante
D. Propiedades
Sea la P.G. :: t1 :t2 :t3 :..........:tk:..........:tn
1. Razón:
32 k
1 2 k–1
tt t
q ...
t t t
   
2. Término general
x–y
x yT T q 
En particular:
n–1
n 1T T q 
3. Suma de los "n" primeros términos:
n
n 1
q – 1S t
q – 1
 
   
 
Observación:
Si n  (n tiende al infinito) se tendrá una suma
límite (SLim)
1
Lim
t
S
1 – q

Donde necesariamente –1 < q < 1.
4. Producto de los "n" primeros términos
 n2n 1 n(P ) t t 
5. Término Central (TC)
Siendo "n" impar
2
c 1 n(t ) t t 
XI. DEFINICIÓN DE SERIE
Sea {an} una sucesión en .
1 2 3 na a a .......a ........
Entonces a la expresión: 1 2 2 na a a .... a ....,     se
llama serie infinita de números reales.
La sucesión:
   n 1 2 nS s , s ,....., s ,....
tal que:
1 1
2 1 2
3 1 2 3
n
k n 1 2 n
k 1
s a
s a a
s a a a Son sumas
parciales
de la serie
a s a a .... a


 
  
    





 


A la sucesión  n n 1S  , se denomina sucesión de sumas
parciales de la serie infinita k
k 1
a


 siendo Sn la n-ésima
suma parcial de la serie.
XII.DEFINICIÓN DE ADICIONALES
Consideremos una serie infinita k
k 1
a


 y una sucesión
de sumas parciales  n n 1S  .
A. Si el n
n
Lim S S

 existe, entonces diremos que:
La serie infinita n
n 1
a


 es convergente y converge a S.
B. Si la serie infinita n
n 1
a


 es convergente, se puede
es-cribir de la siguiente forma: n n
nn 1
a lim S = S



Al cual llamaremos suma de la serie infinita. Si la
serie infinita k
k 1
a


 es divergente, carece de suma.
SUCESIONES Y SERIES
Exigimos más!
70LIBRO UNI ÁLGEBRA
XIII.TEOREMAS
A. Si: 
n
n
n 1
a

 es convergente, entonces: n
n
lim a 0


B. Si: n
n
lim a 0

 , entonces: la serie infinita n
n 1
a


 es
divergente.
Observación
Si: 
n
k
k 1
a

 , 
n
k
k 1
b

 y C . Entonces:
1.
n n
k k
k 1 k 1
ca c a
 
 
2.  
n n n
k k k k
k 1 k 1 k 1
a b a b
  
    
3.  
n n n
k k k k
k 1 k 1 k 1
a b a b
  
    
XVI.CRITERIOS DE CONVERGENCIA
A. Criterio de la razón
Sea la serie n
n 1
a


 y n 1n n
a
Lim L
a



Si: L < 1, entonces na convergente.
Si: L > 1, entonces na divergente.
Si: L = 1, entonces no podemos afirmar si la serie
converge o no.
Ejemplo:
Averiguar si la serie 
3
k 1
k
k !


 converge.
B. Criterio de la comparación
Sean las series na , nb de términos no negati-
vos, tal que n na b ; n
  mayor que un "k"
entero positivo suficientemente grande, entonces:
1. Si nb converge na converge.
2. Si na diverge nb diverge.
C. Criterio de la raíz
Sea la serie n
n 2
a


 y n n
n
Lim a L


Si: L < 1, entonces na converge.
Si: L > 1, entonces na diverge.
Si: L = 1, entonces no podemos afirmar si la serie
converge o no.
D. Criterio de comparación por límite
Sean las series:
n
n=1
a

 y n
n=1
b


de términos positivos, entonces:
1. Si: n
n n
a
Lim = k > 0
b
 ambas series convergen
o divergen.
2. Si: n
n n
a
Lim = 0
b
 y n
n=1
b

 converge  n
n=1
a

 es
convergente.
3. Si: n
n n
a
Lim = +
b
 y n
n=1
b

 es divergente  La
serie n
n=1
a

 es divergente.
Problema 1
La suma de la siguiente serie:
27 + 9 + 3 + 1 + ... es:
UNI 2009 - II
A) 38,5 B) 39,5 C) 40,5
D) 41,5 E) 42,5
Resolución:
Aplicando suma límite:
27 81S 40, 5
1 21
3
  

Respuesta: C) 40,5
Problema 2
Sea la sucesión definida por:
n
n 1 n
1b b ,n
3
    
 

Donde:
1
1b
2
 
Entonces la sucesión converge al valor:
A) –1/2
B) 0
C) 1/3
D) 1/2
E) 1
Resolución:
nn
Lim b 1


Tenemos:
b1 = –1/2
n
n n
1b 1 b ;n
3
     
 

a) Aplicación de fórmula o teorema
Teorema:
n 1 nn n
Lim b Lim b L 
 
Suma límite:
1tS ; q 1
1 q
 

problemas resueltos
Exigimos más!
SUCESIONES Y SERIES
71LIBRO UNI ÁLGEBRA
b) Solución del problema
Del dato:
2 n
n 1 1
2
n 1
n
SUMALÍMITE
n 1n
1 1 1Luego : b b ...
3 3 3
1 1 1Tenemos : Lim b ...
2 3 3
1
1 3Lim b
2 11
3




         
  
       
  



n 1n
1 1Lim b 0
2 2
    
Respuesta: B) 0
Problema 3
Determine el valor de:
     

n
k 1
1
2k 1 2k 1
A) 
n
2n 1 B)
n
2n 2
C)


n 1
2n 1 D)
2n
2n 1
E) 
n
2n 1n
Resolución:
Tenemos:
   
n
k 1
1
S
2k 1 2k 1

 
Luego:
   
n
k 1
1 2
S
2 2k 1 2k 1

 
Donde:
n
k 1
1 1 1
S
2 2k 1 2k 1
 
    

Propiedad telescópica:
 
b
k a
f(k) f(k 1) f(a) f(b 1)

    
Entonces:
1 1 1 nS
2 1 2n 1 2n 1
      
Respuesta: A) 
n
2n +1
Problema 4
Sea la sucesión:
1 2 3 4 5
1 3 5a 0,a 1, a , a , a ,
2 4 8
    
6 7 8
11 21 43a , a , a ,...
16 32 64
  
entonces la sucesión {an} converge a:
UNI 2010 - I
A)
7
12 B)
5
8 C)
2
3
D) 1 E) 
Resolución:
1 2 3 4 5 6
7 8
1 3 5 11a 0; a 1; a ; a ; a ; a ;
2 4 8 16
21 43a ; a
32 64
     
 
De donde: n 1 nn 2
a a
a ; n IN
2



  
De la sucesión recurrente:
2an+2 – an+1 – an = 0
Tenemos:
   
22x x 1 0
2x 1 x 1 0
  
  
1 2
1x x 1
2
   
Llevamos a la sucesión correspondiente:
   n nn 1a 12    
Para
1n 1 a 02
      
2n 2 a 14
     
Entonces: 4 2
3 3
    
Luego:  nn 2 4 1a 3 3 2  
Nos piden: convergencia {an}
Calculamos:
 nnn n 2 4 1 2Lim a Lim 3 3 2 3 
 
    
 
 La sucesión converge a 
2
3
Respuesta: C) 2/3
Problema 5
Dada la sucesión 2, 6, 12, 20, 30, 42, ...
determine la suma de los 100 primeros
términos de la sucesión anterior.
UNI 2009 - I
A) 10100 B) 294880
C) 323400 D) 333300
E) 343400
Resolución:
La sucesión:
1 • 2; 2 • 3; 3 • 4; ... ; 100 • 101
 
 t100
Recordar:
n(n 1)(n 2)1 2 2 3 3 4 ... n (n 1)
3
         
 
   
100S 1 2 2 3 3 4 ...
n(n 1)(n 2)n (n 1)
3
   
      
 
  

= 343400
Respuesta: E) 343400
Problema 6
Tres números positivos forman una pro-
gresión aritmética y además su suma
es 21. Si a esos números añadimos 2, 3
y 9 respectivamente, obtenemos una
progresión geométrica. Hallar el produc-
to de esos números.
UNI 2008 - III
A) 231 B) 264 C) 273
D) 308 E) 420
Resolución:
Sean los 3 términos de la P.A.: a – r, a,
a + r. Piden: (a – r) a(a + r)
Dato: (a – r) + (a) + (a + r) = 21
a = 7
Dato:
(7 – r + 2); (7 + 3); (7 + r + 9)
9 – r; 10; 16 + r P.G.
2(9 r)(16 r) 10   
Conclusiones
r = 4
 los 3 términos son: 3; 7 y 11
el producto 3 7 11 231 
Respuesta: A) 231
72LIBRO UNI ÁLGEBRA
MATRICES Y DETERMINANTES
ÁLGEBRA
I. DEFINICIÓN DE MATRIZ
Una matriz es el arreglo u ordenamiento rectangular de
elementos que podrán ser números reales, números
complejos, etc., en filas (horizontal) y columnas (verti-
cal) encerrados entre corchetes o paréntesis.
Representación:
Donde aij representa el elemento de la fila "i" y la
columna "j".
Notación:
i = 1, ..., m ; j = 1 , ... , n
Además: m n representa el tamaño, orden o dimensión
de la matriz A.
Nota:
Se debe destacar que una matriz es un arreglo y como
tal no tiene un valor numérico.
II. IGUALDAD DE MATRICES
Dos matrices A y B son iguales, escrito A = B, si tiene
la misma forma y sus elementos correspondientes coin-
ciden. Así la igualdad de dos matrices m x n equivale a
un sistema de m x n igualdades, una por cada par de
componentes.
Ejemplo:
La igualdad:
x y 3 52z w
x y z w 1 4
           
es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones:
x y 3
x y 1
2z w 5
z w 4
 
  

 
  
La solución del sistema es:
x = 2, y = 1, z = 3, w = –1
III. CLASES DE MATRICES
A. Matriz cuadrada
Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo
número de filas que de columnas. En este caso una
matriz n  n es de orden n y se le asigna el nombre
de matriz n-cuadrada.
Ejemplo:
Ejemplo:
Traz(A) = 9 + 8 + 0 = 17
1. Tipos de matrices cuadradas
Las matrices cuadradas pueden ser:
a. Matriz diagonal
Es aquella matriz cuadrada en la cual al menos
un elemento de la diagonal principal es no nulo,
y los demás, si lo son.
DESARROLLO DEL TEMA
Exigimos más!
MATRICES Y DETERMINANTES
73LIBRO UNI ÁLGEBRA
Ejemplos:
0 01
23 0A 0 0 ; B7
0 00 0 7
 
   
    
   
b. Matriz escalar
Es una matriz diagonal que presenta ele-
mentos no nulos e iguales en la diagonal
principal.
Ejemplos:
5 0 0
6 0A 0 5 0 ; B
0 60 0 5
 
       
   
c. Matriz identidad
Es una matriz escalar cuyos elementos de la
diagonal principal son no nulos e iguales a uno.
3 2
0 01
01I 0 0 ; I1
0 10 0 1
 
   
    
   
d. Matriz triangular
Existen dos clases:
• Superior:
Es una matriz cuadrada en donde todos los
elementos bajo la diagonal principal son
iguales a cero, y del lado opuesto al menos
un elemento no lo es.
• Inferior:
Análogamente, es cuando los elementos sobre
la diagonal principal son todos nulos y del
lado opuesto al menos uno no lo es.
Ejemplos:
B. Matriz rectangular
Son aquellas matrices en donde el número de filas
es distinto al número de columnas.
Ejemplos:
2 33 2
3 2
9 5170A 1 ; B
0 4 25 9 
 
   
    
   
1. Tipos de matrices rectangulares
a. Matriz fila o vector fila
Cuando una matriz está formada por una sola fila.
Ejemplo:
A = [1 0 –3 2]
b. Matriz columna o vector columna
Si la matriz presenta una sola columna.
Ejemplo:
2
A 5
1
 
 
  
  
C. Matriz nula
Es aquella matriz en la cual todos sus elementos son
nulos. Ejemplos:
0 0 0
0 0A ; B 0 0 0
0 0 0 0 0
 
  
    
    
IV. OPERACIONES CON MATRICES
A. Adición de matrices
Sea A = (aij) y B = (bij) dos matrices mn, entonces
la suma de A y B es la matriz m n, A + B dada por:
 
 ij ij
11 11 12 12 1n 1n
21 21 22 22 2n 2n
m1 m1 m2 m2 mn mn
A B a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
   
   
    
 
 
    


  

Es decir, A + B es la matriz que se obtiene al sumar
las componentes correspondientes de A y B.
Advertencia:
La suma de dos matrices está definida sólo cuando
las matrices son del mismo tamaño.
Ejemplo:
3 5 81 2 4A ; B
0 82 1 7 2
1 3 2 5 4 8 4 7 12A B
0 1 8 2 5 62 7 1
   
    
    
           
     
B. Multiplicación de matrices
1. Multiplicación de un escalar por una matriz
Si A = (aij) es una matriz de m n y si  es un
escalar, entonces la matriz m n,  A está dada por:
11 12 1n
21 22 2n
ij
m1 m2 mn
a a a
a a a
A ( a )
a a a
   
       
 
 
    


  

en otras palabras  A = (  aij) es la matriz obtenida
al multiplicar cada componente de A por .
MATRICES Y DETERMINANTES
Exigimos más!
74LIBRO UNI ÁLGEBRA
Ejemplo:
Multiplicar a la matriz:
3 5 7
4 2 1
 
  
por el escalar 2.
  3 5 72
4 2 1
3(2) 5(2) 7(2) 6 10 14
4(2) 2(2) ( 1)2 8 4 2
 
 
 
   
        
2. Multiplicación de una matriz fila por una ma-
triz columna
Al tomar este producto es necesario que las ma-
trices tengan el mismo número de componentes.
En este caso se tiene:
Es decir: 
n
k k
k 1
A B a b

 
Ejemplo:
8
A [1 9 7] ; B 3
1
A.B (1 8 9 3 7 1) 42
 
 
   
  
      
3. Multiplicación de dos matrices
Dados dos matrices ij m n ij n pA (a ) y B (b )   .
Entonces el producto de A y B es una matriz:
ij m pC (C )  , en donde:
Cij = (fila i de A) . (columna j de B)
es decir: Cij = ai1 b1j + ai2 . b2j + ... + bin . bnj
Para ilustrar esto, se consideran las siguientes
matrices: A, B y C.
 
Ejemplo:
Sean las matrices:
2 2 2 3
0 52 4 4A y B
3 31 1 2 
   
    
   
La matriz C producto de A y B será de orden
2  3 de la siguiente manera.
1311 12
2321 22 2 3
CC C
C
CC C

 
  
 
Hallando cada uno de los elementos:
   
   
   
   
   
   
11 11
12 12
13 13
21 21
22 22
23 23
4C 2 4 2 4 4 1 C 12
1
0C 2 4 2 0 4 3 C 12
3
5C 2 4 2 5 4 2 C 18
2
4C 3 3 4 1 1 C 131
10C 3 3 0 1 3 C 31
3
5C 3 3 5 1 2 C 171
2
 
     
 
 
     
 
 
     
 
 
     
 
 
     
 
 
     
 
 
 
 
 
 
 
Teoremas:
Sean A, B y C matrices para las cuales están de-
finidas las operaciones de adición y multiplicación
i k y  son escalares.
a. K(A + B) = KA + KB
b. (K +  )A = KA +  A
c. K(  A) = (K  )A
• A (BC) = (AB) C
• A (B + C) = AB + BC
• AB = 0 no implica que A = 0 ó B = 0
• AB = AC no implica que B = C
Definiciones:
• Si AB = BA, se dice que las matrices A y B
son conmutables.
• Si AB = –BA, se dice que las matrices A y B
son matrices anticonmutables.
4. Potenciación de matrices
Sea A una matriz cuadrada y n | n 2  , se
define:
nA A A A .... A
"n " veces
   
V. TRAZA DE UNA MATRIZ
Es la suma de elementos de la diagonal principal de
una matriz cuadrada.
Exigimos más!
MATRICES Y DETERMINANTES
75LIBRO UNI ÁLGEBRA
Teoremas sobre traza
• Traz (A ± B) = Traz(A) ± Traz(B)
• Traz (KA) = KTraz(A)
• Traz (A B) Traz(B A) 
Donde A y B son matrices del mismo orden y K un escalar.
VI. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
Sea A = (aij) una matriz de m  n. Entonces la trans-
puesta de A, que se escribe AT, es la matriz de n  m
obtenida al intercambiar las filas por columnas de A,
AT = (aji). Ejemplo:
T
5 3
5 6 8A A 6 2
3 2 1 8 1
 
  
     
    
Teoremas
• (A ± B)T = AT ± BT
• (AB)T = BT AT
• (AT)T = A
• (  A)T =  AT;  es un escalar
• In = I; nZ+
VII.OTROS TIPOS DE MATRICES
A. Matriz simétrica
Se dice que una matriz cuadrada es simétrica si cumple
la siguiente condición: AT = A. Ejemplos:
04 7
3 4A ; B 0 3 1
54 97 1
 
  
    
    
B. Matriz antisimétrica
Una matriz cuadrada será antisimétrica si y sólo si
es igual al negativo de su transpuesta (A = –AT).
Ejemplos:
0 4 1
0 2 0 9A ; B 4
02 9 01
 
  
    
    
C. Matriz involutiva
Una matriz es involutiva si y sólo si su cuadrado es
igual a la matriz identidad (A2 = I).
Ejemplo:
¿La matriz 01A
0 1
   
 
 es involutiva?
2 0 0 01 1 1A A A I
0 0 01 1 1
              
     
 
como A2 = I entonces A es involutiva.
D. Matriz idempotente
Una matriz cuadrada A es idempotente si y sólo si es
igual a su cuadrado (A2 = A).
Ejemplo:
¿La matriz 
1 1
2 2A
1 1
2 2
 
 
  
 
 
 es idempotente?
2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2A A A A
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
     
     
        
     
     
 
como A2 = A, entonces la matriz A es idempotente.
E. Matriz nilpotente
Se dice que una matriz A diferente de cero es
nilpotente si existe un número entero positivo K tal
que AK = 0. Así: K se llama índica de nilpotencia.
Ejemplo:
¿La matriz 
31 4
3A 1 4
31 4
  
 
  
   
 es nilpotente?
2
3 31 4 1 4 0 0 0
3 3A A A 1 4 1 4 0 0 0
3 31 4 1 4 0 0 0
       
     
         
            
 
entonces, A es nilpotente.
F. Matriz hermitiana
Dada una matriz cuadrada de componentes com-
plejos será hermitiana si y solo si cumple lo siguiente:
 TA A .
Ejemplo:
 T
3 32 i 4 1 2 i 4 1
5 5A 2 i 7 A 2 i 7
4 1 7 4 4 1 7 4
      
   
       
       
G. Matriz ortogonal
Una matriz A se llama ortogonal, si verifica:
A . AT = AT . A = I
Ejemplo:
Cos Sen 0
A Sen Cos 0
0 0 1
   
 
   
  
MATRICES Y DETERMINANTES
Exigimos más!
76LIBRO UNI ÁLGEBRA
VIII. DEFINICIÓN DE DETERMINANTE
Sea A = (aij)n una matriz cuadrada, el determinante
de A es un operador (función) que aplicado a la matriz
A, le hace corresponder un único valor numérico.
Notación: |A| o det(A) o detA
Pero el criterio de asignación de ese valor (número real
o complejo) a cada matriz cuadrada no es sencillo en el
caso general. Vamos a definir el determinante para una
matriz de orden 1; 2 y luego de orden 3.
A. Cálculo de determinantes
De orden 1
11 11 11A (a ) A a a   
El determinante coincide con el valor del único ele-
mento de la matriz.
De orden 2
11 12 11 12
21 22 21 22
a a a a
A | A |
a a a a
 
   
 
11 22 21 12a a a a 


Ejemplo:
   3 2 3 2A | A | 3 4 1 2 10
1 4 1 4
 
      
 
De orden 3
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
a a a a a a
A a a a A a a a
a a a a a a
 
    
  
= a11a22a33+a12a23a31+a13a32a21–a31a22a13–a21a33a12–
a32a11a23
Para recordar fácilmente éste resultado vamos a
recurrir a una regla práctica, llamada la regla de
Sarrus que consiste en repetir las dos primeras filas
(o columnas) debajo (o a la derecha) de todos los
ele-mentos de la matriz, así:
1311 12
11 12 13 11 122321 22
21 22 23 21 2231 32 33
31 32 33 31 321311 12
2321 22
aa a
a a a a aaa a
o a a a a aa a a
a a a a aaa a
aa a
Ejemplo:
32 2
2 2 3 01 1
A 1 1 0 A 1 2 1
1 2 1 32 2
01 1
  
      
  

|A|= –2 + 6 + 0 – 3 – 0 – 2 = –1
B. Matrices singulares y no singulares
Sea A = (aij) una matriz cuadrada. Si |A| = 0 decimos
que A es una matriz singular, en caso contrario
(|A|  0) decimos que A es una matriz no singular..
1. Propiedades
(Sólo para matrices cuadradas)
a. |AB| = |A| |B|
b. I: matriz identidad |I| = 1
: matriz nula  | | = 0
c. |A| = |AT|
d. Si se intercambian 2 filas (o 2 columnas) de
una matriz, el determinante cambia de signo.
e. Si una matriz tiene 2 filas (o 2 columnas)
iguales su determinante es cero.
• 
3 7
A | A | 0
3 7
 
   
 
• 
1 1 1
B 3 5 7 | B | 0
1 1 1
 
    
  
 (verifique)
f. Si una matriz tiene una fila nula (o columna
nula) su determinante es cero.
• 
1 2 1
A 0 0 0 | A | 0
4 5 3
 
    
  
g. Si en una matriz, todos los elementos de una fila
(o columna) son multiplicados por una es-calar
 , su determinante queda multiplicado por .
•
a b a b
A ; B
c d c d
   
        
 |B| = ad – bc = (ad–bc)
 |B| = |A|
•
1 1 2
A 9 3 12 | A | 16
0 2 5
 
    
  
Multiplicamos la segunda fila de A por 3,
queda:
1 1 2
B 9 3 12 |B | 3 | A | 48
0 2 5
 
     
  
h. Si una matriz A de orden n es multiplicada
por una escalar  (es decir, todos los ele-
mentos de A son multiplicados por ), el de-
terminante de A queda multiplicado por n .
Es decir:
nA A   
Exigimos más!
MATRICES Y DETERMINANTES
77LIBRO UNI ÁLGEBRA
i. Si dos filas (o dos columnas) de una matriz
tienen elementos respectivamente propor-
cionales, su determinante vale cero.
x y 2y
A z u 2u
1 0 0
 
   
 
 
  
x y 2y x y y
| A | z u 2u 2 z u u 2 0 0
1 0 0 1 0 0
   
j. Si una fila (o columna) de una matriz se le suma
(o resta) un múltiplo o submúltiplo de otra fila
(o columna, su determinante no se altera.
4 7
A | A | 15
3 9
 
   
 
A la primera fila le sumamos 
1
3 de la segunda
fila 1 2
1f f
3
 .
5 10
B |B | 15
3 9
 
   
 
k. El determinante de una matriz diagonal o trian-
gular (inferior o superior), es igual al producto
de multiplicar los elementos de su diagonal
principal.
•
1 0 0 0
0 2 0 0
A | A | 4! 24
0 0 3 0
0 0 0 4
 
 
    
 
  
 
•
4 0 6
B 0 5 3
0 0 1 / 2
 
   
 
 
    1| B | 4 5 10
2
      
 
• El determinante de una matriz
antisimétrica de orden impar es cero.
2. Menor complementario y cofactor de un
elemento de una matriz
Sea A = (aij)n una matriz cuadrada:
11 12 1j 1n
21 22 2j 2n
11 12 ij in Fila i
n1 n2 nj nn
Columna j
a a ... a ... a
a a ... a ... a
a a ... a ... aA
a a ... a ... a


 
 
 
 
 
   
 
 
 
  
 
   
   
y sea Mij la matriz cuadrada de orden (n–1) que
resulta de eliminar la fila i y a columna j de A,
entonces:
a. El determinante |Mij| se llama menor (menor
complementario) del elemento aij de la matriz A.
b. El cofactor del elemento aij, que se denota
por Aij, se define por Aij=(–1)
i+j|Mij|.
Ejemplo:
Los menorescomplementarios y cofactores de
los elementos de la matriz.
1 2 3
A 1 3 4
1 4 3
 
   
  
Son los siguientes:
• Menores complementarios:
 
11 12
13 21
22 23
31 32
33
3 4 1 4
M 7 M 1
4 3 1 3
1 3 2 3
M 1 M 6
1 4 4 3
1 3 1 2
M 0 M 2
1 3 1 4
2 3 1 3
M 1 M 1
3 4 1 4
1 2
M 1
1 4
    
   
   
    
 
• Cofactores:
A11 = (–1)
1+1 M11 = 1(–7) = –7
A12 = (–1)
1+2 M12 = (–1)(–1) = 1
A13 = (–1)
1+3 M13 = 1(1) = 1
A21 = (–1)
2+1 M21 = (–1)(–6) = 6
A22 = (–1)
2+2 M22 = 1(0) = 0
A23 = (–1)
2+3 M23 = (–1)(2) = –2
A31 = (–1)
3+1 M31 = 1(–1) = –1
A32 = (–1)
3+2 M32 = (–1)(1) = –1
A33 = (–1)
3+3 M33 = 1(1) = 1
Observación:
El menor complementario |Mij| y el cofactor Aij de
un elemento aij de la matriz A, sólo se diferencian
en el signo.
Como:
Aij=(–1)
i+j |Mij|  Aij =  |Mij|
MATRICES Y DETERMINANTES
Exigimos más!
78LIBRO UNI ÁLGEBRA
IX. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE
POR COFACTORES
A. Teorema
El determinante de una matriz cuadrada A = (aij)n
es igual a la suma de los productos de los elementos
de una fila (o columna) por sus respectivos cofac-
tores. Para aplicar este teorema es necesario elegir
una fila (o una columna) y proceder a efectuar el
desarrollo por dicha fila (o columna).
1. Si elegimos la fila i, el desarrollo de determinante
(por filas) está dado por:
|A| = ai1Ai1ai2Ai2 +... + ainAin
2. Si elegimos la columna j, el desarrollo del de-
terminante (por columnas) está dado por:
|A| = a1jA1j + a2jA2j +... + ainAnj
Ejemplo:
Calcule el determinante de la matriz:
3 6 9
A 0 2 1
3 1 2
 
   
  
Resolución:
Calculemos el determinante, realizando el desarrollo
por la segunda fila (a21= 0; a22 = 2; a23 = 1) luego:
|A| = a21A21 + a22A22 + a23A23
como:
A21 = (–1)
2+1|M21|=
6 9
3
1 2

  

A22 = (–1)
2+2|M22|=
3 9
33
3 2

 
A23 = (–1)
2+3|M23|=
3 6
21
3 1
 

Entonces:
|A| = 0(–3) + 2(33) + 1(21) = 87
Ahora, calculemos el determinante realizando el
desarrollo por la primera columna (a11 = 3; a21 = 0;
a31 = 3). Luego: |A| = a11A11 + a21A21 + a31A31
Como:
A11=(–1)
1+1 |M11| = 
2 1
5
1 2


A21=(–1)
2+1 |M21| = 
6 9
3
1 2

 

A31=(–1)
3+1 |M31| = 
6 9
24
2 1


B. Determinante de Van Der Monde
•      
2 2 2
1 1 1
x y z z x z y y x
x y z
   
•      
     
2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1
x y z w
w x w y w z
x y z w
z x z y y x
x y z w
  
  
Ejemplos:
•      
1 1 1
3 4 5 5 3 5 4 4 3 2
9 16 25
    
•        
   
2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1
2 3 5 7
7 2 7 3 7 5 5 2
2 3 5 7
5 3 3 2 2
2 3 5 7
   
  
5 4 2 3 2 1 240     
X. MATRIZ INVERSA
Sea A = (aij)n una matriz no singular, diremos que A
tiene inversa (o que es inversible) si existe otra matriz
B = (bij)n del mismo orden, tal que AB = BA = In (In
matriz identidad). B es llamada la matriz inversa de A, y
se denota por A–1.
Prueba
A es inversible   A–1, luego 1A A I  (tomamos
determinantes):
1 1A A I A A 1   
De aquí ninguno de los determinantes es cero.
Por tanto A 0 . Así A es no singular..
Ejemplos:
• 
2 3
A
3 5
 
  
 
 es inversible, pues |A| = 1  0.
• 
2 3
B
4 6
 
   
 no es inversible, pues |B| = 0.
Ejercicio:
Halle la inversa de 
3 6
A
4 5
 
  
 
Exigimos más!
MATRICES Y DETERMINANTES
79LIBRO UNI ÁLGEBRA
Resolución:
Sea 1
x y
A
z w
    
 
 inversa de A, luego 1 2A A I
 
es decir:
3 6 x y 1 0
4 5 z w 0 1
     
     
     
Entonces:
3x 6z 1
3y 6w 0
4x 5z 0
4y 5w 1
 
  

 
  
Resolviendo el sistema:
5 6 4 3x ; y ; z ; w
9 9 9 9
     
Por tanto:
1
5 6
5 619 9A
94 3 4 3
9 9

    
        
 
 es la matriz inversa de A.
XI. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA
A. De orden 1
  111
11
1A a A
a
      
 
B. De orden 2
1a b d b1A A
| A |c d c a
            
Ejemplo:
4 2
A ; | A | 4
10 6
 
  
 
1
3 1
6 21 2 2A
4 10 4 5 1
2

   
         
 
C. De orden n  3
Aquí aplicamos un procedimiento conocido como
el método de Gauss-Jordan, donde a partir de la
matriz ampliada (A  I) por medio de operaciones
elementales fila, se puede obtener una nueva matriz
ampliada (I B) y se concluye que B = A.
Es decir:
   O.E. fila 1A I I A 
Ejemplo:
Halle la inversa de:
1 1 1
A 1 2 1
1 1 2
 
   
 
 
Resolución:
Aplicamos el método de Gauss-Jordan:
 
1 1 1 1 0 0
A I 1 2 1 0 1 0
1 1 2 0 0 1
 
   
 
 

2 1
3 1
f f
f f
1 1 1 1 0 0
0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1


 
    
  
1 2f f
1 0 1 2 1 0
0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1

 
    
  
 1 33 1f f 1f f
1 0 0 3 1 1
0 1 0 1 1 0 I A
0 0 1 1 0 1
 

  
     
  

1
3 1 1
A 1 1 0
1 0 1

  
    
  
Propiedades:
Sean A y B matrices cuadradas no singulares.
1.
11(A ) A
 
2. (AB)–1 = B–1A–1
3. (AT)–1 = (A–1)T
4. |A–1| = 
1
| A |
5.   1 11A A ( escalar)   
MATRICES Y DETERMINANTES
Exigimos más!
80LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 1
Si A y B son matrices 3 x 3 y r 0 un
número real, indique la secuencia co-
rrecta después de determinar si la pro-
posición es verdadera (V) o falsa (f).
I. det(aB) = det(A) det(B)
II. det(A + B) = det(A) + det(B)
III. det(rA) = rdet(A)
 UNI 2008 - II
Nivel fácil
A) VVV
B) VVF
C) FVV
D) VFF
E) FFF
Resolución:
Aplicación de fórmulas o teoremas
Tenemos:
• det (AB) = det (A) det (B)
• det (rA) = rn det (A)
Operación del problema
I. (V)
II. det(A + B)  det(A) + det(B) (F)
III. det(rA) = r3det(A) (F)
Respuesta: D) VFF
Problema 2
El valor del determinante de:
2
2
2
a a 1
F b b 1
c c 1

es:
 UNI 2004 - II
Nivel intermedio
A) (a – b)(b – c)(c – a)
B) (a – b)(c – b)(a + c)
C) (b – a)(b + c)(a – c)
D) (a + b)(b – c)(a – c)
E) (a – b)(b – c)(a – c)
Resolución:
Con los cambios:
 1 2 2 3 1 2C C ; C C ; C C  
en ese orden; tenemos:
2
2
2
1 a a
F 1 b b
1 c c
 
por ser un determinante de Vander-monde:
F = – (b – a) (c – a) (c – b)
ó F = (a – b) (a – c) (b – c)
Respuesta: E) (a – b)(b – c)(a – c)
Problema 3
Considere la ecuación matricial:
3 01 4X
2 7 1 2
   
   
   
donde X es una matriz, calcule det(X)
 UNI 2010 - I
Nivel intermedio
A) 6 B) 7
C) 8 D) 11
E) 19
Resolución:
Ubicación de incógnita
Det(x) = |x|
Análisis de los datos o gráficos
3 01 4x.
2 7 1 2
   
   
   
Operación del problema
Tomando determinante
3 01 4| x |
2 7 1 2



| x | 1 8
| x | 8 
Respuesta: C) 8
Problema 4
Calcule Q(A), si:
Q(x) = (1 + x)(1 – x)
siendo: 
1 2
A
2 1
 
  
 
 UNI 2008 - I
Nivel fácil
A)
1 0
0 1
 
 
 
B)
1 1
1 1
 
 
 
C)
1 1
2
1 1
 
  
 
D)
1 1
4
1 1
 
  
 
E)
1 1
14
1 1
 
  
 
Resolución:
Piden: Q(A)
Dato: Q(x) = (1 + x) (1 – x)
Evaluando: Q(A) = (1 + A)(1 – A)
Efectuando: Q(A) = I – A + A – A2
Tenemos: Q(A) = I – A2 ... 
Nos dan: 1 2A
2 1
 
  
 
Si: 2
1 2
A A A
2 1
 
  
 

Entonces: 
2A
1 2 5 4
A
2 1 4 5
   
    
   
Reemplazamos: A2 en 
1 0 5 4
Q(A)
0 1 4 5
   
    
   
4 4 1 1
Q(A) 4
4 4 1 1
    
          
Respuesta: D) 1 14
1 1
 
  
 
problemas resueltos
Exigimos más!
MATRICES Y DETERMINANTES
81LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 5
Sea la matriz:
a 0
b a
 
 
 
donde a 0, b, entonces los valo-
res x1, x2, x3, x4 tales que:
1 2
3 4
x xa 0 1 0
x xb a 0 1
    
    
    
son (en ese orden).
 UNI 2007 - II
Nivel fácil
A)
2
1 b 1, ,0,
a aa

B)
2
1 b 1, , 0 ,
a aa
C)
2
1 b 1, , 0,
a aa

D)
2
1 b 1, 0, ,
a aa

E)
2
1 b 1, 0, ,
a aa
Resolución:
1 2
3 4
A IB
x xa 0 1 0
x xb a 0 1
    
    
     
Tenemos:
AB = I; donde: B = A–1
1 2
23 4
x x a 01
x x b aa
   
     
igualando:1 2
3 4
2
1 0
x x a
b 1x x
aa
 
  
   
   
  
1
1x
a
  ; x2 = 0; 3 2
bx
a
  , 4
1x
a

Respuesta: D) 
2
1 b 1, 0 , ,
a aa

Problema 6
Sean las matrices:
2 7 1
Q 1 1 1
1 4 4
 
   
   
, P = Q101
Sabiendo que:
8 8
Q 3 3
5 5
   
          
       
donde  es un cierto número real. En-
tonces, el vector u y el número a tales
que Pu u  son:
A)
8
3 ,0
5
 
 
 
  
B)
1
1 , 1
1
 
   
  
C)
0
0 ,1
1
 
 
 
  
D)
8
3 , 1
5
 
   
  
E)
8
3 ,0
5
 
 
 
  
Por condición:
2 7 1 8 8
1 1 1 3 3
1 4 4 5 5
     
             
             
 
0 8
0 3 0
0 5
   
           
       
También: P = Q101
y además: pu u 
Si 0   la igualdad sería absurda.
Luego: 0
Pu
   
 
100Q Q u   
como 100
m
Q Qu ;u n
p
 
        
 
 
2 7 1 m 0
1 1 1 n 0
1 4 4 p 0
     
          
           
2m 7n p 0
m n p 0
m 4n 4p 0
  
   
   
Resolviendo: m = – 8 n = 3 p = 5
8
u 3 ; 0
5
 
     
  
Respuesta: E) 
8
3 ,0
5
 
 
 
  
82LIBRO UNI ÁLGEBRA
SISTEMA DE ECUACIONES
ÁLGEBRA
I. CONCEPTO
Es un conjunto de dos o más ecuaciones que se veri-
fican simultáneamente para un mismo conjunto de va-
lores atribuidos a sus letras o incógnitas.
Ejemplo: 
3x y 7
5x 2y 8
 

 
Vemos que se verifica simultáneamente para = 2, y = 1.
Ejemplo: 
2 2x y 13
xy 6
  


Estas ecuaciones se verifican cuando:
(x = 3, y = 2) ó (x = –3, y = –2) ó (x = 2, y = 3) ó
(x = –2, y = –3) es decir se verifican para 4 pares de
valores de sus incógnitas.
Ejemplo en :
2 2x y 2
x y 5
  

 
No existe "x" e "y" alguno en  que verifique simultá-
neamente.
II. CONJUNTO SOLUCIÓN DE UN SISTE-
MA DE ECUACIONES
Es el conjunto de todas las soluciones de un sistema.
III. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE
ECUACIONES
Consiste en hallar el conjunto solución.
Ejemplo:
Resolver 
 

  
x 3y 9
x y 3
Vemos que sólo se verifica para x = 0, y = 3.
 C.S.:  (0,3)
Ejemplo:
Resolver 
  


2 2x y 13
xy 6
Su conjunto solución está integrado por 4 pares orde-
nados, debido a que se tiene 4 soluciones, así:
        C.S. (3,2) ( 3, 2) (2,3) ( 2, 3)
IV. CLASES DE SISTEMAS
A. De acuerdo a su solución
1. Compatible
Es aquel sistema que tiene solución que a su vez
puede ser:
• Compatible determinado: Cuando su con-
junto solución tiene un número finito de so-
luciones.
x y z 5
x y z 3
x 2y z 0
  
   
   
Dicho sistema sólo se verifica si: x = 1, y = 1,
z = 3. En tal caso:  C.S. (1,1,3) , por tener
una solución se dirá compatible determinada.
• Compatible indeterminado: Cuando su
conjunto solución tiene un número infinito
de soluciones, así:
x 3y 6 (1)
2x 6y 12 (2)
 

 


Estas 2 ecuaciones se simplifican a una sola
ecuación de donde resulta: x 6y
3
 

 C.S. (0.2),(3,1),(6.0),....
Vemos que tendrá infinitas soluciones.
2. Incompatible
Son aquellos sistemas que no presentan
solución, su conjunto solución es el vacío. Así:
3x 2y 7
6x 4y 1
 

 
DESARROLLO DEL TEMA
Exigimos más!
SISTEMA DE ECUACIONES
83LIBRO UNI ÁLGEBRA
No existe x, y alguno que verifique simultánea-
mente a las ecuaciones.
En tal caso se dirá que el sistema no tiene so-
lución. Entonces:  C.S. ó C.S.  
B. De acuerdo al grado de las ecuaciones
1. Sistemas lineales
Son aquellos sistemas donde cada una de las
ecuaciones son de primer grado, así:
 

 
2x 3y 16.......(1)
8x 2y 36.......(2)
Cuyo conjunto solución es: ((5,2))
2. Sistemas no lineales
Son aquellos sistemas donde al menos una de
las ecuaciones no es lineal.
2 2x y 25.....(1)
x y 7....... (2)
  

 
cuyo conjunto solución es {(3; 4), (4; 3)}
V. ESTUDIO DEL SISTEMA LINEAL
En forma general: Consideramos un sistema lineal de
"m" ecuaciones con "n" incógnitas.
11 1 12 2 13 3 m n 1
21 1 22 2 23 3 2n n 2
m1 1 m2 2 m3 3 mn n m
a x a x a x .......a x b
a x a x a x .......a x b
a x a x a x .......a x b
   

   




    


Donde los aii son coeficientes y  1 2 3 nx x x .....x son las
incógnitas.
En tal caso el conjunto solución es:
 1 2 3 nC.S. (x x x .......x )  
Para la resolución del sistema utilizaremos los siguientes
métodos:
• Método de Gauss
Conocido como los métodos de eliminación, susti-
tución, igualación consiste en ir eliminando incóg-
nitas hasta llegar a una ecuación de una sola incóg-
nita.
Así, resolver:
  
   
   
2x y 2z 10.....(1)
3x 2y 2z 1.....(2)
5x 4y 3z 4.....(3)
(2) – 2(1): –x + 6z = –19......... (1')
(3) – 4(1): –3x + 11z = –36........ (2')
2' – 3(1'): –7z = 21  z = 3  z 3 
 C.S. (1,2 3) 
• Usando matrices
El sistema:
 
   

   




    
    
    
11 1 12 2 13 3 1n n 1
21 1 22 2 23 3 2n n 2
m1 1 m2 2 m3 3 mn n n
a x a x a x ........a x b
a x a x a x ........a x b
a x a x a x ......a x b
es equivalente al sistema matricial:

11 12 1n 1 1
21 22 2n 2 2
m1 m2 mn n n
X BA
a a .... a x b
a a .... a x b
a a ... a x b
     
     
     
     
     
          
    

AX B 
Si  m n A no es una matriz singular..
Se puede definir A–1 (matriz inversa de A), luego:
1X A B
Ejemplo:
  

 
2x 5y 4
Resolver
3x 2y 13
Solución:
Es equivalente al sistema matricial:
     
          
2 5 x 4
3 2 y 13
Donde:
12 5 2 51A A
193 2 3 2
              
     
1 2 51A
3 219
como: 
 
  
 
1 4X A
13
 
2 5 4 571 1X
3 2 13 3819 19
     
             
 
3
X
2
 
    
Luego: x = 3, y = –2  C.S. (3, 2)
• Método de los determinantes
Se utiliza cuando el sistema es determinado.
Sea el sistema:
    

    


    


   

11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
m1 1 m2 2 mn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
....(*)
a x a x a x b
SISTEMA DE ECUACIONES
Exigimos más!
84LIBRO UNI ÁLGEBRA
Dicho sistema siempre es compatible donde una de
sus soluciones es la trivial {(0, 0, 0 … 0)}.
Así mismo puede tener otras soluciones las llamadas
no triviales.
TEOREMA
Un sistema homogéneo (**) tiene soluciones aparte
a la trivial, si y sólo sí:
11 12 1 1n
21 22 2 2n
n1 12 n mn
a a b a... ...
a a b a... ...
 0
a a b a... ...
   
   
Ejemplo 1: Resolver 3x + 2y = 0
 5x – y = 0
Solución:
3 2
3 10 13
5 1
    

implica que la solución seria única, la solución trivial (0,0).
Ejemplo 2: Resolver 
 

 
2x 5y 0
6x 15y 0
Solución:
Como 
2 5
30 30 0
6 15
  
 La solución del sistema no sólo es la trivial (0,0); si
no que tendrá infinitas soluciones.
Veamos que ambas ecuaciones se reducen a una
sola 2x – 5y = 0.
  2y x
5
Asi: Si x = 5t, y = 2t
   (x, y) (5, 2)t / t
VI. ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES
Sea el sistema:
   
    


    
   
11 1 12 1 1n 1 1
21 1 22 2 2n n 2
n1 1 n2 2 mn n n
a x a x a x b...
a x a x a x b...
 
a x a x a x b...
Sabemos que la solución viene dado por:
 ii
i
 determinante del sistema
x
 determinante respecto a x


Llamaremos:
– Determinantes del sistema
 
 
 
  
 
 
 
 
   
   
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 mn
a a a... ...
a a a... ...
 
a a a... ...
– Determinante con respecto a alguna incógnita
Se conseguirá a partir del determinante anterior
reemplazando los elementos de la columna de
coeficientes de la incógnita en referencia por los
términos independientes.
11 12 1 1n
21 22 2 2n
n1 n2 n mn
a a b a... ...
a a b a... ...
 
a a b a... ...
 
 
 
  
 
 
 
 
    
    
REGLA DE CRAMER
La solución del sistema (*) puede determinarse ha-
llando cada incógnita como sigue:
 

i
1x , i 1...n
Ejemplo: Resolver: 2x 5y 4
3x 2y 13
  
 
Solución:
Calculando los determinantes:
 
        
2 5
4 15 19
3 2
 
       
x
4 5
8 65 57
13 2
 
     
 
y
2 4
26 12 38
3 13
De donde:
    
 
x 57x x 3
19

    
 
y 38y y 2
19
  C.S. (3, 2)
• Sistema homogéneo
Es un sistema de ecuaciones lineales se llamará
homogéneo si todos los términos independientes
son nulos, así:
   
   


   
 
  
11 1 12 2 11 1
21 1 22 2 12 1
n1 1 n2 2 mn n
a x a x a x 0...
a x a x a x 0...
 ...( )
a x a x a x 0...
Exigimos más!
SISTEMA DE ECUACIONES
85LIBRO UNI ÁLGEBRA
Diremos que el sistema tendrá:
A. Solución única
Esto sucede si y sólo si 0  .
B. Infinitas soluciones
Si y sólo si i0 0,    i 1,2,...n
C. No tiene solución
Si y sólo si 10 0    para algún i.
Ejemplo 1:
3x y 2 3 1
9 2 11 0
2x 3y 3 2 3
 
      
  
 El sistema tiene solución única.
Ejemplo 2:
 
 
3x 4y 5
6x 6y 10
Como:  3 4 5
6 8 10
Entonces el sistema tiene infinitas soluciones.
Ejemplo 3:
 
 
2x 5y 7
6x 15y 30
Como:   
2 5 7
6 15 30
 el sistema no tiene solución.
Problema 1
Al resolver el siguiente sistema:
3 x y 2 2x 3y 7 3      
32 x y 2 3 2x 3y 7 14     
se obtiene que el valor de (x + y) es:
UNI 2008 - II
Nivel fácil
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
Resolución:
Ubicación de incógnita
Piden: x + y
Análisis de los datos o gráficos
Llamemos:
3 x y 2 m  
2x 3y 7 q  
Operación del problema
3
3
x y 2 2x 3y 7 3
2 x y 2 3 2x 3y 7 14
       

      
Reemplazando el cambio de variable:
m q 3 ... I
2m 3q 14 ... II
  

 
De: 3 + 
Tenemos: 5m = 5
De donde: m = 1
Reemplazando:
3 x y 2 1  
x + y = –1
Respuesta: B) –1
Problema 2
Determinar k de manera que el siste-
ma tenga solución no trivial, dar como
respuesta la suma de los valores de K.
   
   
    
(1 k)x y z 0
2x ky 2z 0
x y (1 k)z 0
UNI
Nivel intermedio
A) 4 B) 5 C) 0 D) 6 E) 1
Resolución:
Tenemos:
   
   
    
(1 k)x y z 0
2x ky 2z 0
x y (1 k)z 0
Dato: Sistema homogéneo con solu-
ción trivial se cumple:
 
  
 
1 k 1 1
2 k 2 0
1 (1 k)
(1 – k)(– k)(– k –1) –2 + 2 – k + 2 (k + 1)
+ 2(k – 1) = 0
Luego: k3 – 4k = 0
De donde:      1 2 3k 0 k 2 k 2
   1 2 3k k k 0
Respuesta: C) 0
Problema 3
Dado el sistema de ecuaciones:
4 5 5
x y 1 2x y 3 2
  
   
3 1 7
x y 1 2x y 3 5
  
   
El valor de x + y es igual a:
A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
UNI 2007 - II
Nivel difícil
Resolución:
Haciendo un cambio de variable:
1 1a b
x y 1 2x y 3
  
   
Reemplazando en cada ecuación:
 
54a 5b ... ( )
2
73a b ... ( )
5
    

    

Sumando  + 5 
Tenemos 1919a
2
 
de donde: 1 1a b
2 10
   
Luego 
x y 1 2 ...(I)
2x y 3 10 ...(II)
   

  
Sumando:
I  II
3x + 2 = 8
x = 2  y = –3
Piden x + y = –1
Respuesta: A) –1
problemas resueltos
86LIBRO UNI ÁLGEBRA
PROGRAMACIÓN LINEAL
ÁLGEBRA
I. RESOLUCIÓN GRÁFICA DE UN SISTE-
MA DE ECUACIONES LINEALES
Dado un sistema de inecuaciones lineales conformado
por dos o más inecuaciones, la solución gráfica de dicho
sistema es la región que se determina al intersectar
todos los semiplanos originados por las inecuaciones
que conforma el sistema.
Ejemplo:
Resolver:
2x y 4 ... (1)
3x y 6 ... (2)
 

 
Resolución:
Inicialmente graficamos los semiplanos que correspon-
dan a cada inecuación del sistema:
(1) 2x y 4 y 4 2x     ; semiplano ubicado por en-
cima de la recta y = 4 – 2x, incluyendo a ésta.
y
4
2
x
(2) 3x y 6 3x y 6      
 y 3x 6 
semiplano ubicado por debajo de la recta y = 3x – 6,
incluyendo a ésta.
y
–6
2
x
Finalmente el conjunto solución del sistema viene dado
por la intersección de los semiplanos hallados, veamos:
x
y
4
–6
2
(2)
(1)
CS
II. PROGRAMACIÓN LINEAL
A. Concepto
Es un modelo matemático mediante el cual se
resuelve un problema indeterminado, formulado por
ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo,
también lineal.
La programación lineal consiste en optimizar (mini-
mizar o maximizar) una función lineal, que llamare-
mos función objetivo, de tal forma que las varia-
bles de dicha función estén sujetas a una serie de
restricciones que expresamos mediante un siste-
ma de inecuaciones lineales.
B. Función objetivo
Es una función lineal en dos variables que debemos
maximizar o minimizar. La función objetivo presenta
la siguiente forma:
F(x; y) ax by c  
donde a, b y c son constantes y x, y se llaman
variables de decisión.
C. Conjunto de restricciones
Es el sistema de inecuaciones lineales con dos
incógnitas que expresan un conjunto de limitaciones
que presenta el problema propuesto.
Aquí también se consideran a las variables de decisión
como valores no negativos, es decir x 0 y 0   .
D. Soluciones factibles
Son cada una de las soluciones que verifican al con-
junto de restricciones, cada solución factible se
representa por un punto del plano cartesiano.
E. Región factible
Se llama así al conjunto convexo formado por todos
los puntos que representan a las soluciones factibles,
en una región poligonal.
La región factible puede, o no, ser acotada, la pri-
mera incluye los puntos de su frontera y la otra no.
Observación: Sólo las regiones factibles aco-
tadas presentan siempre solución, en las otras
puede o no existir solución.
DESARROLLO DEL TEMA
Exigimos más!
PROGRAMACIÓN LINEAL
87LIBRO UNI ÁLGEBRA
F. Solución óptima
Es el punto cuyas coordenadas hacen de la función
objetivo un valor máximo o mínimo.
La solución óptima, en caso de existir, se alcanza
en un vértice de la región factible.
x
y
CB
A
D
S
S = región factible
A, B, C y D son posibles puntos de organización.
Problema 1
Determine el valor mínimo que toma la
función objetivo, P(x, y) = 10x + 20y
sujeta a las restricciones:
x y 2
x 2y 2
y x
 
  
 
Resolución:
Ubicación de incógnita
Valor mínimo de la función objetivo P
Análisis de los datos o gráficos
x y 2
P(x;y) 10x 20y x 2y 2
y x
 

   
 
Operación del problema
x = y
-1
1
2
A(1;1)
2
B(2;0)
x - 2y = 2
x + y = 2
Para A (1;1)
 P = 10(1) + 20(1) = 30 
Para B (2;0)
 P = 10(2) + 20(0) = 20 
Respuesta: 20
Problema 2
En relación a un programa lineal, indi-
que la secuencia correcta, después de
determinar si la proposición es verda-
dera (V) o falsa (F):
I. Las condiciones de no negatividad
significan que todas las variables de
decisión deben ser positivas.
II. El número de puntos extremos de
la región admisible es finito.
III. En un programa lineal pueden
variarse los coeficientes de la fun-
ción objetiva y aún mantenerse la
solución óptima.
UNI 2010 - I
Resolución:
Ubicación de incógnita
Valor de verdad
Operación del problema
I. FALSO
Tal condición establece que las
variables de recisión deberan ser
mayores o iguales que cero, es
decir: x 0 y 0   .
II. FALSO
En el caso de que el polígono sea
no acotado los puntos extremos
no se podrían determinar.
III. VERDADERO
De acuerdo con la Regla de Permu-
tación esta proposición es perfec-
tamente válida.
Respuesta: FFV
Problema 3
Un lago se llena de dos especies de
peces S1 y S2. La especie S1 proporcio-
na un peso promedio de 4 kg de car-
ne y la especie S2 un peso promedio
de 2 kg.
Dos tipos de comida F1 y F2 están dis-
ponibles en el lago. El requerimiento
promedio de la especie S1 es 1 unidad
de F1 y 3 unidades de F2, mientras que
el requerimiento de S2 en 2 unidades
de F1 y 1 unidad de F2 cada día. Si se
dispone diariamente de 500 unidades
de F1 y 900 unidades de F2, determine
el número total de peces en el lago
que maximice el peso total de carne
de pescado.
UNI 2011 - I
Resolución:
Ubicación de incógnita
* n° de peces de la especie S1: x;
peso promedio (S1) = 4 kg.
* n° de peces de la especie S2: y;
peso promedio (S2) = 2 kg.
Análisis de los datos o gráficos
Funciónobjetivo: F(x; y) = 4x + 2y
S (x)1 S (y)2
F1
F2
1x
3x
2y
1y
Operación del problema
x 2y 500
3x y 900
x, y 0
 

  
 
Graficando:
y
900
(0;250) (260;120)
(300;0)
500
x0
I. F(0,250) = 500
II. F(260;120) = 1280 (máximo)
III. F(300,0) = 1200
El número de peces que maximiza
es: 260 + 120 = 380
Respuesta: 380
III. MÉTODO ANALÍTICO O MÉTODO DE
LOS VÉRTICES
A. Descripción
Se determina la región factible calculando las coor-
denadas de todos sus vértices, luego cada punto
que corresponde a un vértice se reemplaza en la
función objetivo esperando obtener con alguno de
ellos un valor máximo o mínimo según corresponda
a la optimización.
B. Teorema
Si la función objetivo asume el mismo valor óptimo
en dos vértices de la región factible, también asume
el mismo valor en los puntos del segmento limitado
por dichos vértices.
problemas resueltos
88LIBRO UNI ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS
ÁLGEBRA
I. DEFINICIÓN
El sistema de los números complejos es el conjunto C de
todos los pares ordenados, de componentes reales,
z = (x,y) y dos operaciones llamadas adición y multipli-
cación tales que para cualesquiera dos elementos que
pertenezcan a C, como por ejemplo: z1 = (x1;y1) y z2 =
(x2;y2) se definen:
– z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) … (adición)
– z1  2z = (x1x2 – y1y2; x1y2 + x2y1) … (multiplicación)
II. FORMA CARTESIANA O BINÓMICA DE
UN COMPLEJO
Teorema
Todo número complejo z de la forma z = (x;y) será
posible expresarlo como z = x + yi tal que i 1  se
denominará unidad imaginaria.
Es decir z (x; y) x yi ; i 1    
Ejemplo:
z (2;3) 2 3i  
w (0;3) 0 3i 3i   
Si:
Re(z)....(Parte Real de z)
z x yi
Im(z)....(Parte Imaginaria de z)

   

A continuación vamos a definir para los números com-
plejos "x + yi" la relación de igualdad y las operaciones
de adición y multiplicación del siguiente modo:
A. Igualdad de números complejos
Dos complejos son iguales, si y sólo si sus partes
reales y sus partes imaginarias son iguales respecti-
vamente. Así:
1 1 2 2 1 2 1 2 x y i x y i x x y y       
B. Adición entre números complejos
Para hallar la suma entres dos números complejos, se
sumarán las partes reales y también las partes imagina-
rias.
Así:
1 1 2 2 1 2 1 2 (x y i) (x y i) (x x ) (y y )i       
C. Multiplicación entre números complejos
Para hallar el producto de multiplicar 2 números
complejos, para la parte real se multiplicaran las
partes reales menos el producto de las partes ima-
ginarias. Y para la parte imaginaria se multiplicará la
parte real con la segunda parte imaginaria au-
mentando en el producto de multiplicar la primera
parte imaginaria con la segunda parte real.
Así:
     1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 (x y i) (x y i) (x x y y ) (x y x y )i 
III. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA (PLA-
NO DE GAUSS)
En el plano cartesiano denominaremos al eje Y como
eje imaginario y al eje x como eje real.
Sea:     z a bi / a 0 b 0
Entonces su representación en el plano de "Gauss"
será como sigue:
DESARROLLO DEL TEMA
Exigimos más!
NÚMEROS COMPLEJOS
89LIBRO UNI ÁLGEBRA
IV. CANTIDADES IMAGINARIAS
Son aquellos números que resultan de extraer una raíz
de índice par a un número real negativo.
Así por ejemplo:
   4 2n1; 2; 5; 16
Donde: n
De todos estos el más importante es 1 ; al cual de-
nominaremos unidad imaginaria, cuya notación univer-
sal es  i 1 .
Aplicación:
16 16( 1) 16 1 4i     
5 5( 1) 5 1 5i     
A. Unidad imaginaria
El número complejo (0; 1) es la unidad imaginaria;
tiene la particular notación i = (0;1).
Teorema
 2i 1; i (0;1)
Prueba
   
   
  
2
2
 i (0;1)(0;1) (0 1;0 0)
 ( 1;0) 1
 i 1
Teorema
 y ; (0; y) yi  
Prueba

   
 
 yi (y;0)(0;1)
 (0 0; y 0) (0; y)
(0; y) yi
B. Potencias enteras de la unidad imaginaria
Estudiaremos el comportamiento del número ni ;
n  ; teniendo en cuenta la siguiente definición:
 0 1 i 1 ; i i 
1
2
3 2
4 2 2
5 4
6 4 2
7 4 3
i i
i 1
i i i i
i i i ( 1)( 1) 1
i i i i
i i i 1
i i i i

 
  
    
 
  
  





8 4 4
9 4
10 8 2
11 8 3
12 8 4
i i i 1
i i i i
i i i 1
i i i i
i i i 1
 
 
  
  
 





Se observa que las potencias enteras de "i" se re-
piten cada cuatro veces y sólo toman uno de los
cuatro valores i; –1; –i; 1; esto merece una espe-
cial atención.
Propiedades
Se observa principalmente que:
  4 8 12i 1 ; i 1 ; i 1 ; etc.
Esto implica que la unidad imaginaria elevado a un
múltiplo de cuatro es igual a la unidad.
Por lo tanto i4 = 1
En general 
o
4i 1
Luego deducimos que:
      
o o o
4 1 4 2 4 3i i i i ; 1; i 
Generalizando:
    
o
4 k ki i ; k 
Luego se deduce:
 
   
o
4 k– – ki i ; k 
Teorema
     k k ki ( 1) i ; k 
Propiedades
Sea i 1  la unidad imaginaria:
1.    2 3 4i i i i 0
2.         4k 4k 1 4k 2 4k 3i i i i 0 ; k
3.        n n 1 n 2 n 3i i i i 0 ; n
V. TIPOS DE NÚMEROS COMPLEJOS
A. Complejo real o puramente real
Es aquel número complejo que carece de la parte
imaginaria; es decir su parte imaginaria es cero.
NÚMEROS COMPLEJOS
Exigimos más!
90LIBRO UNI ÁLGEBRA
Notación:
 z x 0i x ; z    
B. Complejo imaginario puro
Es aquel número complejo que carece de la parte
real; es decir su parte real es cero; además su parte
imaginaria es diferente de cero.
Notación:
   z 0 yi yi ; y 0     
C. Complejo nulo
Es aquel número complejo que presenta la parte
real e imaginaria igual al número cero; es decir las
dos componentes son nulas.
Notación:
 z 0 0i 0  
VI. NÚMEROS COMPLEJOS ESPECIALES
A. Definición
• Dado el complejo z = x + yi se define el com-
plejo conjugado de z, denotado por z , como
así z = x – yi y el opuesto de z, denotado por
Zop = Z+, así Zop = –x – yi.
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE z = x + yi;
(   x 0 y 0) DE SU CONJUGADO Y SU OPUESTO.
VII.TEOREMAS
1 2z;z ;z 
1. z z z es complejo real  .
2. z z
3. z z z* z es complejo imaginario    .
4. z z 2Re(z) 
5. z z 2i Im(z) 
6. 1 21 2z z z z  
7. 1 21 2z z z z
8.      
 
11
2
2 2
z z ; z (0;0)
z z
9.    nnz z ; n   
10.   nn z z ; n   
VIII.DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Sean los números 1 2 2z , z z (0, 0) para efectuar la
 1
2
z
z habrá que multiplicar a z1 y z2 por 2z con lo
cual se obtiene:
1 2z a bi;z c di   
  
  
1
2
z (a bi)(c di)a bi
z c di (c di)(c di)
  
2 2
(ac bd) (bc ad)i
c d
2 2 2 2
a bi ac bd bc ad 
c di c d c d
   
  
IX. MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN
COMPLEJO
Dado z = a + bi ; el módulo o valor absoluto de z es un
número real no negativo denotado por z ; tal que
2 2 z a b  .
Observación
a;b z a | z | | a |    
 z bi | z | | b |  
Propiedades
De la definición de módulo se desprende las siguientes
propiedades; sean 1 2Z; Z ; Z  entonces:
1.    z 0 ; z 0 z (0;0)
Exigimos más!
NÚMEROS COMPLEJOS
91LIBRO UNI ÁLGEBRA
2. *z z z 
3.
2z z z 
4. (z) z ; Im(z) z  
5. 1 2 1 2z z z z
6. 11 2
2 2
zz
 ; z (0;0)
z z
  
7. nnz z ; n  
8. n nz z ; n n 2   
9. 1 2 1 2z z z z  
10. 1 2 1 2z z z z  
X. POTENCIACIÓN
La potenciación en forma binómica tiene muchas limi-
taciones; por ello se utiliza cuando las potencias son
pequeñas.
Resultados importantes
    
      
     
  
 
2 2
3 3
4 4
(1 i) 2i ; (1 i) 2i
(1 i) 2i(1 i) ; (1 i) 2i(1 i)
(1 i) 4 ; (1 i) 4
1 i 1 ii ; i
1 i 1 i
XI. FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA
DE UN NÚMERO COMPLEJO
Sea z = a + bi un número complejo diferente del nulo.
Es decir z 0
De la figura x z Cos , y z Sen 
Donde: yTan
x
 
Entonces: z x yi z Cos z Sen i     
z z (Cos iSen )    
Es la representación trigonométrica o polar de un com-
plejo; donde el ángulo  se le denomina el argumento de
z denotado por Arg(z); es decir: Arg(z)  
Se observa que puede tomar infinitos valores como:
1   ; 2 2     ; 3 4    
XI. ARGUMENTO PRINCIPAL DE UN NÚ-
MERO COMPLEJO
De todos los valores de  ; elegimos aquel que se encuen-
tra en el intervalo 0;2 ; es decir 0 2   ; a dicho  se
le denomina argumento principal, cuya notación es:
Arg(z)  
Conociendo el argumento principal de z denotado por
Arg(z) podemos generar otros cuya notación es:
arg(z) Arg(z) 2k   K 0; 1; 2; 3; ...   
A. Teorema
Dados los números complejos no nulos:
z z (Cos iSen )   
w w (Cos iSen )   
Se verifican:
1. zw z w (Cos( ) Sen( )       
2. zz (Cos( ) iSen( ))
w w
       
Observaciones:
Para multiplicar complejos en la forma polar se mul-
tiplica los módulos y se suma los argumentos.
arg(z w) arg(z) arg(w) 
Para dividir complejo en la forma polar se dividen
los módulos y se resta los argumentos.
zarg arg(z) arg(w)
w
    
 
B. Teorema (de De Moivre)
Dados z z (Cos iSen ); z (0;0) n       
Se tiene nnz z (Cos iSen )   
Corolario
narg(z ) narg(z) ; n
XII.RAÍCES "n-ésimas" DE LA UNIDAD
Se pide hallar: nkx 1
Donde: 
z 1
z 1 oi
0
   
  
   
 
 
k
2kLuego : x Cis
n
k 0,1,2,..........,n 1
NÚMEROS COMPLEJOS
Exigimos más!
92LIBRO UNI ÁLGEBRA
Donde:
0
0
1
2
2
n 1
n 1
x w 1
x w
x w
x w 
 




Entonces: Las "n" raíces de la unidad serán:
 2 3 n 11,w,w ,w ,.....,w
Teorema:
Si w es una raíz enesima de la unidad y w 1 ,
Entonces: 1 + w + w2 + ......+ wn-1 = 0
XIII.FORMA EXPONENCIAL DE UN COMPLEJO
Teorema de Euler
ie Cos iSen    
Donde:
e es el número de Euler e = 2,718281
 argumento en radianes; i = (0; 1)
Entonces tenemos una nueva representación para el
complejo. iz z (Cos iSen ) z e    
iz z e 
XIV.RAÍZ DE UN NÚMERO COMPLEJO
Una raíz n - ésima del número complejo z = x + yi es
número complejo W, tal que wn = z.
Es decir: n nz w w z  
               
    
n
k
2k 2k
w z Cos iSen
n 3
Donde: k = 0, 1, 2, ......., n – 1
Son las raíces de z = x + yi
Problema 1
Dadas las siguientes proposiciones:
I. Las raíces de ein – 1 = 0, pertene-
cen a un polígono regular de n la-
dos,  n .
II. Si     i 3e a bi y ;
4 4
, enton-
ces   2 2 2a ; y b ;1
2 2 2
.
III. Dados    , 0;2 , tales que   ,
si   cos( ) cos( ), entonces  i( )e 1.
UNI 2010 - I
Indique cuáles son correctas:
A) Solo I B) Solo II
C) Solo III D) I y II
E) II y III
Resolución:
I. Falso
Las raíces n-ésimas de la unidad al
ser llevadas al diagrama de Argan'd
están generan un polígono regu-
lar si:   n n 3.
II. Falso
De donde:   2 2a ;
2 2
; pues
 a cos( ).
Asi mismo 

 

2 1b ;
2
Pues  b sen( ).
III. Verdadero
        cos( ) cos( ) 2k
 i( )e 1
Respuesta: C) 1
Problema 2
La raíz cúbica del número complejo z = –2
de mayor argumento principal, es tam-
bién raíz 18-ésima de otro complejo
u = a + bi con a y b números reales.
Determine a + b.
UNI 2009 - II
A) 52 ( 3 1) B) 26
C) 72 ( 3 1) D) 28
E) 29
Resolución:
Determine: a + b, a partir de: V = a + bi
Analizando:
    Z 2 Z 2Cis
Calculando:
      
 
3 3 2kZ 2 Cis
3
donde: k = 0, 1, 2
Siendo el de mayor argumento, si:
      
 
3
2
5K 2 Z 2 Cis
3
La cual también es una de las raíces de:
 18 18U a bi
Entonces: 
    
 
3 1852 Cis a bi
3
Elevamos a la 18 a ambos miembros:
         
18
3 1852 Cis a bi
3
  
62 Cis(30 ) a bi
1
Luego: 36 + oi = a + bi
   6a 2 b 0
Respuesta: B) a + b = 26
Problema 3
Sabiendo que 1, W y W2 son las tres
raíces cúbicas de la unidad real. Calcular:

2 3 50W W W WR (.....((W ) ) .....)
A) W2 B) 1 C) –W
D) W E) –W2
Resolución:
La expresión dada es:
    
2 3 50W W W .... WR (W)
   

1 2 3 ... 50WR (W)
 
3KW 1R (W) W
 R W
Respuesta: D) W
problemas resueltos
Exigimos más!
NÚMEROS COMPLEJOS
93LIBRO UNI ÁLGEBRA
Problema 4
Reducir:
i2 + i4 + i6 + .... + i102
A) i
B) –i
C) 1
D) –1
E) 0
Resolución:
Recordemos que:
    4K 2 4Ki i 0; K
En el problema:
      
2 4 6 98 100 102E i i i ... i i i
se anulan cada dos
   102 4K 2 2E 0 i i i
  E 1
Respuesta: D) –1
Problema 5
Si    5 3i x yi; x, y .
Calcular:  yx
y x
A) 
10
3
B) 
10
3
C)  5
3
D) 
5
3
E) 
15
2
Resolución:
Elevando al cuadrado ambos miembros
de la igualdad tenemos:
5 – 3i = x2 – y2 + 2xyi
Por igualdad de complejos:
    2 2 3x y 5 xy
2
Se pide calcular el valor de:
  
2 2y x yxK
y x xy
   10K
3
Respuesta: A)  103
Problema 6
Calcular z siendo:
   z (2 i)(3 i)(1 i)
A) 2 10
B) 10
C) 10
D) 10 2
E) 2 5
Resolución:
Por propiedad se plantea:
    z 2 i 3 i 1 i
  z 5 10 2 100
 z 10
Respuesta: C) 10
	SEM 1
	SEM 2
	SEM 3
	SEM 4
	SEM 5
	SEM 6
	SEM 7
	SEM 8
	SEM 9
	SEM 10
	SEM 11
	SEM 12
	SEM 13
	SEM 14
	SEM 15
	SEM 16
	SEM 17
	SEM 18
	SEM 19
	SEM 20
	SEM 21