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SEMANA 1 
 
 
TEORÍA DE EXPONENTES 
ECUACIÓN DE 1º GRADO 
 
1. Efectuar: 
1 1
1
3 2 24E 27 36 2
3
 

       
 
 
A) 3 B) 6 C) 2 
D) 1 E) 0 
 
RESOLUCIÓN 
13 127
3
*
  
12 136
6
*
  
1
4 3
3 4
*

 
 
 
 
2 12
4
*   
 1 1E   
RPTA.: D 
 
2. Simplificar: 
     
0,2
2 5
4
3 3E 27 27 2 3

   
     
 
 
A) 
2
3
 B) 
3
2
 C) 2 
D) 3 E) 1 
 
RESOLUCIÓN 
 
2
3
2
3
1 1
* 27
927

  

 
 
 
5
3
5
3
4
1 1
* 27
24327
1
* 3
81


  


 

0,2 0,2
1 1 2 27 1 6
E
9 243 81 243
 
    
      
   
 
2
0,2 0,2 5 1032 243 3
E
243 32 2
       
        
       
 
3
2
E  
RPTA.: B 
 
3. Calcule: 
  
0 6
3 22
3 0 125
,
E ,

 
   
 
A) 8 B) 6 C) 4 
D) 2 E) 5 
 
RESOLUCIÓN 
6 2
0 6
9 3
,   
 
 
 
1 2
3 32 2
3 1E
8

 
   
 
 
 
 
1 2
3 33 32 2 2E 8 8 4   
RPTA.: C 
 
4. Efectuar: 
0,5
12
1
1
4
16
0,51 1 0,25
625 9


 
  
 
       
   
 
A) 21 B) 22 C) 23 
D) 24 E) 25 
 
RESOLUCIÓN 
1 1
2
4 2
4
1 1 1
625 9 4
625 9 4²
  
     
      
     
 
 
5 + 3 + 16 = 24 
RPTA.: D 
 
5. Para 2n ; n  
 el equivalente de la expresión 
n
n 3n 5 2n 1n² na a² a³...a a a³ a ...a

 
 
 
será: 
 
A) a B) a² C) 0 
D) a E) n a 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
   2
2
n n
n 3 n 3n n 1 n n 1
nn² n n n2 2
n 3
2
a a a a
a
  

   
   
   
   

n
n
n 3 
 
 
 
1
2a a 
RPTA.: D 
 
6. Efectuar: 
 
48 factores
33 3 3 3
1
44 factores
x x x... x x
A ; x 0
xx x x... x


  
 
A) x6 B) x9 C) x4 
D) x7 E) x7 
 
RESOLUCIÓN 
48
3
344
16
2
11
18
11
7
x x
A
x
x
x
A x
x
x
A
x
A x
 


 
 
RPTA.: E 
 
7. Efectuar: 
x 1
x
x 2 2x 2
20
4 2

 
 
 
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 5 E) 6 
 
RESOLUCIÓN 
x x
x x
x 2 x 1 x
x x
20 20 20 20
4 4 4 4 4 20
5 5



 
RPTA.: D 
 
 
8. Si: 
1 1
2 2 1 1
1 1 2 2
a b a b
P y Q
a b a b
 
   
   
    
    
   
 Halle P . Q, siendo b > a > 0 
 
A) 
1
b a
 B) 
1
a b
 
C) 
 
2
a b
a b


 D) 
 
2
a b
a b


 
E) 
 
2
1
b a
 
 
RESOLUCIÓN 
 
1ab
P y Q
b a ab b a
 
 
 
 
 
2
1
1
ab
PQ
b a ab b a
PQ
b a
 
 


 
RPTA.: E 
 
9. Simplificar: 
a b
b aa b
14 14
M
2 14 2 14



; si: a + b = ab 
 
A) 14a+b B) 14 C) 7 
D) 
14
2
a b
 E) 7a+b 
 
RESOLUCIÓN 
   
a b a b
a 1 b 1 1 a b
14 14 14 14
M
2 14 14 2 14 14 14
1
M
1
7
M 7
  
 
 
 

 
RPTA.: C 
 
10. Si: a+b = 2ab ; {a;b} -{0;1} 
 
 
Reducir: 
a b
1 1
aa b a1 12ab 2b b
x y
x y

  
 
A) 
x
y
 B) 
y
x
 C) 
x
y
 
D) 
y
x
 E) 1 
 
RESOLUCIÓN 
1 1
1 1
1 1
a b
a b x y
x y

 
 
1
1 1 11 1 2 1
1 1
1
1
b b b
a b
b
x x
y
y
    
 

 
      
  
 
 
(*) a + b = 2ab 
1 1
2
a b
   
1
2
1 1 2 1
2 2 1
a b b b
x x
y y
 
      
 
 
  
 
 
RPTA.: A 
 
11. Resolver 
1
1
x
5x
1
5
x

  e indicar 
el valor de: x1 
 
A) 
1
5
 B) 5 C) 
1
5
 
D) 5 E) 
1
5
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
Cambio de variable: 
1
y
x
 
y
5y
y
5y
1
y 5 5y
1
y 5
y 5
y 5 y 5
y 5
x 5
 
 
   
 

 
RPTA.: B 
 
12. Si:
2xx 2
  
Calcule: 
2 x 14xE x

 
 
A) 
1
2
 B) 
1
4
 C) 2 
D) 4 E) 5 
 
RESOLUCIÓN 
Elevando al cuadrado el dato 
m. a.m. 
 
2x
2 2 2
1
2
x 2 x 2
1
x 2 x
2

 

   
   
 
 
Luego: 
2 x4x xE x 
 
 
 
1
2
2 x 2
2
4x
4x
x x
1
44x
x 4x 2
E x x
E x x E x
 
 
 
 
    
 
    
 
 
 E = x² 
2
1 1
22
E
 
   
 
 
RPTA.: A 
 
 
13. Calcule “x” en: 
 
 
321 2 x3
x21 2 x x321 2 x x


 
 
A) 27 B) 3 9 C) 9 3 
D) 3 21 E) 3 20 
 
 
RESOLUCIÓN 
Trabajando con cada miembro. 
xx n nx n x n x n.......( )     
 
Luego: 
 
321 2 x
3
21 n 21
3
n
3
2 x n 21
2 x n 21
2 x n 21.............( )

 
 
  
   
 
 
() en (): 
3
3
2 21
2 21
n
n n n
n n
 
  
 
 
 
Solo se verifica para: n = 27 
 
27 3
9
x 3
x 3
 

 
RPTA.: C 
 
14. Reducir: 
5
64
3
5 3 4 7
1
x
xx² x x
x²
 
 
A) x B) 
3
4x C) 
5
4x 
D) 
1
2x E) 
7
4x 
 
 
RESOLUCIÓN 
30 6027 51x x 
60 60 6054 51 105x x x  
4 7
7
4
x
x


 
RPTA.: E 
 
15. Si: 52x = 2(10x)  4x 
 
Calcule:   
1 42
2
xx
E x
 
  
 
A) 236 B) 256 C) 512 
D) 128 E) 0 
 
RESOLUCIÓN 
     
 x x x x
2 2
x x x x
5 2 0 5 2
5 2 2 5 2 0
   
   
 
 x = 0 
 
Reemplazando: 
  
1 42
E 2
 
  
2
1
2
1 1
16 16
E E

  
   
 
 
 
  E = 16² = 256 
RPTA.: B 
 
16. Resolver: 
 
1 3 2 2 3 1
0
1 2 3 4 5x x x x x x
     
    
 
A) 
3
2
 B) 
2
5
 C) 
2
3
 
D) 
5
2
 E) 4,5 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
   
2 2 2
1 3 2 1 3 3
x x 1 x 3 x 5 x 1 x 4
2 2x 5 3 2x 52x 5
x 5x x 5x 6 x 5x 4
    
    
 
 
    
 
  2 2 2
1 2 3
2x 5 0
x 5x x 5x 6 x 5x 4
 
  
           
 
  0 
 
2x 5 0
5
x
2
  

 
RPTA.: D 
 
 
17. Halle el conjunto de solución de la 
ecuación en “x”. 
    0 0
a b
x a x b x ; a ; b
b a
      
 
A)  B) {a} C) {b} 
D) {a + b} E) {a  b} 
 
RESOLUCIÓN 
Multiplicando por “ab”. 
a² (x  a) + b² (x + b) = ab x 
 a²x  a³ + b²x + b³ = ab x 
 (a² + ab + b²)x = a³  b³ 
 (a²+ab+b²)x = (ab)(a²ab+b²) 
 x = a  b 
 
Cs = {a  b} 
RPTA.: E 
 
18. Resolver en “x”; {a; b; c; d}  R+ 
 
4
d ax d bx d cx d
x
b c a c a b a b c
   
   
    
 
A) 1 B) d 
C) 
d
a b c 
 D) 
2 3a b c
d
 
 
E)  
 
RESOLUCIÓN 
0
d ax d bx d cx
x x x
b c a c a b
d
x
a b c
  
     
  
 
 
 
 
0
d ax bx cx d bx ax cx
b c a c
d cx ax bx d ax bx cx
a b a b c
     
 
 
     
 
  
 
 
 
1 1 1 1
0d a b c x
b c a c a b a b c
 
 
                
 
  0 
 
  d = (a + b + c) x 
 
d
x
a b c
 
 
 
RPTA.: C 
 
19. Calcule a + b sabiendo que la 
ecuación en “x” 
1 2
2
4
ax x
x
b
 
   admite 
infinitas soluciones. 
 
A) 
1
4
 B) 
3
2
 C) 
2
3
 
D) 3 E) 1 
 
RESOLUCIÓN 
Recordando que: 
 
ax + b = 0 tiene infinitas 
soluciones, si y solo si: 
 
a = 0  b = 0 
 
 
1 1
2 0
4 2
a x
x x
b b
      
 
1 1 1
1 2 0
4 2
a
x
b b
   
        
   
 
 
 
 
1 1 1
1 2
4 2
a
b b
     
 
5 1 3
4 2
a
b b
   
 
 
2 5
3 6
b a   
9 3
6 2
a b    
 
RPTA.: B 
 
20. Resolver la ecuación 
2 3 5
3
3 5 2 5 2 3
x x x  
  
  
 
 
luego indique el valor de: 
   
 
2 4
6
3 2 5 2
3 5
x x
x
     
 
 
 
A) 22 B) 25 C) 3 2 
D) 5 3 E) 7 5 
 
RESOLUCIÓN 
x 2 x 3
1 1
3 5 2 5
x 5
1 0
2 3
 
   
 

 

 
 
  1 1 1x 2 3 5 0
3 5 2 5 2 3
 
      
   
 
  0 
 
 2 3 5x    
 
 Pero nos piden: 
     
2 4 6
5 3 2
5 9 8 22
  
  
 
 
RPTA.: A 
 
SEMANA 2 
POLINOMIOS – V.N. - GRADOS 
 
21. Sea el polinomio: 
P(X) = (x
n1 + 2xn2 + n)n, si 2n 
veces su término independiente es 
igual a la suma de sus 
coeficientes, entonces “n” es: 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
RESOLUCIÓN 
T.I. = P(o) = nn 
coef = P(1) = (1 + 2 + n)
n 
 2n . nn = (3 + n)n 
 2n = 3 + n  n = 3 
RPTA.: C 
 
22. Calcule “m” si la expresión: 
 
m mm m m
x
M x x² x³ x 
se transforma a una expresión 
algebraica racional entera de 5to 
grado. 
 
A) 8 B) 9 C) 10 
D) 11 E) 12 
 
RESOLUCIÓN 
m 1
mm
m 1 2 3 .... m 2
x
M x x
 
 
       
  
m 1
52
X
M x x

  
  m = 9 
RPTA.: B 
 
 
 
 
 
 
 
23. Calcule “n” para que el monomio 
sea de 2º grado. 
 
  
  
23
n 2 2n 3 4
x 22
n 4
x x x
M
x x
 
 
 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 8 E) 9 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
2
3n 6 2n 3 4 10n 4
x 2 4n 8
2n 4
x x x
M
xx
   


  
 
 M(x) = x
6n  22 = x2  6n  22 = 2 
 
  n = 4 
RPTA.: A 
 
24. Si: 
a b c
a b b c a c
 
  
 
Halle el grado absoluto de: 
 
 
 
2 2 2a b c 9a 8ac 8bcE x;y;z x y z
 
 
transformable a una E.A.R.E. 
 
A) 3 B) 4 C) 5 
D) 7 E) 8 
 
RESOLUCIÓN 
El G.A. = 
 
 
9a² 8ac 8bc
.....
a b ² c²
 

 
 
de la condición: 
a b c
k
a b b c a c
  
  
 
 
Propiedad de proporciones: 
 
a b c 1
2 a b c 2
 

 
 
 
a 1
a b c k
a b 2
    

 
 
 Lo reemplazamos en “” 
 
9a² 8a² 8a² 25a²
G.A. 5
4a² a² 5a²
 
  

 
RPTA.: C 
 
25. Si: P(x+5) = x²  3x + 1 
Calcule: E = P(8) + P(6) 
 
A) 0 B) 1 C) 2 
D) 3 E) 7 
 
 
RESOLUCIÓN 
E = 3²  3(3) + 1 + 1  3 + 1 
E = 0 
RPTA.: A 
 
26. Del siguiente polinomio 
P(x; y) = 7xa+3yb2z6a+5xa+2yb3za+b 
en donde: 
G.Rx  G.Ry = 3  G.A(P) = 13 
Calcule: a + b 
 
A) 6 B) 7 C) 8 
D) 11 E) 12 
 
RESOLUCIÓN 
G. RX = a + 3 G.A(P) = a+b+1 
 G. Ry = b  2 
 a + b = 12 
RPTA.: E 
 
27. Sea P(x) un polinomio lineal tal 
que verifica la relación 
    x 6XP P P 9x 21    
Para todo valor de “x”. Halle P(4) 
 
A) 17 B) 18 C) 19 
D) 32 E) 33 
 
RESOLUCIÓN 
Sea P(x) = ax + b  P(6X) = 6ax + b 
 P(P(x)) = a(ax+b)+b = a²x+ab+b 
 
 Luego: 
 a²x + ab + b  6ax  b = 9x+21 
 
 (a²  6a)x + ab = 9x + 21 
 
 a²  6a = 9  ab = 21 
 (a3)² = 0 
 
 a = 3  3b = 21 
 b = 7 
 Entonces: P(x) = 3x + 7 
 
 
  P(4) = 3(4) + 7 = 19 
RPTA.: C 
 
28. Calcule “n”, si el G.A. del 
monomio es 6. 
 
34 2n 4 2n 3
52n 165
x z
M x;y;z;w
y w
 
 
 
A) 12 B) 13 C) 14 
D) 11 E) 10 
 
RESOLUCIÓN 
G.A. = 
2n 4 2n 3 2n 16
6
4 3 5 5
 
    
 
 30n  60 + 40n + 60  24n  192 = 360 
 
 46n = 360 + 192 
 46n = 552 
  n = 12 
RPTA.: A 
29. Calcule “n” si el monomio es de 
4to. grado  
2 3n
x
M x x x 
 
A) 1 B) 3 C) 2 
D) 
1
2
 E) 
1
3
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
6n2n
x
1 1 1
2 n 6n
x
M x x² x
M x
 


 
 
 
1 1 1
4
2 n 6n
   
 3n + 6 + 1 = 24n 
 
 7 = 21n 
  n = 
1
3
 
RPTA.: E 
30. Si: 
 x
nx 1
P
x 8



 
 
Además P(P(x)) es independiente 
de “x”. Calcule “n” 
 
A) 1 B) 8 C) 
1
8
 
D) 8 E) 5 
 
RESOLUCIÓN 
  
   
 
2
x
n 1 x n 8
P p
n 8 x 65
  

 
 
 
como es independiente de “x” se 
cumple: 
n² 1 n 8
n 8 65
 
 

65n² + 65 = 
n²  16n + 64 
 
 64n² + 16n + 1 = 0 
 
 8n 1  n = 
1
8
 
 8n 1 
 
RPTA.: C 
31. Si:    xP P P 27x 52  
Calcule: P(1) 
 
A) 1 B) 4 C) 4 
D) 5 E) 1 
 
RESOLUCIÓN 
Como    xP P P es lineal, 
entonces: P(x) es lineal. Luego 
P(x) = ax + b 
 P(P(P(x))) = a³x + a²b + ab + b 
 27x + 52 = a³ + a²b + ab + b 
 a = 3  b = 4 
  P(x) = 3x + 4 
 P(1) = 3 + 4 = 1 
RPTA.: E 
 
 
 
32. Halle la suma de los valores de 
“n” que hacen que la expresión: 
 
n
n 3 7 n3
x
1
P 2x 7 x x 6
3
     sea 
racional entera. 
 
A) 7 B) 8 C) 9 
D) 12 E) 13 
 
 
RESOLUCIÓN 
n  3  0  
n
7 n 0
3
    
n  3  n = 3  n  7 
 n = 6 
 
 n = 3  n = 6 
 
de "n" 9  
RPTA.: C 
 
33. Sabiendo que: 
   m 2 n² 5
n 5 m 4
P x;y 5x y Q x;y
2x y
 
 
  
 
son semejantes. Calcule el menor 
valor de m + n. 
 
A) 1 B) 3 C) 5 
D) 8 E) 13 
 
RESOLUCIÓN 
Si: P(x; y)  Q(x; y) 
 
 m  2 = n + 5  m  n = 7 ....() 
 n² + 5 = m+4  n²m = 1 ...() 
  + : n²  n  6= 0 
 n = 3  n = 2 
 
 
 
Luego: 
 n = 3  m = 10 
 n = 2  m = 5 
  menos: m + n = 3 
RPTA.: B 
 
34. Sea P(x) = x³ + 3x + 3x² + 1 
Calcule: P(P(1)) + P(P(1)) 
 
A) 0 B) 3 C) 728 
D) 729 E) 730 
 
 
RESOLUCIÓN 
P(x)= (x+1)³  P(1)=0  P(P(1)) = 1 
 P(1) = (2)³ = 8  
P(P(1)) = P(8) = 9³ = 729 
  P(P(1)) + P(P(1)) = 1+729 = 730 
RPTA.: E 
 
35. Si el polinomio en “x” e “y” 
P(x, y) = 5xa + 3xbyc + 2xcyb + ya 
es homogéneo ordenado y 
completo respecto de “x” e “y”. 
Calcule: 2a + b + 3c 
 
A) 17 B) 13 C) 15 
D) 16 E) 18 
 
RESOLUCIÓN 
Por ser ordenado y completo: 
a = 3; b = 2 y c = 1 
 2(3) + 2 + 3(1) = 6 + 2 + 9 = 17 
RPTA.: A 
 
36. Calcule “m” si el polinomio 
 
 
n2n n 1n 8n 2n 2
x
n 1 m² m 3
P 7x 6x 5x
x ... x
 
  
   
 
 
es completo y ordenado; en forma 
ascendente; de 4nn términos. 
 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 8 
 
RESOLUCIÓN 
Es ordenado en forma 
ascendente: 
 
 n2n  8n = 0  n = 2 
Luego: 
 
0 m³ m 3
x
P 7x 6x 5x² x³ ...x      
 
El número de términos es: 
 
 
 
m²  m + 3 + 1 
 m²  m + 4 = 4nn 
m²  m + 4 = 16 
 m²  m  12 = 0 
 m = 4 
RPTA.: A 
 
37. Halle a y b en la identidad: 
4a 7 b 8 b 7 a 8b x b y a x a y   
 
A) 1 y 3 B) 
1 1
y
2 3
 
C) 
1 1
y
2 4
 D) 1 y 
1
4
 
E) 0 y 1 
 
RESOLUCIÓN 
aa = bb  
a  
b
ab ...   ab = b4a  b = 2a 
 a = 
1 1
b
4 2
  
RPTA.: C 
 
38. Siendo: P(xn + 1) = x  1 
Halle: “n”, si: P(3) = 
7
8
 
 
A) 
1
3
 B) 
1
2
 C) 
1
2
 
D) 
2
3
 E) 
1
3
 
 
RESOLUCIÓN 
 xn + 1 = 3  xn = 2  x = n 2 
 
Luego: 
 P(3) = 
n 72 1
8
   
 
1
3n n
1
2 2 2
8
1
n
3
  
  
 
RPTA.: E 
 
 
39. Sea P(x) un polinomio 
P(x) = (3x  1)n+5x + 1; además 
la suma de coeficientes es 70. 
Calcule el valor de: 10 n 
 
A) 6 B) 5 C) 4 
D) 12 E) 3 
 
RESOLUCIÓN 
  ncoef P 1 2 5 1 70     
 2n = 64  n = 6 
 10 6 4   
RPTA.: C 
 
40. Dado el polinomio mónico 
P(x) = 5x
4  7ax5 + (n2)x74x  1 
 Calcule el valor de: nn 
 
A) 1 B) 4 C) 27 
D) 25 E) 16 
 
RESOLUCIÓN 
Por ser mónico y de una variable 
“x” (coeficiente principal = 1) 
 (n  2) = 1  n = 3 
 Luego nos piden: nn = 33 = 27 
 RPTA.: C 
 
SEMANA 3 
PRODUCTOS NOTABLES 
41. Si  ,yx3
x
y
y
x 22
 halle 
 
4
y
x
x
y
x
y
y
x
W 





 0y,0x  
 
A) 16 B)
32 C) 24 
D)
42 E) 2/116 
 
RESOLUCIÓN 
  yxxy3yx 33  
      yxxy3yxxy3yx 3  
   0yx 3  
 
 
 yx  16
x
x
x
x
W
4
x
x
x
x






 
RPTA.: A 
 
42. Si 1aa 1   , halle 1212 aaW  
 
A)256 B)306 C) 343 
D)322 E)196 
 
RESOLUCIÓN 
 a²  2 + a2 = 1 
 a² + a2 = 3 
 a4 + a4 = 7 
 a12 + a12 + 3(7) = 343 
 a12 + a12 = 322 
 RPTA.: D 
 
43. Si 8 8 8m n m p p m 0,      
 Halle 
4n 2p
4m 2n
m n 1
W
m p 1
 

 
 
 m, np R  
 
A) mnp B)1 
C) mnp D) pnm  
E)
12 
 
 
RESOLUCIÓN 
 nm0nm8  
pm0pm8  
mp0mp8  
 w = 1 
 RPTA.: B 
 
44. Si: ,0zyx 666  halle 
 
 0Rz,y,x,
yzxzxy
zyxxyz9
W
4
3












 
A) 
116 B)32 C) 18 
D)16 E)8 
 
RESOLUCIÓN 
      
3 3 3
6 66 6x y z 3 xyz   
   36366 zyx  
   zyzxy3x 66  
    262 xyz3zyx  
  3 xyz9yzxyxy2zyx 
 
2
zyxxyz9
yzxzxy
3 

 
 
162
2
zyxxyz9
zyxxyz9
W 4
4
3
3
















RPTA.: D 
 
45. Si x b c a   
 y c a b   
 z a b c   
 
 Halle: 
    cbacbabacacb
xyzzxyyzx
W
222



 
 A)
y
x
 B) acb  
C)  zy2  D)
abc
1
 
E)1 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
1
cbaxyz
zyxxyz
W 


  
 
x + y + z = a + b + c 
RPTA.: E 
 
46. Simplificar: 
5
4
44
128
128128
W












 
 
A) 343 B) 24 C) 232 
 
 
D) 28 E) 32 
 
RESOLUCIÓN 
 
128
128282
f
44
2


 
2
128
1282
f
4
4
2 


 
2f2f2  
 
5
2W  
 24W  
RPTA.: B 
 
47. Si ,yx3xy 11   halle 
 
 
 







 

22
224
yx4
yx3yx
W 
 
A)11 B)7 C)-6 
D)4 E)8 
 
RESOLUCIÓN 
 3
x
y
y
x
 
 xy3yx 22  
 xy5yxy2x 22  
   xy5yx 2  
   224 yx25yx  
 
25x²y² 3x²y²
w
4x²y²

 
RPTA.:B 
 
48. Simplificar: 
     
    3n2 842
32 128842
factn...121212121
12...12121231
W




 
A) 0,5 B)2 C)4 
D) 0,25 E)1 
 
 
RESOLUCIÓN 
   121212D 2  
N 3 N 32 2 2 8D 2 2 2

   
   
22 2 22 1 2 1 2 1    
 . 
 .   12121 22 N 
 . 
 
12
2

n
   1212 44  
 
  128  
 1
2
2
D
N
8
8
 . 
 . 
 . 
 
 2562 1 
 32 256 8N 2 2  
 
RPTA.: E 
 
 
49. Operar: 33
33
72
1
33
72
1W  
 
A)1 B)2 C)3 
D) 72 E) 32 
 
RESOLUCIÓN
 W
27
28
13
33
72
1
33
72
1W 33 
 W
27
1
32W 33  
W2W3  
1W2WW3  
RPTA.: A 
 
50. Si       1bcacab 111   , 
 
Halle:
   
   1c1b1a
1c1b1a
W


 , 
 
0c,b,a  
 
A)1 B)-1 C)2 
 
 
D)
abc
1
 E)
12 
 
RESOLUCIÓN 
 1
bc
1
ac
1
ab
1
 
 abccba  
 0abccba  
 
abc ac bc c ab a b 1
W 1
abc ac bc c ab a b 1
      
  
      
 
W = 
 
ab bc ac 1
1
ab bc ac 1
  
 
   
 
RPTA.:B 
 
51. Si     zyxaza1yaxa1 11   , 
Halle: 1 1 1x y z , x,y,z 0      
 
A)a B)
1a C) 1a 
D)
2a E)1 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
x z
1 a y 1 a x y z
a a
   
         
   
     zyxaazayaxa 2 
 
     xyzyzxzxyazyxaa 23
  zyxaa 23  
   xyzyzxzxya  
 
a
1
xyz
yzxzxy


 
 
1a
x
1
y
1
z
1  
 
1111 azyx   
RPTA.: C 
 
52. Simplificar: 
        ...1x1x1x1xW 242222 
    2x11x 2204821024  
 
A)1 B) 0 C)
112 
D)-2 E) 4096 
 
RESOLUCIÓN 
W=        4x 1 ² x 1 ² x² 1 ² x 1 ²...    
   1024 2048x 1 ² 1 x ² 2    
W =      4x² 1 ² x² 1 ² x 1 ²...   
    1024 2048x 1 ² 1 x ² 2    
W =    4 4x 1 ² x 1 ²...  
    1024 2048x 1 ² 1 x ² 2    
W =    8 8x 1 ² x 1 ²....  
    1024 2048x 1 ² 1 x ² 2    
W =    2048 2048x 1 ² x 1 ²   2 
W = 2 
 
RPTA.: D 
 
 
 
 
 
53. Si    acbcab4cban 4  
 bcacabcba 222  
y : 2 2 2a b c 8   
Halle: cba,n  
 
A) 22 B)
2
2
 C)2 
D)4 E)8 
 
RESOLUCIÓN 
xcba 222  
yacbcab  
   yxy4y2xn 2  
222 y4xy4y4xy4xn  
n x² 
 
 
 2222 cban  
 
  8cban 2222  
RPTA.: E 
 
54. Operar:
      2233 bcab6cbacbaW 
Si: b = 0,5 
A)1 B)2 C)
4
1
 
D)
16
1
 E) 4
3
16

 
 
RESOLUCIÓN 
 a+c=n 
      2233 bnb6bnbnW  
  3 2 2 3 3 2 2 3W n 3n b 3nb b n 3n b 3nb b       
 
32 b6bn6  
 
3b8W  
 1
2
1
8W
3






 
 RPTA.: A 
 
 
 
 
55. Si ,0cb,a;0cba 111   
Halle: 
 
 4
444
cba
cbaabc4cba
E


 
 
A) abc4 B)4abc C)1 
D)2 E)abc 
 
RESOLUCIÓN 
 0
c
1
b
1
a
1
 
    22 0abacbc  
0bca2cab2abc2bacacb 222222222 
 ...abcabc2bacacb 222222  () 
Además: 
   2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2a b c a b c 2 a b a c b c ...( )        
()  β 
    abcabc22cbacba 4442222 
   cbaabc4cbacba 4442222 
 
 
 2222
2222
bc2ac2ab2cba
cba


 
 
 
  
1
bcacab2cba
cba
Ε
2222
2222



 
 
 0 
RPTA.: C 
 
56. ¿Cuál es el intervalo de valores de 
“”, de modo que la ecuación 
2x2 2(1) 8x 0, tenga 
raíces de distinto signo? 
 
A) ,
2
1
 B)  ;2 
C) 2; D) 2;6 
E) ;8 
 
 
RESOLUCIÓN 
 004
2
122 




 
 xx 
016
2
12
2





 
, como c<0, se 
presentan 2 posibilidades: 
i) 
2
1
0120
2
12
0 

b 
ii)
2
1
0120
2
12
0 

 ab 
En este caso una respuesta seria 
1 1
x ; ;
2 2
    
RPTA.:A 
 
57. Los valores de “x” que satisfacen 
la ecuación: 
 
 
 63132  xxx 
 tiene la propiedad que su suma 
es: 
 
A)-14 B)-7 C)-9 
D)-2 E)7 
 
RESOLUCIÓN 
   66323132  xxxxx 
18924
2  xx 
1894
2  xx 
1490
2  xx x= -7No cumple 
  270  xx 
 x=-2 Si cumple 
 
Únicamente (-2) satisface la 
ecuación. 
RPTA.: D 
 
58. Sea A la suma de las raíces de 
0
2  cbxax y B la suma de las 
raíces a     011 2  cxbx , 
entonces B-A es: 
 
A)-2 B)-1 C)0 
D)1 E)2 
RESOLUCIÓN 
 
a
b
S
a
c
x
a
b
x  02 
 2ax 2ax a bx b c 0      
     022  cbaxbaax 
 0
22 




 





 

a
cba
x
a
ba
x 
 
a
ba
S


2
 
 22 












a
b
a
b
AB 
 RPTA.: A 
 
59. En la ecuación cuadrática: 
 0
2  cbxax afirmamos: 
 I. Si la suma de sus raíces es igual 
a su producto, entonces 
b+c=0. 
 II. Si una raíz es la negativa de la 
otra, entonces b=0. 
 III. Si una raíz es doble de la otra, 
entonces acb 92 2  
 
A) Las 3 afirmaciones son 
verdaderas. 
B) Solo I y II son verdaderas. 
C) Solo I y III son verdaderas. 
D) Solo II y III son verdaderas. 
E) Solo II es verdadera. 
 
RESOLUCIÓN 
 
b c
S ; P
a a
  
 I. 
2121
x.xxx  
 0 cb
a
c
a
b
 (V) 
 
 II. ,xx
21
 pero 
a
b
xx 
21
 
 
a
b
xx 
22
 
 
a
b
0 
 b0 (V) 
 
III.
a
b
xxxx 
2121
2 
 
a
b
xx 
22
2 
 
a
b
x 
2
3 
 
2
b
x
3a
  
  
2
2
2
3







a
b
x 
 
2
2
2
2
9a
b
x 
...........................(1) 
 
 
 
Luego: 
a
c
x.x 
21
 
 
2 2
c
2x x
a
 
 
a
c
x 2
2
2 
 
a
c
x
2
2
2
 ...........................(2) 
 
 De (1) y (2) 
b² c
9a² 2a
 
2b² = 9ac 
RPTA.: A 
 
60. Si las ecuaciones cuadráticas: 
   0312 2  nxmx 
   0233 2  mxnx 
 Son equivalentes, para 
 ,Rnm  calcule n. 
 
A) 
5
23
 B)15 C)
7
15
 
D) 
9
11
 E) 9 
 
RESOLUCIÓN 
2
3
3
1
3
2





m
n
n
m
 
 
nm 3942   336  mn 
2
313 n
m

 
13 3n
6n 3 3
2
 
  
 
 
 
 3
2
939
6 


n
n 
 693912  nn 
 
7
15
n 
 
RPTA. C 
 
 
SEMANA 4 
DIVISIBILIDAD 
COCIENTES NOTABLES 
FACTORIZACIÓN I 
 
61. ¿Cuál será aquel polinomio 
cuadrático de coeficiente principal 
4, capaz de ser divisible por 
 12 x y que al ser evaluado en 
(2) toma el valor de 5? 
 
A) 24x 4x 3  B) 24x 4x 3  
C) 24x 4x 3  D) 24x 4x 2  
E) 24x 4x 2  
 
RESOLUCIÓN 
Sea este Polinomio 
 
2
x
P 4x ax b   : 
Por condición: 
   
2
x
4x ax b 2x 1 .q'     
 
2
1 1
4 a b 0
2 2
    
     
   
 
 -a+2b=-2.............................(1) 
 
Además: 
 
2
x
4x ax b (x 2)q'' 5     
Entonces: 4(2)² + 2a+b = 5 
 2a+b =  11 .........................(2) 
 
De: 2(1)+(2) : 5b=-15b=-3 
 
En (2) :2a=-8a=-4 
Conclusión: 
 
2
x
P 4x 4x 3   
RPTA.: C 
 
62. ¿Para qué valor de “m” el 
polinomio: 
   2 2 2 2 2 2 2x y z x y z mx yz     
es divisible por (x+y+z)? 
 
A) 4 B) 2 C) 1 
D) -8 E) -4 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 En la base a la identidad: 
 
    yzmxzyxzyx 2222222
 
   z,y,x'qzyx  
Con: x=1 ; y=1; z=-2 evaluando: 
(1-1+4)(1+1-4)+m….(-2)=0 
-8=2mm=-4 
RPTA.: E 
 
63. Busque la relación que debe 
existir entre “p” y“q” a fin de que 
el polinomio: 
 
 
3
x
P x 3px 2q   
Resulte ser divisible por  2ax  
A) 
23 qP  B) 32 qP  C) qP 
D) 1q.P E) 2qP  
 
RESOLUCIÓN 
 Aplicando dos veces ruffini bajo el 
principio de divisibilidad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Si: 033
2  Pa 
 Pa 2    332 Pa  
 Reemplazando en:  0
1
R 
 3 3 33a 2q a 0 a q      
    223 qa  
 Conclusión: .qP 23  
 
RPTA.: A 
 
 
64. Determine “abc” sabiendo que el 
polinomio : 
 
    432 26 xxxbax)cb(caxP 
 es divisible por   13 2  xx 
 
A) -2 B) -34 C) 40 
D) -1360 E) 2720 
 
RESOLUCIÓN 
 Por Teorema de divisibilidad 
       01 1  R'qxP xx 
       01 2  R''qxP xx 
      03 3  R'''qxP xx 
 Empleando Ruffini ( tres veces) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Si: a+b+c-4=0a+b+c=4 
 b+c-6=0 b+c=6 
 a+b-38=0a+b=38 
 en (1) c=-34 
 en (2) b=40 
 Luego: abc=2720. 
RPTA.: E 
 
 
65. Si el Polinomio: 
   ;xxxP x 6116
23  es 
divisible por: (x-a), (x-b) y (x-c) 
indistintamente. 
 
 ¿Cuál será el residuo de: 
 
 
111111   accbbax
P x
? 
 
A) 0 B)1 
C) ab + bc + ca D) 1 
D) ab + cb + ca 
 
-a
-a
1
1
1
0
-a
-3P
2a
2q
apa 32 
-a )pa( 32  323 aqap 
-a 22a 0
1
R
Pa 33 2 -2a
0
1
R
-a
-a
1
1
1
0
-a
-3P
2a
2q
apa 32 
-a )pa( 32  323 aqap 
-a 22a 0
1
R
Pa 33 2 -2a
0
1
R
1
-1
-2
-2
1
-6
-2
(b+c)
-8
+2
1
R
-6
2
R
(a+b-8)
(c+a)
-8 a+b-8 a+2b+c-8
(a+b)
(a+2b+c-81) 2(a+b+c-4)
6 -a-b+2
3
(a+b-2) b+c-6
-2
-6
-12
-36
a+b-38
3
R
 
 
RESOLUCIÓN 
 Al ser divisible indistintamente lo 
será también por el producto es 
decir: 
   )x(x q)cx)(bx)(ax(P  
 
 6116
23  xxx 3er grado Uno 
(monico) 
 
  6116 23 xxx 
    abcxcabcabxcbax  23
 
De donde: 
 a + b + c = 6 
ab +bc + cd= 11 
 abc= 6 
 
 Se pide: 
     x x x
P P P
x 11 1 1 c a b
x x
ab bc ca abc
 
    
      
   
 Evaluando en x=1:   01  PR 
RPTA.: A 
 
66. ¿Cuál será aquella división notable 
que genere al cociente 
 15253035  a...aaa . 
 
A) 
1
1
36


a
a
 B) 
1
1
5
40


a
a
 
C) 
1
1
5
40


a
a
 
 
RESOLUCIÓN 
 Por principio teórico de signo y 
variación de exponente de 5 en 5, 
es la B. 
RPTA.: B 
 
67. Encuentre el valor de: 
   910 1 999  
 
A) 1000001 B) 1010101 
C) 1001001 D) 0 
E) 1 
RESOLUCIÓN 
 Acondicionando el divisor: 
 
      11010
110
110
110
110 1323
3
33
3
9






 
 1001001 
 RPTA.: C 
 
 
68. Sabiendo que el cociente de la 
división 
2
30
yx
yx
n
m


; consta de 10 
términos. 
 
 Determine el valor de:
nm 
 
A) 60 B) 8000 C) 
20
3 
D) 600 E) 8 
 
RESOLUCIÓN 
 Por condición: 
 
30 m
10
n 2
  n=3 
 m=20 
 
 Luego: 20³ = 8000 
RPTA.: B 
 
69. Se desea conocer de cuántos 
términos está constituido el 
cociente de : 
1
1


x
x
sabiendo que 
    236
1005010
xTTT  
 
A) 396 B) 133 C) 132 
D) 236 E) 131 
 
RESOLUCIÓN 
 
1 2 3 kx 1 x x x ...x ... 1
x 1

         

 
 2T 3T kT 
 
 
 
 1010T x
 10 50 100 236x .x .x x    
 
 5050T x
 
 
 100100T x
 3 160 236x x  
 
 De donde: 2361603  
 3963  
 132 
 Luego: # términos=132+1=133 
RPTA.: B 
 
70. Si la división indicada: 
P
P
yx
yx


3
432
 
genera un cociente notable. 
Averigüe al término antepenúltimo 
 
A) 
92yx B) 6 324x y 
C) 36 360x y D) 0 
E) x6 y314 
 
RESOLUCIÓN 
 Si la división indicada es notable, 
debe cumplir que: 
 
P 432
3 P
 
 2P 3.432 
 2 3 4P 3.3 .2  2 2P 3 .2 36  
 
 Luego: 
 
   
   
12 12
3 36
36 432
3 36 1 1
3 36
x yx y
x y x y

 
 
 
 
 1 2 10 11 12T T ... T T T     
 
 antepenúltimo 
 
 
   
12 10 10 1
3 36 6 324
antep 10T T x y x y
 
  
 
RPTA.: B 
 
71. Después de dividir el cociente de 
1
1
16


x
x n
; Nn . Entre  ;x 1 se 
obtiene un nuevo cociente que al 
ser dividido por  12  xx 
obtendremos como residuo. 
 
A) 0 B) -x C) x+1 
D) x-1 E) 1 
 
RESOLUCIÓN 
 Efectuando la división notable 
 
6n
6n 1 6n 2 6n 3 2x 1 x x x x x 1
x 1
        

 
Luego en: 
6n 1 6n 2 6n 3 2x x x ... x x 1
x 1
       

 
 Aplicando Ruffini 
 
 Existen “6n” términos 
 
 
 
 
 
 
 
 Existen “6n-1” términos 
 
 
6n 2 6n 4 6n 6 4 2
x
q x x x ... x x 1        
 
Finalmente en: 
   
2
x
q x x 1   
Según el teorema del residuo 
Si: 2x x 1 x      
 Que al evaluarlo en este valor 
 
 
2R q 1 0

       
 
 Cero 
RPTA.: A 
72. Factor Primo de: 
   b,aQ 1+b+c+a(1+b+c+bc)+bc 
será: 
 
A) 1+c B) 1+b C) 1+ab 
D) 1+bc E) 1+abc 
-1
1 1 1
-1 0
1 0 1
-1
... 1 1
...0 1
1
-1
00
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 Asociando: 
     bccbabccbQ b,a  11
 Extrayendo factor común 
    abccbQ b,a  11 
       abcbQ b,a  111 
 
       a,bQ 1 c 1 b 1 a    
 
 Constante 
RPTA.: B 
 
73. ¿Cuántos factores primos 
binómicos admite el polinomio; 
  .Nn;xxxxXP
nn
x 

1
232
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) n E) ninguno 
 
RESOLUCIÓN 
 Asociando de 2 en 2: 
   1
232  xxxxx.xP nnx 
 
 
n 2 2 2
x
P x (x 1) x(x 1) (x 1)     
   112  xx)x(P nx 
 
   
n
x
P (x 1)(x 1) x x 1     
RPTA.: B 
 
74. Uno de los divisores de: 
  bcaddcba  22222 Será: 
 
A) a-b+c-d B) a+b-c+d 
C) a-b-c + d D) a+b+c-d 
E) a-b-c-d 
 
RESOLUCIÓN 
 Asociando convenientemente 
 2 2 2 2a b c d 2ad 2bc     a = 
    2 2 2 2a 2ad d b 2bc c     = 
    
2 2
a d b c    
  a d b c a d b c        
RPTA.: A 
 
75. ¿Cuál será el divisor trinomio del 
polinomio en variables: m,n,p. 
      3 3 3m n P n P m P m n     ? 
 
A) m-n-P B) m+n-P 
C) m-n+P D) m+n+P 
E) mn+nP+Pn 
 
RESOLUCIÓN 
 Mediante la distribución en el 
segundo y tercer término: 
    nPmPmnPnPnm 33333 
 Asociando: 
     )pn(mpnnPPnm 33223 
 
   PnPn  
  22 PnpnPn  
 
(n-P) 3 2 2 2m n P nP mn² mnP mP        
 
(n-P)         nmPnmnPnmm 222 
 
 (m+n)(m-n) 
     22 PnPmnmnm)Pn( 
       Pm(n)PmPmnm)Pn( 
   PnmPmnm)Pn(  
RPTA.: D 
76. El Polinomio: 
      1133  yxxyyxy,xM
Será divisible por: 
 
A) 1
22  yxyxyx 
B) 1
22  yxyxyx 
C) 1
22  yxyxyx 
 
RESOLUCIÓN 
 Asociando convenientemente 
 
     1313  yxxyyxy,xM
 
 Diferencia de cubos 
       
2
M x,y x y 1 x y x y 1       
 
-3xy(x+y-1) 
… …...... …..... 
… … 
…...... 
…...... …...... 
 
 
 
Extrayendo el factor común 
    2 2M x,y x y 1 x xy y x y 1         
RPTA.: C 
 
77. Un factor primo racional de: 
  279
33  abbaR a ; será: 
 
A) a+b+3 
B) a-b+3 
C) ab-3(a+b) 
D)   9322  baabba 
E)   9322  baabba 
 
RESOLUCIÓN 
      333
333  abbaR a 
 
Corresponde a la identidad 
Gaussiana, que proviene de: 
 
         baabbaba 3333 222 
 
    baabbacba  3922 
 RPTA.: D 
 
78. Cuántos divisores admitirá el 
Polinomio: 
 
    82423342 yabyxabbxaP y;x 
 
A) 8 B) 7 C) 15 
D) 4 E) 3 
 
RESOLUCIÓN 
 Empleando el aspa simple: 
 
    82423342 yaby.xabbxaP y,x 
 
 
22xa 42yb
 
 
2bx 4ay 
 
 
    424222 aybxybxaP y,x  
     4222 aybxbyaxbyaxP y,x 
 
Nº divisores: (1+1)(1+1)(1+1) 
 
RPTA.: A 
 
79. Halle la suma de los elementos de 
aquellos Polinomios irreductibles 
que se desprenden de: 
      
2222224
2 yxzyxzQ z,y,x  
 
A) 4x B) 4y C) 4z 
D) 2(x-y) E) 2(x+y) 
 
RESOLUCIÓN 
 Mediante un aspa simple 
    2222224 2 yxzyxzQ 
 
2z  2yx  
 
 
2z  2yx  
 
      2222 yxzyxzQ  
 
      yxzyxzyxzyxzQ z,y,x 
 
Sumando estos elementos =4z 
 
RPTA.: C 
 
 
 
 
80. Un divisor del Polinomio: 
 
   x,yP 2x 2x 7y 3y(5y 12) 48x    
 
será: 
 
A) 3x-4y B) 4x-3y C)2x-3y 
D) 2x-3x E) 2x-5y+12 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
Buscando la forma de un aspa 
doble: 
 
  0364815148
22  yxyxyxP y,x 
 
 4x -3y 0 
 2x 5y 12 
 
    125234  yxyxP y,x 
 
RPTA.: B 
 
SEMANA 5 
COCIENTES NOTABLES 
FACTORIZACIÓN 
 
81. Hallar el menor término racional 
del cociente notable. 


3 7 3
3
4 2 2
4 2
 
 
A) 9 B) -1 C) 3 
D) 5 E) 8 
 
RESOLUCIÓN 
 



7 7
3
3
4 2
4 2
 Por el término 
general 
    
k k
kT
 

7 1
3
4 2 
 efectuando por exponentes 
k
kT ....................( )

 
25
62 
 Por lo que piden: 
 
k25
6
 debe ser mínimo k ;  7 
 luego en   : 
T T

   
25 7
36
7 7
2 2 8 
RPTA.: E 
 
 
 
 
 
 
82. En el cociente notable 
 
   
 
x x
;
x
  

16 16
2
2 2
2 4
halle el valor 
numérico del quinto término para 
x=1 
 
A) 729 B) 126 C) 81 
D) 243 E) 729 
 
 
RESOLUCIÓN 
 Dando la forma de un C.N: 
 
 
   
   
x x
x x
     
   
  
8 8
2 2
2 2
2 2
2 2
 
    T x x (x ) (x )        
   
3 4
2 2 6 8
5
2 2 2 2 
 
 x=1  T .( )  
6 8
5
3 1 729 
RPTA.: E 
 
83. Halle el grado absoluto del primer 
término central del C.N. 
n n
n n
x y
x y
 
 


15 50 15 10
1 2 
 
A) 11 B) 106 C) 63 
D) 40 E) 72 
 
RESOLUCIÓN 
 Por la condición necesaria y 
suficiente se debe de cumplir: 
 
n n
n
n n
 
  
 
15 50 15 10
6
1 2
 
 
 luego: 
   
   
x y
x y


20 20
7 4
7 4
 
 Hallamos los términos centrales. 
    T x y T x y  
10 9
7 4 70 36
10 10
 
    T x y T x y  
9 10
7 4 63 40
11 11
 
 G.A. 10T 106 
RPTA.: B 
 
 
 
84. Si…x y x y ... 195 140 190 147 
 son términos consecutivos del 
desarrollo de un C.N. Halle el 
número de términos. 
 
A) 61 B) 59 C) 58 
D) 60 E) 65 
 
RESOLUCIÓN 
 Formando un C.N. de: 
        5... x y x y
39 20 38 21
7 5 7 
 Número de términos = G.A +1 
 TN   59 1 60 
 
RPTA.: D 
 
 
85. En el siguiente cociente notable
x y
x y


20 30
2 3
. Calcule el lugar que 
ocupa el término que contiene a 
x10. 
 
A) sexto B) quinto 
C) octavo D) cuarto 
E) décimo 
 
 
RESOLUCIÓN 
    
k k
?
kT x y x y
 
 
10 1
2 3 10 
 
kx x k   20 2 10 5 
 El lugar es quinto 
RPTA.: B 
 
 
 
86. Luego de factorizar: 
P(x) x x ;  8 4 1 halle la suma 
de los factores primos. 
 
A) x x 4 2 3 
B) x 2 3 
C) x 2 3 
D) x 4 2 
E) x 4 1 
RESOLUCIÓN 
Aplicando la identidad de Argan a 
 
     P(x) x x x x x x      2 2 4 21 1 1
 Luego: 
 fac. primos= x x 4 2 3 
RPTA.: A 
 
87. Luego de factorizar 
 P(x) x x x x x     8 7 5 4 3 1 
en  x , indique el número de 
factores primos. 
 
A) 5 B) 3 C) 4 
D) 6 E) 2 
RESOLUCIÓN 
    P(x) x x x x x     8 4 7 5 31 
    P(x) x x x x    2 21 1 
    4 2 3 4 2x x 1 x x x 1     
   P(x) x x x x    2 21 1 
 x x x  4 2 31 
   P(x) x x x x    2 21 1 
  x x x  4 2 3 1 
    P(x) x x x x    2 21 1 
       x x x x x    2 2 21 1 1 
     P(x) x x x x x     2 21 1 1
 x x 3 1 
 Hay 4 factores primos 
RPTA.: C 
 
88. Factorizar: 
  P x x x x   6 4 22 1 indicar la 
suma de coeficientes de un factor 
primo. 
 
A) 1 B) 0 C) 1 
D) 2 E) -2 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
    6 4 2P x x x 2x 1    
    
2
6 2P x x x 1    
    3 2 3 2x x 1 x x 1    
  de coef = 1 
RPTA.: C 
 
89. Factorizar: 
   2 2 2F x abx a b x ab    , e 
indicar la suma de los T.I. de los 
factores primos. 
 
A) a+b B) a-b C) a 
D) b E) ab 
 
RESOLUCIÓN 
  F(x) abx a b x ab   2 2 2 
 
 ax b 
 
 bx a 
 
    F(x) ax b bx a   
RPTA.: A 
 
90. Al factorizar: 
 2 2P(x) 10x 17xy 3y 5x y     
 Indicar la suma de sus términos 
de sus factores primos. 
 
A) 7x-4y+1 B) 7x-1 
C) 4x-7y-1 D) 4y-1 
E) 5x+2y-1 
 
RESOLUCIÓN 
2 2P(x) 10x 17xy 3y 5x y 0      
 
 5x -y 0 
 
 2x -3y 1 
 
    P(x) x y x y   5 2 3 1 
RPTA.: A 
91. Factorizar: 
 
3 2P(x) 12x 8x 3x 2    , e 
 indicar un factor primo lineal. 
 
A) 3x +2 B) -3x1 C) -2x+1 
D) x+2 E) 4x+3 
 
RESOLUCIÓN 
 Aplicando Ruffini 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    P(x) x x x   22 1 6 7 2 
 3x 2 
 
 2x 1 
 
 
 
      P(x) x x x   2 1 3 2 2 1 
RPTA.: A 
 
92. Factorice: 
P(x) x x x x x     5 4 3 25 7 8 4 
Indique el promedio aritmético de 
los T.I. de los factores primos. 
 
A) 
4
3
 B) 
6
5
 C) 
1
4
 
D) 
3
2
 E) 
2
3
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       2P(x) x 1 x 1 x 2 x 3x 2      
12 8
6
-3 -2
7 2
12 14 4 0
1
2
6 7 2
1 5
1
7 -1
6 13
1 6 13
1 5 8
-8 -4
12 4
0412
-1
1
-1 -5 -8 -4
4 0
-2 -6 -4-2
1 3 2 0
 
 
 x 2 
 x 1 
      
2 2
P(x) x 1 x 1 x 2    
Luego: 
1 1 2 2
M.A
3 3
 
  
 
RPTA.: E 
93. Al factorizar: 
 P(x;y) x y 4 44 
 Calcule el número de factores 
algebraicos. 
 
A) 4 B) 3 C) 6 
D) 7 E) 8 
 
RESOLUCIÓN 
  
24 4 2 2P(x;y) x 4y 4x y 2xy    
 
    
2 22 2P(x;y) x 2y 2xy   
 
   2 2 2 2P(x;y) x 2xy 2y x 2xy 2y     
  fN.A 2 2 1 4 1 3      
RPTA.: B 
 
94. Factorice 
 
4 2P(x) x 2x 9   , 
 e indicar el número de factores. 
 
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 5 E) 6 
 
RESOLUCIÓN 
 
4 2 2 2P(x) x 2x 9 4x 4x     
 
4 2 2P(x) x 6x 9 (2x)    
    
2 22P(x) x 3 2x   
    2 2P(x) x 2x 3 x 2x 3     
 fN 2 2 4   
RPTA.: C 
 
 
95. Factorizar
3 2P(x) x x x 1    
en (x), luego indique la cantidad 
de factores algebraicos. 
 
A) 2 B) 5 C) 3 
D) 6 E) 7 
 
RESOLUCIÓN 
    P(x) x x x   2 1 1 
    2P(x) x 1 x 1    
     P(x) x x x   1 1 1 
  
2
P(x) x 1 (x 1)   
    f.AN 3 2 1 6 1 5     
RPTA.: B 
 
96. Calcule la suma de coeficientes, 
de un factor primo del polinomio 
factorizado. 
 
25 20P(x) x x 1   
 
A) 7 B) 4 C) 3 
D) 5 E) 2 
 
 
RESOLUCIÓN 
 Cambio de variable: x y5 
 P(x) y y  
5 4
1 
    P(x) y y y y    2 31 1 
    P(x) x x x x    10 5 15 51 1 
 coef  3 1 
RPTA.: C 
 
97. Factorice: 
     
2 2
2 2 2P(x) x x 1 x 1 x     
 
Indique el número de factores 
cuadráticos. 
 
A) 2 B) 3 C) 1 
D) 4 E) 5 
 
 
RESOLUCIÓN 
2 4 3 2 4 2P(x) x x 2x 1 x 1 x 2x       
 
3 2 2P(x) 2x 2x 2x (1 x)     
 
 
 x x( x) 2 1 
 Son 2 factores cuadráticos 
RPTA.: A 
 
98. Señale un factor primo de: 
  
7
P(x) 2x 1 4x(x 1) 2     
 
 A) 
24x 6x 3  B) 24x 5x 1  
 C) 
24x 7 D) 24x 7x 1  
 E) 2x² + 3x + 1 
 
RESOLUCIÓN 
  P(x) x x x     
7 2
2 1 4 4 1 1 
    P(x) x x    
7 2
2 1 2 1 1 
 Cambio de variable: y=2x+1 
    7 2 2 5 4y y 1 y y 1 y y y² y 1         
 un factor es : 4x² + 6x + 3 
RPTA.: A 
 
99. Cuántos factores lineales 
presenta: 
 P(x;y) x y x y   
4 4 4
 
 
A) 1 B) 0 C) 2 
D) 3 E) 6 
 
RESOLUCIÓN 
 P(x;y) x y xy x y    
2
2 2 4 4
2 
 P(x;y) x x y x y xy y    4 3 2 2 3 42 2 3 2 
 x² xy 
2y 
 
 
 x² xy 
2y 
  P(x;y) x xy y  
2
2 2
2 
 No tiene factores lineales. 
RPTA.: B 
 
100. Calcule el número de factores 
algebraicos en (x), el polinomio. 
2 5 23P(X;Z) 3 x y z 
 
A) 23 B) 8 C) 10 
D) 72 E) 71 
 
RESOLUCIÓN 
 F.AN 6 4 1 24 1 23      
 Ojo: y2 no es variable, es 
parámetro 
RPTA.: A 
 
SEMANA 6 
MCD – MCM - FRACCIONES 
 
101. Halle el MCD de los polinomios 
P(x) y Q(x). 
P(x)= x x x x x    5 4 3 212 8 45 45 8 12 
Q(x)= x x x x   4 3 22 5 8 17 6 
 
A) x+1 B) (x+1)(x-2) 
C) (x-2)(2x-1) D) 3x+2 
E) (2x+3)(2x-1) 
 
RESOLUCIÓN 
Factorizando P(x) 
 
 
 
 
 
 
 
Luego el cociente c(x) 
4 3 2c(x) 12x 4x 41x 4x 12     
2 2
2
1 1
c(x) x 12 x 4 x 41
xx
    
        
    
 
 x p x p
x x
     2 2
2
1 1
2 
2 2c(x) x 12p 4p 65     
   c(x) 6p 13 2p 5   
   2 2c(x) 6x 13x 6 2x 5x 2    
 
          P(x) x 1 3x 2 2x 3 2x 1 x 2      
 
 Factorizando Q: 
 Q(x) x x x x    4 3 22 5 8 17 6 
      Q(x) x x x x    1 2 3 2 1 
 
12 8 -45 -45
4
12
-1 -12 4 41
8
-12
12 -4 -41 -4 12 0
 
 
Por tanto: 
   MCD(P,Q) x 1 x 2   
 
RPTA.: B 
 
 
102. Indicar el grado del M.C.M. de los 
polinomios P(x) y Q(x) , donde: 
 
P(x) x x x x x x x       7 6 5 4 3 28 17 9 9 17 8 1
Q(x) x x x x x     5 4 3 25 5 1 
 
A) 3 B) 4 C) 5 
D) 6 E) 7 
 
 
RESOLUCIÓN 
Factorizando P (x); el polinomio es 
recíproco. 
 
 
 
 
 
 
 
el polinomio cociente es reciproco 
también, pero de grado par: 
 
3 3 2
3 2
1 1 1
c (x) x x 7 x 10 x 1
xx x
      
            
      
 
Haciendo: 
x m x m
x x
     2 2
2
1 1
2 
x m m
x
  3 3
3
1
3 
        2 2 2P (x) x 1 x 3x 1 x 5x 1 x x 1        
 
 Factorizando Q(x) similarmente: 
 
       Q x x x x x x     2 21 5 1 1
 
Por tanto: 
       2 2 2MCM x 1 x 5x 1 x x 1 x 3x 1       
 
Gº = 1 + 2 + 2 + 2 = 7 
RPTA.: E 
 
103. Halle el M.C.D. de: 
 
  4 3 2 2 3 4A x 4x 4ax 36a x 44a x 16a    
  4 3 2 2 3 4B x 6x 6ax 18a x 30a x 12a    
 
A)  x a
2
2 B) x-a 
C)  x a
2
 D)  x a
3
2 
E) x  a² 
 
RESOLUCIÓN 
Factorizando A por el aspa doble 
especial: 
   4 3 2 2 3 4A x 4 x ax 9a x 11a x 4a    
 x2 ax 3 a 24 
 x2 ax 2 a2 
 
 Por tanto: 
    
3
A(x) 4 x 4a x a   
 
 Similarmente 
   4 3 3 2 3 4B x 6 x ax 2a x 5a x 2a      
 x2 ax a 22 
 x2 ax2 a2 
 
     B x x a x a  
3
6 2 
 Por consiguiente el MCD=  x a
3
2 
RPTA.: D 
 
104. Sabiendo que el M.C.D. de los 
polinomios: 
  A x x x x m   3 22 3 
  B x x x n  3 2 , es: 
  x x 2 2 . Halle “m+n” 
 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 0 
RESOLUCIÓN 
Usando el método de Horner: 
1 8 17 9
1
17
-1 -1 -7 -10
9
-10
1 7 10 -1 10 7
8 1
-7 -1
01
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusión: m+n=6 
RPTA.: C 
105. Halle el MCD de los polinomios: 
 
m n m nP(x) X x x    1 
  m n m mQ(x) m n x mx nx      1 1 1
Sabiendo que m;n; 
m
n
 
 
A) 
kx 1 B) mx 1 C) nx 1 
D) 
kx  1 1 E) kx  1 1 
 
RESOLUCIÓN 
Consideremos: m=nk 
Entonces: 
nk n nk nP(x) x x x    1 
   n nkP(x) x x  1 1 
Similarmente: 
  nk n nk nkQ(x) nk n x nk x n x      1 1 1
    nk nQ(x) nk n x x  1 1 
Por lo tanto: 
M.C.D nP(x),Q(x) x    1 
RPTA.: C 
 
106. Sean los polinomios: 
 
 P(x) ax bx a c x bx c     4 3 2 
   Q(x) ax b a x c b x c     3 24 4 5 4 5 5 
Los cuales verifican: 
 P(x) Q(x) MCD P Q    
2
 
Calcule: "a b c"  
 
A) 27 B) 16 C) 64 
D) 125 E) 9 
 
RESOLUCIÓN 
Sumando  P(x) Q x se obtiene: 
   
 
4 3 2ax b 4a x 4b 4a c x
4c 4b x 4c.............................(1)
     
  
 
Por otro lado factorizando los 
polinomios 
 
 P(x) ax bx a c x bx c     4 3 2 
 ax2 bx c 
 x2 ox -1 
   P(x) ax bx c x   2 2 1 
Factorizando  Q x : 
   Q(x) x ax bx c   24 5 
Por lo tanto: 
MCD=ax bx c 2 
 
Desarrollamos 
   MCD ax bx c  
22 2 
   
2 2 4 3 2 2
2
MCD a x 2abx 2ac b x
2bcx c ...............................(2)
    
 
 Comparando coeficientes de 
 y + 
 
a=1; b=4; c=4 
 a + b + c = 9 
RPTA.: E 
107. Sea D(x) el Mínimo común 
múltiplo de los polinomios M(x) y 
N(x) si: 
 
M(x).N(x)
A(x)
D(x)
 Halle el resto de 
dividir A(x) entre (x-3n), sabiendo 
que: 
2
3
-2
-4
2 1 0
1 2 -1
1
1
m
-2
m-2=0 m  2
1
0
-2
-2
1 2 0
1 1 1
2
1
n
-4
n-4=0 n = 4
1 2
 
 
4 3 2 2 3 4M(x) x nx 7n x n x 6n    
3 2 2 3N(x) x 4nx n x 6n    
 
 A) 0 B) n26 C) n 26 
D) n210 E) n212 
 
RESOLUCIÓN 
Como D(x) es MCM entonces A (x) 
representa MCD (M.N). 
Factorizando los polinomios 
obtenemos. 
 
       M(x) x n x n x n x n    3 2
     N(x) x n x n x n   2 3 
Por lo tanto: 
MCD (M,N)= (x-n) (x+2n) 
MCD (M,N)= x nx n 2 22 
 
Se pide el resto de la división: 
x nx n
R(x) n
x n
 
 

2 2
22
10
3
 
RPTA.: D 
 
108. Si la fracción 
x x
x x
 
 
2
2
4 2 3
2 1
se 
transforma en otra equivalente 
B C
A
x x
 
 1 2 1
 donde A,B,C son 
constantes reales. Calcule: 
A
B C
 
  
 3
 
 
A) -1 B) 1 C) 3 
D) 
1
3
 E) 
5
3
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
Dividendo: 
2
2 2
4x 2x 3 5
2
2x x 1 2x x 1
 
 
   
 
   x x
 
 
5
2
2 1 1
 
 
Descomponiendo por fracciones 
parciales 
 
5 10
3 32
x 1 2x 1
  
 
 
 
Por tanto: 
A= 2 ; B= 
5
3
 ; c  
10
3
 
 
A
B C
 
       
 
2 5 10
1
3 3 3 3
 
RPTA.: A 
 
109. Sabiendo que A,B,C y D son los 
numeradores de las fracciones 
parciales en que puede ser 
descompuesta la siguiente 
fracción: 
 
 
3 2
22
4x x 3x 2
x x 1
  

 
 
Halle: A+B+C+D 
 
A) 2 B) -5 C) 1 
D) -1 E) 0 
 
RESOLUCIÓN 
Descomponiendo en fracciones 
parciales: 
 
   
x x x A B C D
x x xx x x
  
   
 
3 2
2 2 22
4 3 2
11 1
 
 
x x x
x x
  

3 2
22
4 3 2
1
   
 
Ax x B(x ) Cx x Dx
x x
     


2 2 2 2
22
1 1 1
1
 
 Desarrollando y luego 
comparando coeficientes se 
obtiene: 
 A=1; B= -2; C=3; D=-4 
 
Por lo tanto: 
A+B+C+D= -2 
RPTA.: D 
 
 
 
110. Sabiendo que la fracción se 
transforma en otra equivalente. 
2
3 2 2
5x 9x 4 A Bx C
x 2x 3x 3x 2 x x 1
  
 
    
 
 
Halle: A + B + C 
 
A) 1 B) 5 C) 6 
D) 8 E) -5 
 
RESOLUCIÓN 
     2 25x 9x 4 A x x 1 Bx C x 2       
 
 Comparando coeficientes se tiene 
 A B  5 A=2 
A B C  2 9 B=3 
A C 2 4 C=1 
  A+B+C=6 
RPTA.: C 
 
111. Si la fracción se descompone en 
fracciones parciales de la forma: 
 
2
3 2 2
x 1 A Bx C
x 2x 3x 3x 2 x x 1
 
 
    
 
 
 Halle el grado del MCM de los 
polinomios P y Q. 
 Donde: 
 
3 2P(x) x 5x 2x 8    
 
2Q(x) 2x mx 4   ; 
m (A B C)   9 
 
 A) 4 B) 2 C) 3 
D) 3 E) 5 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
Desarrollando fracciones parciales 
   x A B x A B C x A C       2 21 2 2
 A B  1, A+ 2B + C = 0, 
 A + 2C = 1 
 
 A 
5
3
, B  
2
3
, C  
1
3
 
 A + B + C = 
2
3
 
 Por lo tanto: m= 6 
 
 Factorizando P (x) y Q(x) 
      P(x) x 1 x 2 x 4    
    Q(x) 2 x 1 x 2   
 MCM =        2 x 1 x 4 x 2 x 2    
 Grado =3 
RPTA.: A112. Al descomponer la expresión en 
fracciones parciales se tiene los 
numeradores A, B y C: 
 
2
3 2
x 5
x 8x 17x 10

  
 
 
 Luego se dan los polinomios: 
  P(x) x m x x    3 25 11 6 
  Q(x) x m x x m     3 21 3 
 
siendo : m= A + B + C 
 
Halle el grado del MCM 
 
A) 2 B) 4 C) 5 
D) 6 E) 3 
 
RESOLUCIÓN 
Descomponiendo fracciones 
parciales se tiene: 
     
x A B C
x x x x x x

  
     
2
5
1 2 5 1 2 5
 
         x A x x B(x ) x C x x         2 5 2 5 1 5 1 2
 
Si x= -2B=-3 
Si x=-1A= 
3
2
 A+B+C=1=m 
Si x=-5C= 
5
2
 
Entonces: 
3 2P(x) x 6x 11x 6    
3 2Q(x) x 2x x 2    
 
 
 
Factorizando se tiene 
     P(x) x x x   3 1 2 
     Q(x) x x x   1 2 1 
 MCM  P,Q =        x x x x   1 2 3 1 
 Grado =4 
RPTA.: B 
 
113. Si: a,b,c, son números diferentes 
y: 
P(x) x x x
x d
(x a) (x b)(x c) x a x b x c
    
     
 
 
Calcule: 
a b c
p(a) p(b) p(c)
 
2 2 2
 
 
A) -2 B) -1 C) 0 
D) 1 E) 2 
 
RESOLUCIÓN 
Desarrollando se tiene: 
           P(x) x x a x b x b x c x a x c          
 + x - d 
 
Evaluando: 
p(a) a(a b)(a c)   
p(b) b(b a)(b c)   
p(c) c(c a)(c b)   
 
reemplazando en M: 
       
a b c
M
a a b a c b b a b c c(c a)(c b)
  
     
2 2 2
 
 M = 0 
RPTA.: C 
 
114. Indicar la respuesta correcta, 
luego de simplificar: 
 
1 x
1
1 3x1
1 x
1 3
1 3x
E
1 x
1
1 3x1 3
1 x
1 3
1 3x



 
  
 

 
 
 
  
     
 
 
A) 1 B) x C) 2x 
D) 3x E) -1 
 
RESOLUCIÓN 
Desarrollando el numerador se 
tiene: 
 
x
x

 
8
2 6
 
 
y el denominador : 
x

 
8
2 6
 
reemplazando y simplificando 
 
x
x
E

 

8
2 6
x

 
8
2 6
x 
RPTA.: B 
 
115. Si:        ab bc ac abc  
2 2 2 2
 
Simplificar: 
a b b c c a
c a b
     
 
  
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 1 2 1 2 1
 
 
A) 0 B) 1 
C) a b c 2 2 2 D) 
a b c 2 2 2
2
 
E) abc 
 
RESOLUCIÓN 
De la condición se tiene: 
2
2 2 2
1 1 c 1
a b c

  
2
2 2 2
1 1 a 1
b c a

  
 
 
 
2
2 2 2
1 1 b 1
c a b

  
 
Entonces reemplazando en la 
expresión: 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
c 1 a 1 b 1
1 1 1
c a b
2c 1 2a 1 2b 1
  
  
 
  
 
 
 
2 2 2
1 1 1
1
c a b
   
RPTA.: B 
 
116. Si se verifica que: 
        2 a b 2ab a b a 1 b 1      
Simplificar: 
ab a 2 ba b 2
E
b 1 a 1
   
 
 
 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
RESOLUCIÓN 
   a b b a
E
b a
   
 
 
1 2 1 2
1 1
 
E a b
b a
   
 
2 2
1 1
 
 
de la ecuación se tiene: 
a b
a b
a b
  
 
2 2
1 1
 
 
 
 
Entonces reemplazando en E 
a b
E
a b b a
   
   
2 2 2 2
1 1 1 1
 
E = 4 
RPTA.: D 
 
117. Simplificar la siguiente expresión 
y halle: 
a
c
 
 
 
a a c a c c c
. .
a ac c a b bc a c c
c c a
bc
     
      
       
 
3 3
2 2 2 2
1
1
2
1
 
A) 1 B) 2 C) -1 
D) -2 E) 3 
 
RESOLUCIÓN 
 a a c
a ac c 2 2
   a c a ac c
.
    
 
 
 
2 2
   b a c a c 
.
 
 
 
 
 
1
c
a c c
  

1
1
c c a
bc
 
 
 

 2
2
 
 a a c
   
c a c
.
b a c a c c
 
 
2
c c a
bc

 2
2 
 
abc  c a c 2
cb    a c c c a  2
 2 
 
a
a c


2 
 
a
c
 2 
RPTA.: D 
118. Al reducir la expresión: 
2
2
x 1 x 1 2
1 1 1
x 1 x 1 x
1 1 x
x 1 x 1
x 1 x 1
 
 
 
   
 
     
    
   
 
 Se obtiene: 
 
A) 1 B) x x 2 1 
C) x x 2 1 D)x x 4 2 1 
E) x x 4 2 1 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
Desarrollando: 
   
2
4
2 2
x 1 x 1 2x
x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
x x
 
 
 
  
   
    
 
2 2 2
2 2 4
x x 2x
x 1 x 1 x 1
 
  
   
 
2 2
4 4
2x 2x
1
x 1 x 1
 
  
  
 
RPTA.: A 
 
119. Sabiendo que la fracción: 
 
 ax by
p x m xy m y

 
2
2 2 2 2 2
2
 
 toma un valor constante k. 
 k  0, para todo valor de x,y; xy
 0 , Halle: 
a b p m
a b p m
  
  
2 2 2 2
2 2 2 2
 en términos de 
k. 
 
A) 
k
k


1
1
 B) 
k
k


2
2
1
1
 C) k+1 
D) k-1 E) k 2 1 
RESOLUCIÓN 
   ax by k p x m xy m y   
2 2 2 2 2 2
2
 a x abxy b y k p x m xy m y    2 2 2 2 2 2 2 2 22 2
 Comparando coeficientes: 
a kp ;2 2 b km ;2 2 ab km 2 
 
Entonces reemplazando en: 
a b p m kp km p m
a b p m kp km p m
     

     
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
 
   
   
m p ka b p m
a b p m m p k
   

    
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
1
a b p m k
a b p m k
   

   
2 2 2 2
2 2 2 2
1
1
 
RPTA.: A 
 
120. Simplificar: 
 
     
     
ax ax ax ax
ax ax ax a x
   
    4 4
1 2 3 1
1 1 2 1 3
 
 
A) 
ax
ax


1
2
 B) 
a x
a x

 2
 C)
x a
x a

 2
 
D) 1 E) 
a
x
 
 
RESOLUCIÓN 
Haciendo: ax=m 
 
     
     
m m m m
m m m m
   
    4
1 2 3 1
1 1 2 1 3
 
 
Agrupando: 
   
   
m m m
m m m m
   
   
2 2
2 4
3 3 2 1
2 3 1 3 1
 
 
Factorizando: 
 
 
m m
m m
 

 
2
2
2
2
3 1
1
3 1
 
 RPTA.: D 
 
SEMANA 7 
NÚMEROS COMPLEJOS 
 
121. Sea el complejo : 1 i   
Calcule 
12 
 
A) 32 B) -32 C) -64 
D) 64 E) 128 
 
RESOLUCIÓN 
 Si:  
22Z 1 i Z 1 i 2i      
 Si:  
22 4Z 2i Z 2i 4     
  
312 4 64     
 
 
RPTA.: C 
 
122. El equivalente de: 
 
8
1 i 1 i
1 i 1 i
1 1
1 i 1 i
1 1
1 i 1 i
 
 
   
   
 
  
  
 
    
 será: 
 
A) 2i B) 0 C) -2i 
D) 64 E) 256 
 
RESOLUCIÓN 
 Sabemos: 
1 i 1 i
i i
1 i 1 i
 
   
 
 
 
 Operando: 
    
8 8
i i 2i 256    
 RPTA.: E 
 
123. Si, n  , calcule el valor de 
4n 6
1 2
i
22

 
  
 
 
 
A) 4 B) i 
C)  
n 1
1 i

 D)  
n 1
1 i

 
E) 1 
 
 
RESOLUCIÓN 
2n 3
4n 6 2 2n 3
2n 31 1 1 i 2ii i
22 2 2

 

      
         
      
 
      
n n n 12 2i i i 1 ( 1)i 1 i

     
RPTA.: D 
 
124. Calcule el valor de : 
 
 
 
n
n 2
1 i
1 i



; donde n  
 
A) -2 B) 
n2i C) n 12i  
D) -2i E) 
n 12i  
 
RESOLUCIÓN 
 
 
   
 
n n
2
n 2
1 i 1 i
1 i
1 i1 i 1 i

  
  
  
 
  n n 1i 2i 2i    
 RPTA.: C 
125. El equivalente de: 
    
17 51
11 2i 1 2i 1    ; es: 
 
A) 1 B) -3 C) -2 
D) -i E) 
1 3
i
2 2
 
 
RESOLUCIÓN 
      
17
3 17 17
1 2i 11 2i 11 2i       
 
 Luego: 
   
17 17
E 11 2i 11 2i 1 1      
RPTA.: A 
 
126. Halle “m + n”; a partir de 
 
2
1 1 i
1 i
m ni 1 1
 
   
  
 
A) 
2
5
 B) 
1
5
 C) 
1
5
 
D) 
1
7
 E) 
2
7
 
 
RESOLUCIÓN 
* 
2
1 i 1 i
i 1
1 i 1 i
  
    
  
 
 
1
i 2
m ni
 

 
 
1 2 i
m ni
2 i 2 i
 
   
  
 
 
2
m
2 i 2 1 5
m ni i
5 5 5 1
n
5

 
    
  

 
 
1
m n
5
  
 
 
RPTA.: C 
 
127. ¿Qué valor asume “k”, si 
k 3i
2 5i


 es 
un complejo imaginario puro? 
 
A) 2 B) -2 C) 15 
D) 
15
2
 E) 1 
 
RESOLUCIÓN 
 
15
2k 15 k
2
   
RPTA.: D 
 
128. Sabiendo que: a bi x yi   . 
 Calcule: 
2
2 4
b
ay y
 
 
A) 4 B) -4 C)-2 
D) 2 E) 1 
 
RESOLUCIÓN 
 
2 2a bi x y 2xyi    
 
2 2a x y b 2xy    
 
2 2 2 2 2x a y b 4x y    
 
  2 2 2b 4 a y y  
  2 2 4b 4 ay y  
 
2
2 4
b
4
ay y


 
RPTA.: A 
 
129. Calcule: 
 
 
39
40
1 3i
1 i


 
 
A) 2 B) 
202 C) 192 
D) 
202 E) 192 
 
RESOLUCIÓN 
     
39 39 3913i 2Cis60º 2 Cis 2340º  
     
10
40 4 201 i 1 i 2    
    Cis 2340º Cis 6 360º 180º  
 
 39 19
20
2 1
2
2

  
RPTA.: E 
 
130. Si: Z C Z Z 7Im(z)   
Calcule: Z 3,5i 
 
A) 3,5 B) 2,2 C) 2,1 
D) 2,4 E) 1,2 
 
RESOLUCIÓN 
 Sea: Z a bi  
    a bi a bi 7b   
 
2 2a b 7b  
nos piden : 
7
Z 3,5i a bi i
2
    
 2 2
7 49
a b i a b 7b
2 4
 
      
 
 
 
49 7
7b 7b 3,5
4 2
    
RPTA.: A 
 
131. Calcule: 
6
2 cos isen
12 12
   
  
  
 
 
 
A) 8i B) 8 C) -8i 
D) -8 E) 32 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
6
2 cos isen
2 2
  
 
 
 
  32 0 i 1 8i  
RPTA.: A 
 
132. Sean los complejos 
 1 2Z 1 i Z 3 6i     
 Halle el módulo de 
2 3
1 2Z Z

 
 
 
 
A) 
1
2
 B) 
7
2
 C) 
27
2
 
D) 
13
2
 E) 
29
2
 
 
RESOLUCIÓN 
    
2 12
1Z 1 i 2i
      
     
3 2
3
2Z 3 6i 3 6 i 3 6 i    
 15 3 3 6i   
 
Piden: 
3
2 3 2
1 2 2
1
Z 15 3 3 6I
Z Z
Z 2I
    
 
3 6 15
3i
2 2
 
 
2 2
3 6 15 3 3 6 15 3
i
2 2 2 2
   
           
 
 
 El módulo es: 
27
2
 
RPTA.: C 
 
133. Calcule: 
 
2343 331 542 300
55 242 328
i i i i
i i i  
  
 
 
 
A) -3 B) -4 C) -5 
D) -2 E) -1 
 
RESOLUCIÓN 
o o
2343 4 3 ;300 4   
o
331 4 3 ;  
o
542 4 32;  
 
3 3 2
2
i i i 1 2i
2
i i 1 i
   
  
 
 
RPTA.: D 
 
134. Calcule: 
555555 333i i 
 
A) i B) -i C) 2i 
D) -2i E) 0 
 
RESOLUCIÓN 
 
o o
555555 4 3 333 4 1     
  
3333 1i 1 i i i 21       
 RPTA.: D 
 
135. Halle un número complejo cuyo 
cuadrado sea igual a su 
conjugado. 
 
A) 
1
i
2
  B) 
1
1 i
2
  
C) 
1 3
i
2 2
  D) 
1 3
i
2 2
 
 
E) 1 
 
 
RESOLUCIÓN 
 Sea el complejo: Z a bi  
 Z a bi  
 Luego:  
2
a bi a bi   
 
2 2a b 2abi a bi    
 
2 2a b a
2ab b
  

 
 
 Resolviendo: 
1
a =-
2
 
 Luego: 
2
21 1b
2 2
 
    
 
 
 2 2
1 1 3
b b
4 2 4
    
 
 
3
b
2
  
 Luego el complejo buscado será 
 
1 3
Z i
2 2
   
RPTA.: C 
 
136. Si:  
2
Z 3Re Z 
Halle: 
3
Z
2
 
 
 
 
A) 
1
2
 B) 
3
2
 C) 
3
2
 
D) 2 E) 1 
 
RESOLUCIÓN 
 Sea: Z = a + bi 
 
Por condición: 
 (a+bi)² = 3a 
 (a²b²) + 2abi = 3a + 0i 
 
 
a² b² 3a;
2ab 0
 


 
 Resolviendo el sistema: 
 
1 2
1 2
a 0 a 3
ó
b 0 b 0
  
 
 
   
 
 
 
3 3
Z
2 2
  
RPTA.: B 
 
 
137. Calcule : 5 12i 
 
A)  3 2i  B)  2 3i  
C) 3i D) 2i 
E) 1 + i 
 
 
RESOLUCIÓN 
 Recordemos: 
 
Z a Z a
a bi i
2 2
  
    
 
 
 
 5 12 i 25 144 169 13     
Luego: 
13 5 13 5
5 12i i
2 2
  
     
 
 
  5 12i 3 2i    
RPTA.: A 
 
 
138. Indicar uno de los complejos 
resultantes de: 3 4i 3 4i   
 
A) 4 B) 4 C) + 2 
D) 2  i E)  2i 
 
RESOLUCIÓN 
 E 3 4i 3 4i    
  
2
4E 3 4i 3 4i    
 4E 3 4i  3 4i  2 9 16  
 
4E 6 2 25  
 
4 4E 6 10 E 16    
 E = 2 
RPTA.: C 
139. Resolver la ecuación en C/ C 
 
2Ln 3iLn 4 0     
 
A) 4i B) ei C) 
4ie 
D)  4i ie ;e E)  i 4ie ; e 
 
 
RESOLUCIÓN 
(LnZ)²  3i LinZ  4i2 = 0 
 
LnZ 4i 
LnZ i 
 
De donde: 
LnZ = 4i ó LnZ =  i 
 Z1 = e
4i Z2 = e
i 
RPTA.: E 
 
 
 
140. Calcule: 
 4 12i 3 4i    
 
A) 13 B) 14 C) 16 
D) 17 E) 20 
RESOLUCIÓN 
* 3 4i 5   
* 12i 5 144 25 13    
 4 13 17 17   
 
RPTA.: D 
SEMANA 8 
TEORÍA DE ECUACIONES 
 
141. Calcule “k” para que la ecuación 
se reduzca a una de primer grado. 
 
2k 3 3kx 2
2k 3
x 1 x 1
 
  
 
 
 
A) -2 B) -3 C)1 
D) 2 E) 3 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
           22k 3 x 1 3kx 2 x 1 2k 3 x 1       
 
 
2 22kx 2kx 3x 3kx 3kx 2x 2      
 
=
2 22kx 2k 3x 3   
 
2 2 25kx kx 5x 1 2kx 3x 2k 3       
 2 23kx 3x k 5 x 2k 2 0      
   23k 3 x k 5 x 2k 2 0      
 3k 3 0 k 1    
RPTA.: C 
 
 
142. Calcule el valor de x en: 
x n x m
1
n m
 
  
 
A) m B) n 
C) 
mn
m n 
 D) 
m
n n
 
E) 
n
n m
 
 
 
RESOLUCIÓN 
xm mn nx mn   mn 
x(m n) mn   
 
mn mn
x
m n m n

 
  
 
 RPTA.: C 
 
 
 
143. Halle 
2x en : 
 ; x C
2 x
2x x
x 2
   
 
A) 
4
3
 B) 
3
4

 C) x C 
D) -3 E) -4 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
2 2 2 2 2x 4 4x 2x 5x 2x 4       
 2 2
4
3x 4 x
3

    
 RPTA.: C 
 
144. Resolver en “x” 
  
a bx a bx abx
a b
a b a b a b
  
      
 
 
A) -2 B) 1 C) 2 
D) 3 E) a + 2b 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 a b
       
 
a bx a b a bx a b
a b
    
  a b
abx
a b
 
  
 
 
 ab x = 2 ab 
 x = 2 
 RPTA.: C 
 
145. Si 1 2 3x ;x ;x son las raíces de la 
ecuación 
 3 2x n 1 x 2nx n 3 0      
Calcule:      1 2 3x 1 x 1 x 1   
 
A) 1 B) 2 C) -3 
D) 4 E) -1 
 
RESOLUCIÓN 
 Por cardano: 
*  1 2 3x x x n 1     
* 1 2 1 3 2 3x x x x x x 2n   
*  1 2 3x x x n 3   
 lo pedido es :  1 2 31 x x x    
 1 2 1 3 2 3 1 2 3x x x x x x x x x 3     
RPTA.: C 
146. Si la ecuación paramétrica en “x” 
presenta infinitas soluciones 
calcule el valor de a + b. 
 
2ax 1 2x b   
 
A) -2 B) 2 C) 3 
D) -2 E) -3 
 
RESOLUCIÓN 
 
2
2 b 1a 2 x b 1 x
a 2

    

 
 a = 2 
2b 1 b 1     
 a + b = 3  a +b = + 1 
 RPTA.: C 
 
147. Si a y b son las soluciones de la 
ecuación cuadrática 
 
2x 2x 7 0   
Calcule 
2 2a 5 b 5
a 1 b 1
 

 
 
 
A) 3 B) 2 C) 4 
D) 5 E) 7 
 
RESOLUCIÓN 
 2 2a 2a 7 0 a 5 2a 2       
 
2
2a 5 2 b 2b 7 0
a 1

    

 
 
2b 5
2
b 1



 
 
a² 5 b² 5
4
a 1 b 1
 
 
 
 
RPTA.: C 
 
148. ¿Qué podemos afirmar acerca de 
esta ecuación? 
 
      1x x 2 x 3 x 2 2 0
x
 
     
 
 
 
A) Tiene 5 soluciones 
B) Tiene 4 soluciones 
C) la suma de las soluciones es 
7
2
 
D) es incompatible 
E) 3 soluciones 
 
RESOLUCIÓN 
x 0 x 0   (no) 
 x 2 0  (no) 
 x 3 0 x 3    
 
1 1
2 0 x
x 2
    
 1 2
1 7
x x 3
2 2
    
 RPTA.: C 
 
149. Calcule el valor de  si la ecuación 
de segundo grado 
   24 x 2 x 1 0;      tiene 
solución única. 
 
A) 2 B) 4 y -2 C) -4 y 2 
D) 2 y 4 E) 2 
 
RESOLUCIÓN 
 4  0  
 
2 2 8 0     
 
 
    4 2 0 4         
 2  
RPTA.: C 
 
150. Si 3 2 2 es una raíz irracional 
de: 
3 22x 11x mx n   
m,n , calcule el valor: mn 
 
A) 4 B) 8 C) 1 
D) 7 E) * 
 
RESOLUCIÓN 
Si: 
1 2x 3 2 2 x 3 2 2     
de la ecuación 
1 2 3
11
x x x
2
   
 6 
 
3
1
x
2

 
 además: 
1 2 3
n
x x x n 1
2
    
 luego: 
1 2 1 3 2 2
m
x x x x x x
2
   
 2 
 m = 4 
 
41 1 
RPTA.: C 
 
151. Encontrar el conjunto de solución 
de: 
1 1
4x 2 x 4
x 2 x 2
    
 
 
 
A)  2 B)  1;2 C)  
D) 2 E)  4 
 
RESOLUCIÓN 
x 2  4x-x=4+2 
 3x 6 
 x 2 
 Pero x 2  x   
 RPTA.: C 
 
152. Calcule el menor valor de k, si las 
raíces de la ecuación 
 4 2x k 4 x 4k 0    ; están en 
progresión aritmética. 
 
A) -4 B) -9 C) 
4
9
 
D) 36 E) 
2
3
 
RESOLUCIÓN 
Si: las raíces de: 
4 2ax bx c 0   
están en P.A. 
29b 100ac  
      
2
9 k 4 100 1 4k ; k 0      
 3k 20 k 12 0   
 
4
k k 36
9
   
 RPTA.: C 
 
153. Indique una solución de la 
ecuación. 
4 29x 7x 2 0   
 
A) – 9 B) – 2 C) – 1 
D) 3 E) -3 
 
RESOLUCIÓN 
4 29x 7x 2 0   
29x + 2 
 
2x - 1 
    2 29x 2 x 1 0   
 2x 1 x 1    
 RPTA.: C154. Si: 1 2 3 4x ;x ;x ;x son raíces de la 
ecuación: 
4 210x 7x 1 0   
Calcule el valor de 
4 4 4 4
1 2 3 4x x x x   
 
A) 
2
25
 B) 
1
2
 C) 
29
50
 
D) 
1
25
 E) 
1
4
 
 
RESOLUCIÓN 
Factorizando: 
   2 25x 1 5x 1 0   
 
 
       5x 1 5x 1 2x 1 2x 1 0    
1
1
x
5
  2
1
x
5
 
3
1
x
2
  4
1
x
2
 
 
 4 4 4 41 2 3 4
1 1 1 1
x x x x
25 25 4 4
       
 4 4 4 41 2 3 4
2 1 29
x x x x
25 2 50
      
RPTA.: C 
 
155. Luego de resolver: 
2
2
1
x x 1 2
x x 1
   
 
 
Señale el menor valor de 
3
x
2
 
 
 
 
 
A) 
1
4
 B) 
1
4
 C) 
1
8
 
D) 4 E) 2 
 
RESOLUCIÓN 
2 2x x 1 1 x x 2 0       
   x 2 x 1 0   
x 2 x 1    
 
3
1 1
2 8
 
  
 
 
 RPTA.: C 
 
 
156. Resuelve la ecuación 
32x 1 x 4 5    e indique el 
valor de 
2x 
 
A) 4 B) 3 C) 16 
D) 19 E) 
1
4
 
 
RESOLUCIÓN 
 
Sea: 
33 x 4 a x a 4     
  32 a 4 1 a 5    
 32a 7 5 a; a 5    
 al cuadrado miembro a miembro 
 
3 2 a2a 7 25 a 10    
 
3 22a a 10a 32 0    
 
 
 
 
 
 
    2a 2 a 3a 16 0    
 aquí a R 
 a = 2 
 
 3 x 4 2 x 4 8     
 x = 4 
 nos piden : 
2x 16 
 RPTA.: C 
 
 
157. Dadas las ecuaciones 
3 2 3x mx 18 0; x nx 12 0      
 que tienen dos raíces comunes 
señale el valor de m. 
 
A) -3 B) 3 C) 1 
D) 2 E) -2 
 
RESOLUCIÓN 
De: 
 3 2 sx mx 18 C ; ;       
 3 2 sx nx 12 C ; ;       
 
Por cardano – 
 
 
 
 ...(I) 
 
 además: 
 
 
 
 
 3k 2k     
 en (I): - k = m 3m   
 En la ecuación: 
2 -1 10 -32
2 4 6 32
2 3 16 0
    
    
m     
= - m
= 0
18
12
   
   
3
2
 
  

 
 
3 327m 9m 18 0    
 
 
318m 18 m 1     
RPTA.: C 
 
158. Si: 3 25  es una raíz de la 
ecuación: 
5 4 3 2x bx cx 34x 0    Calcule 
el valor de “b” ; b y c R 
 
A) 2 B) 3 E) 5 
D) 4 E) 7 
 
RESOLUCIÓN 
 2 3 2x x bx cx 34 0    
 
2x 0 ( raíz doble) 
 
3 2x bx cx 34 0    
 Si 1 2x 3 5i x 3 5i     
 
 Por cardano: 
 1 2 3x x x 34  
 
 3 334 x 34 x 1     
 Además: 1 2 3x x x b   
 
 6 + -1 =b  b = 5 
 RPTA.: C 
 
159. Resolver: 
 
2 2 2x 4x 8 x 4x 4 2x 8x 12        
 
A) x = 2 B) x = 1 C) x = -2 
D) x = 3 E) x = 0 
 
RESOLUCIÓN 
2x 4x 6 n n 2 n 2 2n       
 al cuadrado m.a.m: 
 n 2 n 2 
2
22 n 4 2n   
 2n 22 n 4 2n   
  2n 4 n 2 n 0     
(I)  n = 2 
 luego : 
2x 4x 6 2   
 
2x 4x 4 0   
  
2
x 2 0 x 2     
RPTA.: C 
 
160. Halle “k” para que la diferencia de 
raíces sea uno. 
   22x k 1 x k 1 0     
 
A) - 2 B) -3 C) 11 
D) 1 E) 2 
 
RESOLUCIÓN 
2
1 2 1 2
b 4ac
x x x x
a

    
 
     
2
k 1 4 2 k 1
1
2
  
 
 22 k 2k 1 8k 8     
 
24 k 10k 7   
 
2k 10k 11 0   
  k 11 (k 1) 0   
 k = 11  k = -1 
 RPTA.: C 
 
 
 
 
 
 SEMANA 9 
SISTEMAS DE ECUACIONES 
 
161. ¿Qué valores de “K” haría que el 
sistema 
    K 3 x 2K 3 y 24    
    K 3 x K 1 y 8    
 no acepte solución? 
 
A) 2 B) 1 C) - 1 
 D) 3 E) 6 
 
RESOLUCIÓN 
 Como: 
 
 
 
 
1 1 1a x b y c 
2 2 2a x b y c 
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
 
 
 solución 
 
 
        
K 3 2K 3
K 3 K 1 2K 3 K 3
K 3 K 1
 
      
 
 
 
2 2K 2K 3 2K 3K 9     
 
2K 5K 6 0   
 K - 6 
 K + 1 
    K 6 K 1 0   
 K = 6 K = -1 
 
 Además: 
 
K 3 24
K 3 8



 
 
K 3
3
K 3



 
 K 3 3K 9   
 12 2K 
 6 K 
 K = -1 
 
RPTA.: C 
 
162. Examine para que valores de a y 
b el sistema: 
 x y z 0   
 x y 2z 1   
 2x 4y az b   
 posee infinitas soluciones, indique 
a x b. 
 
A) 0 B) 1 C) -1 
 D) 2 E) -2 
 
RESOLUCIÓN 
 Para infinitas soluciones: 
 g 0  
 x 0  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A + 4 + 2b – (- b + 1) = 0 
 3b = - 3 
 b = - 1 
 
 a x b = -1 
 
RPTA.: C 
 
 
163. Señale una raíz de la ecuación: 
 
3 2x 4x 6x 4 0    
 
A) 1 + i B) 1 - i C) 3 + i 
 D) 3 - i E) A y B 
 
RESOLUCIÓN 
 Divisores del T.I.:  1,2,4 
evaluando para x = 2 
 
 
 
 
 
 
 Una raíz es x = 2 
 Las otras raíces se obtienen al 
resolver. 
2 2 4x 2x 2 0 x
2
 
     
 
RPTA.: E 
 
164. El conjunto solución de la 
ecuación: 
    3 2K 4 x K 3 x 3 0     
 es  1; ;  Calcule el valor de 
   
 
A) 1 B) 3 C) - 3 
 D) 2 3 E) 4 3 
 
RESOLUCIÓN 
 Como una raíz es x = 1 
 K – 4 + K - 3 - 3 = 0 
g 
1 1 1
1 -1 1
2 4 a
1 1 1
1 -1 2
 0 a 4 4 2 8 a 0         
x 
1 1 1
1 -1 2
b 4 1
0 1 1
1 -1 2
= 0
X = 2
1 - 4 + 6 - 4
2 - 4 + 4
1 - 2 + 2 0
 
 
 K = 5 
 La ecuación es: 
3 2x 2x 3 0   
 Por Ruffini: 
 
 
 
 
 
3 3 i 3 3
x i; 3
2 2 2
 
        
 
3 3 i 3 3
x i; 3
2 2 2
 
        
 2 3    
 
RPTA.: B 
 
165. Formar la ecuación de cuarto 
grado de coeficientes reales; si 
dos de sus raíces son: 1 2i y 
1 2i . 
 
A)
4 3 2x 4x 12x 16x 15 0     
B)
4 3 2x 4x 12x 16x 15 0     
C)
4 3 2x 4x 12x 16x 15 0     
 D)
4 3 2x 4x 12x 16x 15 0    
 E)
4 3 2x 4x 12x 16x 15 0     
 
RESOLUCIÓN 
 1x 1 2i  
 2x 1 2i  S 2  y P 5 
 
2x 2x 5 0    
 
 1x 1 2i  
 2x 1 2i  S 2  y 
P 3 
 
2x 2x 3 0    
 Multiplicando: 
    
2
2 2x 2x 8 x 2x 15 0     
 Ecuación resultante: 
 
2 3 2x 4x 12x 16x 15 0     
 
RPTA.: A 
166. Formar la ecuación de cuarto 
grado de coeficientes racionales si 
una de sus raíces es 3 5i . 
 
A) 
4 2x 4x 64 0   
B) 
4 2x 8x 16 0   
C) 
4 2x 4x 16 0   
D) 
4 2x 16x 64 0   
 E) 
4 2x 16x 16 0   
 
RESOLUCIÓN 
 x 3 5i  
 Elevando al cuadrado. 
 2x 3 5 2 15i   
 2x 2 2 5i  
 
 Elevando al cuadrado. 
 
4 2x 4x 4 60    
 
4 2x 4x 64 0   
 
RPTA.: C 
 
167. En el polinomio cúbico 
 
3P(x) x x 1   
 Se observa que 
      P a P b P c 0   
 Calcule el valor numérico de 
 3 3 3P a b c ab ac bc abc      
 
A) - 17 B) - 11 C) - 21 
 D) - 28 E) - 29 
 
RESOLUCIÓN 
 Se cumple que 
      3x x 1 x a x b x c      
  3 3 2x x 1 x a b c x       
  ab ac bc x abc    
 
3 3 3a b c 0 a b c 3abc       
 ab + ac + bc = + 1 
 abc = -1  3 abc = - 3 
    P 3 1 1 P 3 27 3 1         
  P 3 29   
RPTA.: E 
X=1
1 2 0 - 3 
1 3 3
1 3 3 0
 
 
 
168. Calcule el valor de (a + b) en la 
ecuación: 
4 3 22x x 3x ax b 0     ; {a;b}  
 Si se sabe que una de sus raíces 
es: 1 + 2 i 
 
A) 31 B) 34 C) 35 
 D) 38 E) 39 
 
RESOLUCIÒN 
 x1 = 1 + 2i 
 x2 = 1 2i  x1.x2 = 2; x1.x1 = 5 
  x²  2x + 5 = 0 
 Por Horner: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a = 19 ; b = 15 
 a + b = 34 
RPTA.: B 
 
169. Halle el término independiente de 
una ecuación de grado mínimo de 
coeficientes reales, si se sabe que 
su conjunto solución es 
  i; i; 2i; 2i;.......; ni; ni   
 
A) 
nn B) 2n C) 
 D) E) 
 
RESOLUCIÓN 
 Obsérvese que: 
     2x i x i x 1    
     2x 2i x 2i x 4    
 . 
 . 
 . 
     2 2x ni x ni x n    
 
2T.I 1 4 ... n 
  
2
T.I 1 2 ... n 
 
 
 
RPTA.: E 
 
170. Señale el valor de “a” en la 
ecuación: 
   7 6 22a 7 x 2x 5x a 6 0      
si se sabe que la suma de sus 
raíces excede al producto de las 
mismas en una unidad. 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
 D) 4 E) 5 
 
RESOLUCIÒN 
 Suma= 
2
2a 7
; Producto= 
6 a
2a 7


 
 Ecuación: 
 
2 6 a
1
2a 7 2a 7

 
 
; operando 
 a – 4 = 2 a – 7 
 3 = a 
 
RPTA.: C 
 
171. No es solución de la ecuación:10 10
x 1 x 1 48
x x
   
       
   
; es 
 
A) -1 B) 2 C) -5 
 D) 4 E) A ó D 
 
RESOLUCIÓN 
 2
10
x z z 1 48
x
     
 z 7  
 Si: 
10
x 7
x
   
10
x 7
x
   
 
2x 7x 10 0   ; 2x 7x 10 0   
 (x  2) (x  5) = 0 ; (x+2)(x+5) = 0 
 
 x = 5 x = - 2 
 ó ó 
 x = 2 x = - 5 
 
RPTA.: E 
 
 
2
T.I n
n
2n  
2
n
 
1
2
- 5
2 1 3
4 - 10
a b
6 - 15
2 5 3 0 0
10 - 25
 
 
172. Halle la relación entre los 
coeficientes de la ecuación: 
 
4 2ax bx c 0   
 para que sus raíces reales estén 
en progresión aritmética. 
 
A) 
24b 49ac 
B) 
28b 49ac 
C) 
29b 100ac 
 D)
216b 100ac 
 E) 
225b 100ac 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
   3           
 (x + 3) (x+)(x)(x3) = 0 
    2 2 2 2x 9 x 0     
 Equivalencia resultante 
 4 2 2 4 4 2
b c
x 10 x 9 x x
a a
       
  
2
2 4
12
b b
10 100 ...
a a
       
  2 4 2
b c
10 9 ...
a a
       
 
 
 También: 
    
2
2
1 2
100 b
9b 100ac
9 ac
      
 
RPTA.: C 
 
173. Resolver: La ecuación 
        x 5 x 7 x 4 x 6 504     
 y halle la suma de los cuadrados 
de las raíces negativas. 
 
A) 53 B) 57 C) 61 
 D) 62 E) 64 
 
RESOLUCIÒN 
 Multiplicando convenientemente 
        x 5 x 4 x 7 x 6 504           
    2 2x x 20 x x 42 504     
 Haciendo 
2x x z  
    z 20 z 42 504   
 
2z 62z 336 0   
    z 56 z 6 0   
Regresando a la variable original. 
    2 2x x 56 x x 56 0     
        x 8 x 7 x 3 x 2 0     
x 7  ó x = -2 
    
2 2
7 2 53    
 
RPTA.: A 
 
174. Resolver: 
 x y 3 3 35 
 x y  5 
 
A)   c.s ; 2 3 
B)   c.s ; 3 2 
C)     c.s ; ; ; 1 2 2 3 
D)     c.s ; ; ; 2 3 3 2 
E)     c.s ; ; ; 3 2 1 2 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 x y 3 3 35; x+ y = 5 
   x y x xy y   2 2 35 x = 5 – y 
  x xy y  2 25 35 
 x xy y  2 2 7 
    y y y y    
2 2
5 5 7 
 y y  23 15 18 0 
 y y  2 5 6 0 
 
y x  3 2 
y x  2 3     c.s ; ; 2 3 3 2 
 
RPTA.: D 
    
 
 
 
175. Resolver: 
 y x 2 25 7 17 
 xy x 25 6 6 
 
 e indicar como respuesta la suma 
de todos los valores de “y” 
 
A) 7 B) 14 C) 0 
D) -7 E)  1 
 
RESOLUCIÓN 
 y x 2 25 7 17 
 xy x 25 6 6 
 y x 2 230 42 102 
 xy x 285 102 102 
 
 y xy x  2 230 85 60 0 
 y xy x  2 26 17 12 0 
 3 y - 4 x  
y
x 
3
4
 
 2y - 3 x  
y
x 
2
3
 
 
Si 
y y
x y
 
    
 
2
23 3
5 7 17
4 4
 
 y  4 
 
 Si 
y y
x y
 
    
 
2
22 2
5 7 17
3 3
 
 y  3 
       4 3 0 
 
RPTA.: C 
176. Resolver: 
 x y 2 2 180 
 
x y
 
1 1 1
4
 
 
 e indicar como respuesta la suma 
de todos los valores posibles de 
“x” 
 
A) 7 B) 8 C) 28 
D) 4 E) -4 
 
RESOLUCIÓN 
 Haciendo x v y v       
    v v     
2 2
180 
 v  2 2 90 
 
x y
xy


1
4
 
   v v v v           4 
v   2 28 
v  2 290 
 
    20 2 8 90 
    20 4 45 
v    9 3 
v     5 65 
 
          ;vC.S. ; ; ; ; ;    9 3 9 3 5 65 5 65
      C.S. ; ; ; ;    12 6 6 12 5 65 5 65 
 ;   5 65 5 65 
    x        12 6 5 65 5 65 
 x  8 
 
RPTA.: B 
177. Resolver: 
 x xy y  2 23 2 3 
 x xy y  2 25 6 15 
 
 Se obtuvo:     C.S.= a;b c;d , 
según esto halle (a + b + c + d). 
 
A) 0 B) 1 C) 2 
D) 3 E) -2 
 
RESOLUCIÓN 
 x xy y  2 23 2 3 x (-5) 
 x xy y    2 25 15 10 15 
 x xy y  2 25 6 15 
 x xy y   2 24 10 4 0 
 
2 22x 5xy 2y 0   
 
 
 x2 y  y = - 2x 
 x 2 y  y = 
x

2
 
 
 Si y = - 2x    x x x x    
22
3 2 2 2 3 
 x 1 
 
 Si  x y ;     1 2 1 2 
 Si  x y ;     1 2 1 2 
 Si 
x
y

 
2
x x
x x
   
       
   
2
2
5 6 15
2 2
 
 x x x ( )  2 2 22 5 3 15 2 
 0 30 
     C.S. ; ; ; ;  1 2 1 2 
Luego a + b + c + d = 0 
 
RPTA.: A 
 
 
 
178. Halle la suma de las raíces de la 
ecuación: 
x x x x    2 22 2 2 2 1 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) -4 E) 4 
 
 
RESOLUCIÓN 
 Haciendo x x a 2 2 
    a a  
2
2
1 2 2 
 a a a   2 2 1 4 8 
 a a  2 6 7 0 
    x x x x    
2
2 2
2 6 2 7 0 
x x x x x     4 3 2 24 4 6 12 7 0
 
x4  4x³  2x² + 12x  7 = 0 
 1
0
a 4
S 4
a 1
 
    
RPTA.: E 
 
179. Al resolver: 
 
   
   
x x
x x
  

  
3 3
2 2
3 4
7
3 4
 
 indicar como respuesta la 
diferencia de los cuadrados de sus 
raíces. 
 
A) 7 B) 6 C) 5 
D) 4 E) 3 
 
RESOLUCIÓN 
 Haciendo: 
 3 x a  + 
 4 x b  
 7 = a + b 
 
 Luego: 
3 3
2 2
a b
a b
a b

 

 
 
3 3 3 2 2 3a b a ab a b b     
  0 ab b a  
 b a 0   ab 0 
 7 0    3 x 4 x 0   
  x 3 x 4    
  C.S. 4;3  
    
2 2
4 3 7   
 
RPTA.: A 
 
180. Halle el valor de “x” , sabiendo 
que es un número entero positivo 
de: 
 
 x x x 4 35 3 296 
 
A) 4 B) 11 C) 31 
D) 16 E) 17 
 
 
RESOLUCIÓN 
 x x 
43 3
5 3 296 
 haciendo x a4 3 
a a a a ,       25 3 296 0 8 7 4
 
 x 
4 3
8  x , 4 3 7 8 
  x 
4
3 3
2  
 
 
 x = 16 
 
 
RPTA.: D 
 
SEMANA 10 
INECUACIONES 
 
181. Resolver: 
       x 1 x 2 x 2 x 3 0      , e 
indicar el menor valor entero. 
 
A) - 2 B) - 1 C) 0 
 D) 1 E) 2 
 
RESOLUCIÓN 
    2 2x x 2 x x 6 0      
 2 2x x 2 x x 6 0      
 2x 4 0  
 x 2  
 x 2;   
 El menor valor entero será: -1 
 
RPTA.: B 
 
182. Si: x , ¿a que intervalo 
pertenece la expresión algebraica: 
 
2
5
x 4
 
 
A) 
5
,
4

 

 B) 





4
5
0, 
 C) 50, D) 0,4 
E) 
5
0,
4



 
 
RESOLUCIÓN 
 x 
 2x 0 
 
2
1 1
0
4x 4
 

 
 
2
5 5
0
4x 4
 

 
RPTA.: E 
 
183. Si a>0, b>0, 3a 5b hallar el 
mayor numero M que cumpla lo 
siguiente: 
3a 5b
M
5b 3a
  . 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
 D) 4 E) 5 
 
RESOLUCIÓN 
Como 3a 5b 
  
2
3a 5b 0  
 2 29a 25b 30ab  
 
3a 5b
2
5b 3a
  
RPTA.: B 
184. Si 1< x < 5 
Simplificar:
2 2E x 2x 1 x 10x 25     
 
A) 2 B) 4 C) 2 x-6
 D) x-3 E) x + 3 
 
RESOLUCIÓN 
   
2 2
E x 1 x 5    
E x 1 x 5    
Como: 
1 x 5
0 x 1 4

 
   
y: 
1 x 5
4 x 5 0

 
   
 
E x 1 5 x 4     
RPTA.: B 
 
185. Halle el menor numero impar que 
se debe asignar a “K” en: 
2k x 8x 4 0   , con la condición 
que sus raíces sean números 
complejos: 
 
A) 1 B) 3 C) 5 
 D) 7 E) 9 
 
RESOLUCIÓN 
2k x 8x 4 0   
 
 
 20 b 4ac 0     
 28 4k x4 0  
 64 16k 0  
 4 k 0 k 4    
 menor impar: k = 5 
RPTA.: C 
 
186. Halle el complemento del conjunto 
solución de:
1
3
x
 
 
A) 





3
1
0, B) 
1
0,
3



 
 C) 
1
0,
3
 D) 
1
0,
3



 
 E) 
1
,
3

 

 
 
RESOLUCIÓN 
 
1
3
x
 
 
1
3 0
x
  
1 3x
0
x

 
 
1 3x
0
x

 
 
3x 1
0
x

 
 Puntos críticos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Complemento: 
1
0;
3
 
 
 
 
RPTA.: A 
 
187. Si: 02  x , a que intervalo 
pertenece la expresión: 2
3
4 x
2
 
 
A) 4,0   B) 0,2   
 C) 0,3   D) 0,4   
 E) 
3
0,
2
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 Si: 2 x 0   
 20 4 x 4   
 20 4 x 2   
 2
3
0 4 x 3
2
   
RPTA.: C 
 
188. Resolver: 2x 6x 16 0   
 
A) 
7
, 2
4
  
B) x  
C) 8,4 4,    
D) , 8 4,      
E) x 
 
RESOLUCIÓN 
 01662  xx 
 07962  xx 
   073 2 x 
RPTA.: E 
 
189.Indicar el intervalo solución que 
satisface la desigualdad: 
 
24x 3x 7
0
x 2
 


 
 
A) x 1;  
B) x 7 /4;1 2;      
 C) 
7
x ; 1;2
4
     
D) x 1;2  
E) 
7
x ;
4
    
 
RESOLUCIÓN 
 24x 3x 7  
x 
+-+
0 1
3
0 1
3
 
 
 4x 7 
 x -1 
 
 
   4x 7 x 1
0;x 2
x 2
 
 

 
 
 
 Puntos 
críticos x 1 0 x 1    
 x 2 0 x 2    
 
 
 
 
 
 
7
x ;1 2;
4
     
RPTA.: B 
 
190. Halle la suma de todos los 
números enteros que satisfacen la 
siguiente inecuación: 
 
24x 3x 2x 1   
A) 
5
4
 B) 0 C)1 
 D) 3 E)  
 
RESOLUCIÓN 
 24x 3x 2x 1 0    
 24x 5x 1 0   
 4x - 1 
 x - 1 
    4x 1 x 1 0   
 
 Puntos críticos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
x ;1
4
 
  
 
 
RPTA.: C 
191. Resolver: 22x 3x 5 0   
 
A) x B) x  
C) 
31
x
16
  D) 
31 3
x ;
16 4
 
 
E) 
3
x
4
  
 
RESOLUCIÓN 
 22x 3x 5 0   2 
 2
3 5
x x 0
2 2
   
 
2 2
2 3 3 3 5x 0
2 4 4 2
   
       
   
 
 
 
 la mitad 
 
 
2
3 9 5
x 0
4 16 2
 
    
 
 
 
2
3 9 5
x
4 16 2
 
   
 
 
 
2
3 31
x
4 16
 
  
 
 
 
 + > - 
 x 
RPTA.: A 
192. El intervalo en el cual se satisface 
la inecuación: 
2
2
x x 6
0
x x 6
 

 
 
 es: a;b c;d  ; Calcule: 
 2 2 2 2a b c d   
 
A) 13 B) 18 C) 23 
D) 26 E) 32 
 
RESOLUCIÓN 
 
Factorizando el númerador y 
denominador; vemos que: 
 
   
   
x 3 x 2
0
x 3 x 2
 

 
 
 
 
 
 
7
4x 7 0 x
4
    
- + - +
   7
4

1 2
1
4x 1 0 x
4
x 1 0 x 1
   
   
- - +
1
4
1
P.C
N
x = 3
x = - 2
x = - 3
x = 2
D
 
 
 
 
 
 
 En la recta real: 
 
 
 
 
 
 x 3; 2 2;3      
 a = - 3 
 b = - 2  2 2 2 2a b c d 26    
 c = 2 
 d = 3 
RPTA.: D 
 
193. Indique el conjunto solución de la 
inecuación: 
2
2
x x 6
1
x x 6
 

 
 
 
A) ; 2 0;3    
B) ; 1 1;    
C) ;0 3;   
D) ; 2 1;6   
E) ; 2 1;    
 
RESOLUCIÓN 
 Pasando todo al primer miembro 
2
2
x x 6
1 0
x x 6
 
 
 
 
 
 
2 2
2
x x 6 x x 6
0
x x 6
    

 
 
 
   
2x
x 3 x 2

 
 
 
 
 
 
 
 
 x ; 2 0,3     
RPTA.: A 
194. Resolver: 
 
x a x b
2 x 0
x a x b
 
   
 
 
 
Si: 0 < b < a 
 
A) 
2ab
b;
a b


 
B) a;0 
C) a;b 
D) b;0 
E) a;b 
 
RESOLUCIÓN 
 
x a x b
2
x a x b
 
 
 
 
 
 
   
2 a b x 4ab
0
x a x b
 

 
 
 Puntos referenciales: 
 
2ab
x ;x a;x b
a b
   

 
 
 
 
 
 Como x 0 
 x a,0  
RPTA.: B 
 
195. Calcule el conjunto solución de: 
3 2x 1 x x   
 
A) 4, 1  B) 1,1   
C) 1, D) ,1  
 E) 1,  
 
RESOLUCIÓN 
 3 2x 1 x x   
 3 2x x x 1 0    
    2 2x x 1 x 1 0    
    2 2x x 1 x 1 0    
    2x 1 x 1 0   
      x 1 x 1 x 1 0    
    
2
x 1 x 1 0   
 
-+ +-+
- 2 0 2 3-3  
P.C
N
x = 0
x = 3
x = -2
D
 
-+ +-
- 2 0 3  
- a b 2ab
a b
 
 
 Puntos críticos: 
 
 
 
 
 
 x 1,    
 
RPTA.: E 
196. Resolver: 
 2x x 20 0   ………………………….(1) 
 2x 6x 9 0   ………………….………(2) 
 2x x 2 0   ………..……….………..(3) 
 
A) x 4  B) x 5 
 C) x 4   D) solución 
E) 4 x 5;x 3    
 
RESOLUCIÓN 
De (1): 
2x x 20 0   
x - 5 
x + 4 
   x 5 x 4 0   
 
 
5 - 4 
Por puntos críticos: 
 
 
 
 
 
De (2): 
2x 6x 9 0   
 
2
x 3 0  
 x 3  
De (3): 
2x x 2 0   
2 1 7x x 0
4 4
    
 
2
1 7
x 0
2 4
 
   
 
 
x 
Al interceptar: 
 
 
 
 
 
  x 4,5 3   
RPTA.: E 
 
197. El conjunto solución de la 
inecuación: 2ax bx c 0   
Es: ;3 6;   Calcule a+b+c. 
 
A) 6 B) 8 C) 10 
D) 12 E) 14 
 
RESOLUCIÓN 
La solución se deduce de la 
inecuación 
   x 3 x 6 0   
2x 9x 18 0   
Con lo cual 
2 2ax bx c x 9x 18      
 
 
 
 
 a + b + c = 10 
RPTA.: C 
 
198. Señale el valor máximo de k en la 
inecuación: 22x k x 2 3x   de 
modo que la desigualdad se 
cumpla para todo valor de “x”. 
 
A) 8 B) 7 C) 6 
 D) 5 E) 4 
 
RESOLUCIÓN 
 Preparando la inecuación, se 
tendría  22x k 3 x 2 0    
 la condición es : 0  ; es decir 
      
2
k 3 4 2 2 0   
  
2 2k 3 4 0   
    k 3 4 k 3 4 0     
    k 1 k 7 0   
 
Los puntos críticos son k= -1; k=7 
en la recta real 
 
+ +-
-1 1 
 
- ++
- 4 5   
a = 1
b =-9
c =18
+
-1 7   
- +
0
- 4 5   
3
 
 
 
 
 
 
k 1;7  
 maxk 6 
RPTA.: C 
 
199. Señale el valor entero que 
satisface al sistema. 
 
 2x 5x 24...(1)  
 2x 2x 24...(2)  
 
A) 3 B) 4 C) 5 
 D) 7 E) 8 
 
RESOLUCIÓN 
1.    2x 5x 24 0 x 8 x 3 0       
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 2x 2x 24 0   
    x 6 x 4 0   
 
 
 
 
 
 
3. Interceptando 
 
 
 
 
 x = 7 
 
RPTA.: D 
 
 
200. El mayor valor entero negativo 
que satisface a la inecuación: 
 
     
2 3
6 4
2
x 1 x 1 x 2
0
x 4x 3
  

 
 es: 
A) - 4 B) - 5 C) - 2 
 D) - 3 E) -1 
 
RESOLUCIÓN 
 
 Factorizando, se tiene 
       
   
2 2 3
3 3 4x 1 x 1 x 1 x 2
0
x 1 x 3
   

 
 
3
4x 1 ; se descarta ya que sus 
raíces sus complejas. 
Factorizando de nuevo. 
 
         
   
2 22 22 2x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 2
0
x 1 x 3
      

 
se descartan los factores: 
2x x 1  y 2x x 1  con lo cual 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recta real: 
 
 
 
 
 
 x 3, 1 1 2;      
RPTA.: C 
 
 
201. Halle el intervalo solución al 
resolver:    
22x x 1 3x 1 4 2 1 4x       
A) 
3
x ;0
5

 

 B) 
3
x ;0
5
  
 C) 
3
x ;
5
   D) x 0; 
 E) 
3
x ; 0;
5
      
 
RESOLUCIÓN 
 
+
-3 8   
- +
0
+
- 4 6   
- +
0
8   6
     
   
2 2
x 1 x 1 x 2
0
x 1 x 3
  

 
P.C
D
N
x =1
x = - 1
x = 2
x = - 1
x = - 3
1   0
+-- +
2-1-3
-
 
 
 2 2x x 2x 1 3x 1 3x 1 2 8x         
2 2x x 2x 1 3x 1     5x 3  
 2x 3x 5x 3  
 0 x 
3
x
5
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 0;  
RPTA.: D 
 
 
202. Indicar la suma de aquellos 
números enteros que satisfacen la 
inecuación: 
     
2 1748 4 2x 5 2x 32 3x x 2 0     
A) 1 B) 0 C) 4 
 D) 5 E) 6 
 
RESOLUCIÓN 
 
     
2 1748 4 2x 5 2x 32 3x x 2 0     
 
X = 5 4x 16 0  3x 2 
 
“par”    2 2x 4 x 4 0   x -1 
 
 x 2  x  
2
x
3
  
 “par” 
 
 
 
 
  
2
x ;1 2;5
3
 
    
 
 
 1 + 2 -2 + 5 = 5 
RPTA.: D 
 
 
203. Halle la suma de los 

, al 
resolver la inecuación: 
3 2
4 2
16x 35x 51x
0
x x 1
 

 
 
 
A) 1 B) 2 C) 5 
 D) 6 E) 11 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
   4 2 2 2x x 1 x x 1 x x 1      
 3   3   
 
 x  
 
3 216x 35x 51x 0   
 2x 16x 35x 51 0   
16 x 51 
 x - 1 
   x 16x 51 x 1 0   
 
 
 
Puntos críticos 
x = 0  x = 0 
16 x + 51 =0 x = 
51
16
 
x – 1 = 0 x = 1 
 
 
 
 
 
 
 
51
x ; 0;1
16

      

 
 1 
 
RPTA.: A 
 
204. Si: x 5,10  , halle : 32 M-17 N 
tal que: 
2x 1
N M
3x 2

 

 
 
A) 18 B) 16 C) 14 
D) 12 E) 10 
03
5

+ + - + + +
- 2 2
3

1 2 5
- + - +
051
16

1
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
2 x 1 2 7
3x 2 3 3 3x 2

 
 
 
Como: 5 x 10  
 
9 2 7 19
17 3 3 3x 2 32
  

 
 
19 9
M ; N
32 17
  
 32M 17N 10  
 
RPTA.: E 
 
205. Encontrar el número mayor M con 
la propiedad de que para todo 
x se cumple: 
2 1
5 5M x x 2   
 
A) 
2
3
 B) 
5
6
 C) 
9
4
 
D)6
5
 E) 
2
5
 
 
 
 
SOLUCIÓN 
 
2 1
5 5M x x 2   
 
 Haciendo cambio de variable 
 
1
5y x 
 2M y y 2   
 2y y M 2 0   ; y  
 0  
  1 4 M 2 0    
 
9
M
4
  
 El mayor valor 
9
M
4
  
 
RPTA.: C 
 
 SEMANA 11 
INECUACIONES, VALOR 
ABSOLUTO, INECUACIONES 
EXPONENCIALES 
 
206. Halle el conjunto solución de:
4x 3 2 3x   
 
A)  B)  1 C) 
5
7
 
 
 
 D) 
5
1;
7
 
 
 
 E) 0 
 
RESOLUCIÓN 
 4x 3 2 3x   
 
 
2
2 3x 0 3x 2 0 x
3
       
  
  4x 3 2 3x 4x 3 2 3x        
 7x = 5 - 4x+3 = 2-3x 
 
5
x
7
 1 =x 
 
 
 
 
 
 
  C.S.  
 
RPTA.: B 
 
207. Resolver: 
4x 7
2x 3
3

  
A) 
5
C.S. 1;
8
 
  
 
 
B) 
8
C.S. 1;
5
 
  
 
 
C) 
8
C.S.
5
 
  
 
 
D)  C.S. 1;3  
E)  C.S.  
RESOLUCIÓN 
 
4x 7
2x 3
3

  
 
3
2x 3 0 x
2
    
  
5
7
1
2
3
 
 
 
4x 7 4x 7
2x 3 2x 3
3 3
 
     
 4x-7=6x-9 -4x+7=6x-9 
 2=2x 16 = 10x 
 1 = x 1,6= x 
 
 
 
 
 
8
C.S.
5
 
  
 
 
 
RPTA.: C 
 
208. Resolver: 4x 3 2x 1   , e 
indicar como respuesta el mayor 
de los números enteros que 
pertenece a su conjunto solución. 
 
A) 
2
3
 B)1 C) 2 
 D) 3 E) 5 
 
RESOLUCIÓN 
 4x 3 2x 1   
    4x 3 2x 1 4x 3 2x 1 0       
    6x 4 2x 2 0   
 
 
2
x
3
 x = 1 
 
 
 
 
 
 
 
2
x ;1
3
 
 
 
=1 
RPTA.: B 
 
209. Al resolver, indicar el menor valor 
entero que satisface la 
desigualdad: 2 24x 3x 1 x 2x 1     
 
A) 0 B)   C) 1 
 D) 2 E) -2 
 
RESOLUCIÓN 
 2 24x 3x 1 x 2x 1     
   2 2 2 24x 3x 1 x 2x 1 4x 3x 1 x 2x 1 0          
    2 25x x 3x 5x 2 0    
      x 5x 1 3x 2 x 1 0    
 
 
 x = 0 
1
x
5
 
2
x
3
 x = 1 
 
 
 
 
 
 
 
1 2
x 0; ;1
5 3
  
 El menor número entero   
 
RPTA.: B 
 
210. Halle la suma de los valores 
enteros que pertenecen al 
complemento del conjunto 
solución de la inecuación: 
 
x 2 1
x x 2



 
 
A) 0 B) 1 C) 2 
 D) 3 E) 4 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
x 2 1
x x 2



 elevando al 
cuadrado y por diferencia de 
cuadrados: 
 
x 2 1 x 2 1
0
x x 2 x x 2
    
     
    
 
 
   
2 2x 4 x x 4 x
0
x x 2 x x 2
      
   
       
 
 
   
 
2 2
22
x x 4 x x 4
x x 2
   

 
C.S. 1 17 1 17 1 17 1 17, , ,
2 2 2 2
       
      
      
 
 
1
6
2
3
1
-+ +
12
3
-+ -
12
3
+ +
1
5
0
 
 
 Entonces: 
 {2, 2} 
 
RPTA.: B 
211. Si el conjunto solución de la 
inecuación 
2
x 1 1
x 1x 4x 8


 
 tiene 
la forma:  
a
; c
b

 

 Halle: 
a + b + c 
 
A) 5 B) 7 C) 8 
 D) 9 E) 10 
 
RESOLUCIÓN 
 Elevando al cuadrado 
 
2 2
2
x 1 1
x 1x 4x 8
   
   
    
 
 Luego: 
2 2
x 1 1 x 1 1
0
x 1 x 1x 4x 8 x 4x 8
    
     
       
 
       
2 2 2 2
2 2
x 2x 1 x 4x 8 x 2x 1 x 4x 8
0
x 4x 8 x 1 x 4x 8 x 1
            
    
        
   
   
   
2
2 22
2x 7 2x 6x 9
0
x 4x 8 x 1
  

  
 
  
7
x ; 1
2

  

 
 a + b + c = 7 + 2+1 = 10 
 
 
RPTA.: E 
 
212. Si la expresión 
4x 7 x 7
E
x
  
 
se resuelve a una constante, para 
x 2,5 ; halle dicha constante. 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
 D) 4 E) 5 
 
RESOLUCIÓN 
 4x+7; 
7
x
4
  
 4x 7  
 -4x-7; 
7
x
4
  
 
 x-7; x 7 
 x 7    
 7-x; x<7 
 
 para x 2;5 
 
 4x 7 7 x
E 5
x
  
  
 
RPTA.: E 
 
213. Halle la suma de los valores 
enteros que verifican a la 
inecuación x 6 x 12 0     
 
A) 60 B) 61 C) 62 
 D) 63 E) 64 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 x 6 0   x 12 0   
 x 6  x 12 
 x= 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 
 
RPTA.: D 
 
214. Resuelva la inecuación x 1 x  
 
A) 0;  B) 1;  
 C) ;1  D) 1;1   
 E) ;0  
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 x 1 0 x 0    
 x 1  x 0 
 
 
 
 
 
 Universo: x 1 
 Elevando al cuadrado 
 2x 1 x  
 2x x 1 0   ; 3   
1 
 
 
 x interceptando 
 x 1;  
 
RPTA.: B 
 
215. Indicar el conjunto solución de 
x 2 x 5 3    
 
A) 5;  B) 6;  C) 5; 
D) 6; E)  2;5 
 
RESOLUCIÓN 
 Universo 
 x 2 0 x 5 0 x 5       
 x 5 3 x 2    
 Elevando al cuadrado 
 x 5 9 6 x 2 x 2      
 6 x 2 12  
 x 2 2  
 x 2 4 x 6    
 
RPTA.: B 
 
216. Indique el conjunto solución de 
3 23 x 3x 5x 2 x 1     
 
A) ;0 B) 0; 
 C) 
1
;
2

 

 D) 
1
;
2



 
 E) 
1
0;
2
 
  
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 Elevando al cubo. 
 3 2 3 2x 3x 5x 2 x 3x 3x 1       
 2x 1 
 
1
x
2
 
 
1
x ;
2

  

 
 
RPTA.: C 
 
217. Cuántos valores enteros 
satisfacen a la inecuación 
 
4 4
1 1
0
x 2 9 x
 
 
 
 
A) 31 B) 32 C) 33 
 D) 34 E) 35 
 
RESOLUCIÓN 
1. x – 2 > 0  x > 2 
2. 9 – x > 0  x < 9 
3. 3; 4; 5; 6; 7; 8. 
4. 3 4 5 6 7 8      
 
RPTA.: C 
 
218. Señale el intervalo en el cual le 
satisface la inecuación 
 
2
2x 5
x 5x 6

  
 
 
A) 
5
2;
2
 B) 3;0 
C) 
5
;4
2
 D) 3;6 
 E) 
5
7;
2


 
 
RESOLUCIÓN 
1. 2x 5x 6 0    
 2x 5x 6 0   
    x 3 x 2 0   
 
 
 
 
2. 2x – 5 < 0 
 
5
x
2
 
3. De …(1) y …(2) 
5
x 2;
2
 
 
RPTA.: A 
 
219. Al resolver: x 4 3 x 1 4    , 
indicar como respuesta la suma 
de sus raíces. 
 
++
0 2 3 
 
 
A) 
9
11
 B) 
7
8
 C) 
4
7
 
 D) 
2
7
 E) 
9
4
 
 
RESOLUCIÓN 
 x + 4 = 0  x -1 = 0 
 x = - 4 x = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo de   
- (x+4) + 3(x-1) = 4 
- x – 4 + 3x -3 = 4 
 2x = 11 
 x =
11
2
 ; 4    
 x  
 
 
Cálculo de   
(x+4) +3 (x-1) = 4 
x + 4 + 3x – 3 = 4 
 4x = 3 
 
3
x 4;1
4
    
 
3
x
4
 
 
 
Cálculo de (): 
(x + 4)  3(x1) = 4 
x = 
3
2
 1   
 
Luego: 
3 3
,
4 2
    
 
 
 
 
 
3 3 9
4 2 4
  
RPTA.: E 
 
220. Indicar el menor valor entero 
positivo que satisface la 
desigualdad: 
 
x 2 x 3
x 1 3 x 20,008 0,04
 
  
 
A) 1 B) 2 C) 3 
 D) 4 E) 0 
 
RESOLUCIÓN 
 
x 2 x 3
3 2
x 1 x
1 1
25 25
 
  
 
x 2 x 3
x 1 x1 1
5 5
 
   
   
   
 
 
x 2 x 3
x 1 x
 


 
 
x 2 x 3
0; x 0;1
x 1 x
 
  

 
 
 
 
2 2x 2x x 4x 3
0
x x 1
   


 
 
 
6x 3
0
x x 1



 
 puntos críticos  
1
x ;0;1
2
 
 
 
 
 
 
1
x 0; 1;
2

  

 
 2 
RPTA.: B 
221. Al resolver: 2x 1 x 3 1    , 
se obtiene x a;b ;       
según esto, hallar (b+c). 
 
A) 17 B) 16 C) 15 
 D) 14 E) 13 
 
RESOLUCIÓN 
 2x 1 x 3 1    
 
1
2x 1 0 x
2
    
x 3 0 x 3     
 
x 4 3 x 1 4   
-4 1
x ; 4   
x 4;1  
x 1;  
-
+
+ +
-
- ….
….
….



-+-
   0
+
11
2
1
x ;
2

  

..Universo 
 
 
 
  
22
2x 1 1 x 3    
 2x 1 1 2 x 3 x 3      
    
22
x 5 2 x 3   
 2x 10x 25 4x 12    
 2x 14x 13 0   
    x 13 x 1 0   
 
 x = 13 x = 1 
 
 
 
 
 
 
1
x ;1 13;
2
 
    
 
 
 
 b c 
 b + c = 1 + 13 =14 
RPTA.: D 
 
222. Halle el valor de “x” que satisface 
la desigualdad. 
 
 2 4x 7 8 4 x 1
3 64
4 27
   
   
   
   
 
 
A) B) C)
9
;
10
 D)
9
;
10
 E)
5
;
2
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 4 x 12 4x 7 8 3
3 3
4 4

      
          
 
 
2 4x 7 8 12x 12
3 3
4 4
  
   
   
   
 
 2 4x 7 8 12x 12    
 2 4x 7 12x 4  
 4x 7 6x 2   
 
 
 
1
6x 2 0 x
3
    
  
 2 6x 4x 7 6x 2     
 2 6x 4x 7 4x 7 6x 2       
 9 < 10x -5 < 2x 
 
9
x
10
 
5
x
2
  
 
 
 
 
 
 
9
C.S.x ;
10
  
 
RPTA.: B 
 
 
 
 
 
223. Halle la suma de los valores 
enteros positivos que pertenecen 
al complemento del conjunto 
solución de la inecuación 
x 5 x 1x 4 2x4 2   
 
A) 6 B) 12 C) 15 
 D) 17 E) 20 
 
RESOLUCIÓN 
 
 2 x 4 2x
x 5 x 12 2

  
 
 2 x 4 2x
x 5 x 1


 
 
 
x 4 x
0
x 5 x 1

 
 
 
 
   
2 2x 3x 4 x 5x
0
x 5 x 1
   

 
 
 
 
   
2 x 2
0
x 5 x 1


 
 
 
 
 
 
 
 C.S. 1;2 5;    
  
C
C.S. 3 4 5 12    
RPTA.: B 
5
2

1
3
9
10
13 11
2

+ +
-


-1
2 5
 
 
 
224. Halle el conjunto solución de la 
inecuación: 
2 x
xx 3 x 2
1 1
3 9
3 9

 
   
   
   
 
 
A) 3;  B) ; 3   
 C) ;3  D) 3; 
 E) 2;3 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
x 2 1 x
x 3 x 23 9
 
  
 
1 xx 2 2
x 2x 33 3
 
 
   
 
x 2 1 x
2
x 3 x 2
  
  
  
 
 
 2 x 1x 2
0
x 3 x 2

 
 
 
 
   
23x 4x 10
0
x 3 x 2
 

 
 
 C.S. 2;3  
 
RPTA.: E 
225. Indicar el mayor valor entero del 
conjunto solución de la inecuación 
2x 2x 15 x 1    
 
A) -1 B) -2 C) -3 
 D) - 4 E) -5 
 
 
RESOLUCIÓN 
 Si: 
 2x 2x 15 0   
 x 3 
 x -5 
 
 
 
 
 Si además x+ 1 0 
 x 1  
 C.S. ; 3   
 mayor valor entero = -3 
 
RPTA.: C 
SEMANA 12 
FUNCIONES 
 
226. Sea la función:
 
2
x
f ax b  , a b
constantes y “x” un número real 
cualquiera. Los pares ordenados 
(0;3); (2;2) y (3;R) corresponden 
a los puntos de la función, 
¿Calcular el valor de “R”? 
 
A) 1 B) 
3
4
 C) 1; 3 
D) 2 E) 5 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
2
x
f ax b  
 2y ax b  
 Evaluando: 
 (0;3)  
2
3 a 0 b b 3    
 (2;2)  
2 1
2 a 2 b b 2 4a b a
4
         
 (3;R)  
2
R a 3 b  
  
1
R 9 3
4
   
 R=
3
4
 
RPTA.: B 
 
227. Halle el dominio de 
 
2 2
x
f 2 x  
 
A) 
B)  x / 4 x 4    
C) 2;2   
D) 2;  
E) 2;2  
 
RESOLUCIÓN 
 Como  xf 0 , entonces esta 
definida solo si 24 x 0  
 Luego: 2x 4 0  
    x 2 x 2 0   
 
-3 5
 
 
 x = 2 x = -2 
 
 
 
 
 
 
x 2;2    Dom f 2;2   ó x / 2 x 2    
 
RPTA.: C 
 
228. Halle el dominio de la función: 
 x
y f ; tal que 
 x
f x 2 6 x    
 
A) 2;4   B) 2;6   C) 2;4 
D) 2;6 E) 6; 
 
 
RESOLUCIÓN 
 x 2 0 6 x 0     
 x 2 x 6 
 x 2;6   
 
RPTA.: B 
 
229. Halle el rango de la función f cuya 
regla es 
 x
x 2
f
x 3



 
 
A)  1 B)  1  
C)
2
3
 
  
 
 D)
2
;1
3
 
E)  
 
RESOLUCIÓN 
 
x 2
y
x 3



 xy 3y x 2   
 xy x 3y 2    
    x y 1 3y 2    
 
 3y 2
x
y 1

 

 
 Rang  f 1  
 
RPTA.: B 
 
230. Dada las funciones f y g cuyas 
reglas de correspondencia son 
 
   
2
x
f 3 x 1 6    
 
   
2
x
g 2 x 1 3   
 Señale Rang f  Rang g 
 
A) 2;6   B) 3;6   
C) 6;    D) ; 3  
 E) 3;6 
 
RESOLUCIÓN 
 Rang f ;6   
 Rang g 3;   
 Interceptando 
 Rang f  Rang g = 3;6   
 
RPTA.: B 
 
231. Halle “p” para que el conjunto de 
pares ordenados de: 
       f 2;3 ; 1;3 ; 2;P 6   sea 
función 
 
A) -5 B) - 4 C) - 3
 D) 2 E) - 1 
 
RESOLUCIÓN 
 (2;3) = (2; P + 6) 
 Luego: 3= P + 6 
 - 3 =P 
 
RPTA.: C 
 
232. Señale el dominio de la función f; 
si  
2
x 2
x
f
x 1


 
 
A)  ; 1 1; 0     
B) 1;1 1;   
C) ; 1 U;1    
D)  1;1  
E)   
 
RESOLUCIÓN 
 
2
2
x
0
x 1


 
+-+
2-2
 
 
 
   
2x
0
x 1 x 1

 
 
 
 N x = 0 
P.C. x = 1 
 D x = -1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dom  f ; 1 1; 0      
 
 
RPTA.: A 
 
233. Halle el dominio de 
 
2
x
1
f 1 x
x
   
 
A) ; 1   
B)  0 
C)  1;1 0    
D) 
E) 1;1   
 
 
RESOLUCIÓN 
 Como 
 x
f 0 , pues x 0 , 
entonces: 21 x 0  
 2x 1 0  
    x 1 x 1 0   
 
 x = 1 x = -1 
 
 
 
 
 x 1;1    
 dom  f 1;1 0     
RPTA.: C 
 
234. Si  x
x 3
f
2x 1



, halle su dominio. 
 
A) 
1
;
2
 B) 
C) 
1
;4
2

 

 D) 3;  
 E) 
 
RESOLUCIÓN 
 Como
 x
f 0, entonces esta 
definida si: 
x 3 1
0 x
2x 1 2

  

 
Luegox 3 0 x 3    puntos 
 
1
2x 1 0 x
2
    críticos 
 
 
 
 
 
 
1
x ; 3;
2
    
 Dom 
1
f ;3
2

  

 
 
RPTA.: B 
 
235. Si la función parabólica 
   2 2f x,y /y ax bx c     
pasa por los puntos A (1,2); 
B (-1;12); C (0;4) Calcule  a b c  
 
A) 1 B) 2 C) 3 
 D) 4 E) 5 
 
RESOLUCIÓN 
 x = 0  c = 4 
 x = 1  a + b+ 4 = 2 
 a + b = -2……………….…   
 x = -1  a-b +4 = 12 
 a – b = 8……………………  
 De   y   a = 3 y b = -5 
 
 
2
x
f 3x 5x 4   
  1f 3 5 4 2    
 
RPTA.: B 
 
+--+
 -1 1 
 
+-+
1-1
+-+
31
2
  
 
 
236. Señale el valor máximo de la 
función f, si la regla de 
correspondencia es: 
 
       
2 2 2
x
f x 1 x 2 x 3       
 
A) - 1 B) - 2 C)- 3 
 D) - 4 E) - 5 
 
RESOLUCIÓN 
 Operando: 
 
 
2
x
f x 2x 1    
 
 
2
x
f x 4x 4    
 
 
2
x
f x 6x 9    
 
 
2
x
f 3x 12x 14    
 a = -3; b = 12; c = - 14 
 
máx
f
4a

  
    144 4 3 14     
 144 168 24     
 
 
 máx
24
f 4
2 3

   

 
RPTA.: D 
 
237. Halle el rango de la función f 
definida por: 
 x
f 2x 1 x   
 
A) 
1
;
2

 

 B)
1
;
2

  

 
C) 
1
;
2

 

 D)
1
;
2

  

 
 E) 
1 1
;
2 2
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 2x-1; 
1
x
2
 
 2x 1 = 
 1-2x; 
1
x
2
 
 
 
 
 
 
 1-3x; 
1
x
2
 
 
 x
f  
 x- 1; 
1
x
2
 
 Si: 
1
x
2
 
1
y
2
  
 Si: 
1
x
2
 
1
y
2
  
 
f
1
R ;
2

  

 
 
RPTA.: B 
 
238. Dada la función 
 x
f ax b; x   
donde a y b son ctes reales, si 
     x y x y
f f f

  x,y  , y si 
 x 2
f 6

  Halle: a +b 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
 D) 4 E) 5 
 
RESOLUCIÓN 
 Como
     x y x y
f f f

  
  a x y b ax b ay b      
 b = 0 
luego: 
 x
f ax 
 2
f 2a 6 a 3

      
 a +b = 3 
RPTA.: C 
 
239. Halle la suma de los valores 
enteros del dominio de la función: 
  
2
x 2
x 3x 4
f
21 x 4
 

 
 
 
A) 0 B) 1 C) - 1
 D) 5 E) - 5 
 
RESOLUCIÓN 
 El dominio esta dado por la 
solución de la inecuación: 
 
2
2
x 3x 4
0
21 x 4
 

 
 
 
 
 
2x 3x 4 0 x , 1 4;         
2 221 x 4 0 x 4 21     
 
 
 2x 4 0  
 2x 25 0  
 x ; 2 2;      
  
 x 5,5  
 
 f
Dom 5; 2 4;5     
 RPTA.:E 
 
240. Si           M 2;6 ; 1;a b ; 1;4 ; 2;a b ; 3;4   
es una función, halle: 2 2a b 
 
A) 12 B) 16 C) 32 
 D) 26 E) 27 
 
RESOLUCIÓN 
 (2;6)= (2;a+b)     1;a b 1;4  
 6 = a+b  a – b = 4 
 
 a +b = 6 + 
 a – b = 4 
 2a = 10 
 a = 5 
 b = 1 2 2 2 2a b 5 1 26    
 
RPTA.: D 
 
241. Sea una función definida en el 
conjunto de los números reales, 
por 
 x
f ax b  y además 
   1f 1 f 3 13,      hallar: 
(3a-2b) 
 
A) 17 B) 16 C) 15 
 D) 19 E) 23 
 
RESOLUCIÓN 
 Si  xf ax b  , evaluando: 
* 
   1f 1 a 1 b 1      
 a +b = -1 
* 
   3f 13 a 3 b 13        
 - 3a+b = -13 
 
 
 
 a + b = - 1(-) 
 -3a + b = - 13 
 
 4a = 12 
 a = 3 
 b = - 4 
 3a – 2 b = 3 (3) – 2 (-4) = 17 
RPTA.: A 
 
 
 
242. Halle el rango de: 
 
2
x
f x 6 3   
 
A) 7;1  B) 
C)  0 D) 7;1 
 E) 1; 
 
 
RESOLUCIÓN 
 Como
 x
f 0 , entonces esta 
definida solo si: 2x 16 0  pero, 
como nos solicitan el rango, 
entonces: 
 2y x 16 3   
  
22 2y 3 x 16   
 2 2y 6y 9 x 16    
 2 2x y 6y 7   
 2x y 6y 7    
 
 0 
 2y 6y 7 0   
    y 7 y 1 0   
 
 y = -7 y =1 
 
 
 
 
 
 y ; 7 1;      
 Ranf 7;1   
RPTA.: A 
+-+
1    -7
 
 
 
243. Si 
 
2
x
f x 2  ;  xg x a  , 
determinar el valor de “a” de 
modo que (f o g) (3) =(g o f)(a-1) 
 
A) -8 B) -
8
7
 C)
7
8
 
 D) 
1
7
 E) 
1
8
 
 
RESOLUCIÓN 
         2f og 3 f g 3 f 3 a a 6a 11      
        
2
gof a 1 g f a 1 g a 1 2      
 
 
       2gof a 1 g f a 1 a a 3      
 
Reemplazando resultados: 
(fog) (3) = (gof) (a1) 
a² + 6a + 11 = a²  a+3 
 a = 
8
7
 
 
RPTA.: B 
 
244. Si: 
 x
f 2x 3b  , determinar el 
valor de “b” de manera que 
   2f b 1 3f * b ;b   
 
A) 3 B) 4 C) -3 
 D) - 4 E) 2 
 
RESOLUCIÓN 
 Calculando 
 
*
x
f : 
 
  * fxf f x,x D *  
 
 
*
a
2f 3b x  
 
 
*
fx
x 3b
f ;x D *
2

  
 Como:    * 2f b 1 3f b  
  
2b 3b
2 b 1 3b 3
2
 
    
 
 
 23b 11b 4 0   
 b = 
1
3
 b = - 4 
 
RPTA.: D 
 
 
 
245. Señale el valor de “n” en la 
función f ; si
 x
f x 2 x 3 ... x n      
y el dominio es 10;  
 
A) 6 B) 7 C) 9 
 D) 10 E) 13 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 x 2 0 x 2    
 x 3 0 x 3    
 . 
 . 
 . 
 x n 0 x n    
 Como : n > 2 > 3... 
 Domf n;  
 n = 10 
 
 
RPTA.: D 
 
 SEMANA 13 
 
TEMA: 
 
246. Calcule el siguiente límite 
 
 
3 2
3 2x 1
x 5x 3x 3
lim
3x 6x 9x
  
 
 
 
A) 5 B) 
1
3
 C) 
5
6
 
 D) 
1
6
 E) 
6
5
 
 
RESOLUCIÓN 
 Factorizando numerador 
denominador. 
 
   
   
2
x 1
x 1 x 6x 3
lim
3x x 1 x 3
  
 
 
 
2
x 1
x 6x 3 5
lim
3x(x 3) 6
 


 
 
 
 
RPTA.: C 
 
247. Calcule el siguiente limite: 
 
3x 64
x 8
lim
x 4


 
 
A) 4 B) 3 C) 
1
3
 
 D) 
1
4
 E) 2 
 
 
RESOLUCIÓN 
 Hacemos un cambio de variable 
 6y x  3x y 
 23 x y 
 
3
23x 64 y 2
x 8 y 8
lim lim
y 4x 4 
 


 
 
   
   
2
y 2
y 2 y 2y 4
lim
y 2 y 2
  

 
 
 3 
RPTA.: B 
 
 
248. 
2
x a
a ax x
lim
a ax


 
 
A) 3a B) a C) -a 
 D) 1 E) 2a 
 
 
RESOLUCIÓN 
 Multiplicando al numerador y 
denominador por su conjugada se 
tiene: 
 
   
   
2 4
2 2x a
a ax x a ax
lim
a ax a ax x
   
 
 
 
     
   
2 2
2x a
a a x a ax x a ax
lim
a a x a ax x
   
 
 
 = 3a 
RPTA.: A 
 
 
 
 
249. Hallar el valor límite de la 
expresión 
 
2
x 2
8x 2x 3
P
12x 2x 2
 

 
; 
para x=0,5 
 
A) -3 B) 2 C) 1 
 D) 
3
4
 E) 
1
2
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
Evaluando: 
2
1 2
2
1 1
8 2 3
2 2 2 1 3 0
P
3 1 2 01 1
12 2 2
2 2
 
 
 
   
    
    
  
    
    
   
Factorizando: 
Luego: 
 
   
   x
2x 1 4x 3 4x 3
P
6x 22x 1 6x 2
  
 
 
, y 
como 
1
4 3
1 52
x P 1
12 5
6
2
 
 
 
    
 
 
 
 
 
 
RPTA.: C 
 
250. Halle el V.V. de la expresión 
2 2
2
x x 12x
T
x 5x 4
 

 
, para x =4 
 
A) 
1
11
2
 B) 
1
9
3
 C) 
2
7
3
 D) 
1
6
3
 E) 
1
5
2
 
 
RESOLUCIÓN 
 
     
   
3 2
2
4 4 12 4 64 16 48 0
T
16 20 4 04 5 4 4
   
  
  
 
 Factorizando num. y den. 
 N =  2x x x 12  
 x -4 
 x 3 
 
 
 
 =    x x 4 x 3  
 
 D = 2x 5x 4  
 x -1 
 x -4 
 = (x-1)(x-4) 
 
 
   
   
 x x 4 x 3 x x 3
T
x 1 x 4 x 1
  
 
  
, y 
como x = 4 
 
 4 7 28
T
3 3
  
 
RPTA.: B 
 
251. Halle el 
x
lim

2
2
8x 5x 6
4x x 1
 
 
 
 
A) 6 B) 0 C) 1 
 D) 2 E)  
 
 
RESOLUCIÓN 
 
   
 
2
2x
8 5
lim
4 1
   

   
 
 Dividiendo numerados y 
denominados entre x² 

2
2 2
x
2
22
5 6 5 6x 8 8
8 0 0x x
lim 2
1 11 1 4 0 0
x 4
x x

 
    
      
  
     
 
 
RPTA.: D 
 
252. Calcule:
3
2x 1
x 1
lim
x 1


 
 
A) 
2
3
 B) 
3
2
 C) 
1
2
 
 D) 
1
4
 E) 
5
4
 
 
RESOLUCIÓN 
 
   
   
2
x 1
x 1 x x 1 3
lim
x 1 x 1 2
  

 
 
 
 
RPTA.: B 
 
253. Calcule: 
x 1
x 1
lim
x 1


 
 
A) 1 B) 
1
2
 C) 
1
3
 
 D) 
1
4
 E) 
1
5
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 x 1
x 1 x 1 1
lim
x 1 2x 1
 

 
 
 
RPTA.: B 
 
254. Halle 
10 10
5 5x a
x a
lim
x a


 
 
A) 2 B) 
2a C) 5 
 D) 5a E) 52a 
 
RESOLUCIÓN 
Factorizando: 
   
 
5 5 5 5
5
5 5x a
x a x a
lim 2a
x a
 


 
 
RPTA.: E 
 
255. Halle el valor de 
 
20 10
20 5x
2x 3x 1
lim
4x 2x 1
 
 
 
 
A) 2 B) 
1
2
 C) -2 
 D) 
3
4
 E)  
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
20
20x
Coef de x Númerador
lim
Coef de x Denominador
 
 
x
2 1
lim
4 2
  
RPTA.: B 
 
 
 
256. Calcule 
10
2x
x x 2
lim
x x 1
 
 
 
 
A) 0 B)  C)  
 D) -1 E)  
 
RESOLUCIÓN 
10
2x
x x 2
lim
x x 1
 
 
 
; ya que el 
exponente de númerador es 
mayor que el exponente del 
denominador. 
 
RPTA.: B 
 
257. Halle el 2 2
x
lim x 4x x x

   
 
A)  B) 
2
3
 C) 
2
3
 
 D) 
3
2
 E) 
5
7
 
 
 
RESOLUCIÓN 
  2 2
x
lim 4

           
 Multiplicando la expresión por la 
conjugada 
 
2 2
2 2
x 4x x x
x 4x x x
   
 
    
 
 
   2 2
2 2x
x 4x x x 3x
lim
4 4x 4x x x
x 1 x 1
x x

  
 
  
  
3 3
24 1
1 1

  
 
 
 RPTA.: D 
 
258. Halle el valor aproximado de 
la función 
 x 2 2
x 6 x 1
T
x 16 x 4x
 
 
 
, para 
x = 4 
 
A) 52 B) 
42 C) 32 
 D) 
1
3
 E) 0,25 
 
RESOLUCIÓN 
 2 2
4 6 4 1 10 5
T
0 04 16 4 4 4
 
       
 
 
Efectuando operaciones: 
     
     
   
x x 6 x 1 x 6x 6 x 1
T
x 4 x 4 x x 4 x x 4 x 4
    
   
    
     
x 4 1
x x 4 x 4 x x 4


  
 y como 
x = 4  
 
1 1
T
4 4 4 32
 

 ó 52 
 
RPTA.: A 
 
259. Halle el 
3 3 2x
4x
lim
27x 6x 5 16x 5x 2     
 
 
A) 6 B) 0 C) 
1
7
 
 D)  E) 
4
7
 
 
RESOLUCIÓN 
 
       
3 2x
3
4
lim
27 6 5 16 5 2

 
 
        
 Indeterminado 
Transformando adecuadamente 
 
3x
23
2 3 2
4x 4x 4
lim
76 5 5 2 x 27 16
27 x 16
xx x x

 
  
      
 
 
 
 
2
6

 
2
5

 
5

 
2
2

 
 
 
 
6

 
5

 
5

 
2

 
 
 
 0 0 0 0 
 
RPTA.: E 
 
260. Si: 
x 0
senkx
lim 1
kx
 
 
 
Calcule 
x 0
sen3x sen5x
lim
5x 3x
 
 
 
 
 
A) 
34
15
 B) 
15
34
 C) 
20
31
D) 
17
19
 
 E) 
5
3
 
 
RESOLUCIÓN
x 0
3 sen3x 5 sen5x
E lim
5 3x 3 5x
 
  
 
 
3 5 9 25 34
E
5 3 15 15

    
RPTA.: A 
 
261. Halle la suma de las constantes k 
y b, que cumple 
3
2x 0
x 1
lim k x b 0
x 1
 
   
 
 
 
A) 1 B) 0 C) 2 
 D) 3 E) -1 
 
RESOLUCIÓN 
 
3
2x 0
x 1
lim k x b
x 1
 
   
 
 
 
     2 3
2x 0
kx b x 1 x 1
lim
x 1
   


 
 
3 2 3
2x 0
kx b kx b x 1
lim
x 1
    


 
 
  3 2
2x 0
k 1 x bx kx b 1
lim
x 1
    


 
 como el limite es cero, entonces 
k = 1, b = 0 
 k +b = 1 
RPTA.: A 
 
262. Calcule el siguiente limite: 
 
x
6x sen2x
lim
2x 3sen4x


 
 
A) 3 B) 0 C) 
65
 
 D) 
2
7
 E) 
1
6
 
 
RESOLUCIÓN 
 
x 0
6x 5sen2x
xlim
2x 3sen4x
x



 
 
x 0
sen2x
6
xlim
sen4x
2 3
x




 
 
x 0
sen2x
6 2
xlim
sen4x
2 3 4
4x




 
 
6 2 2
2 12 7

 

 
 
RPTA.: D 
 
263. Calcule el siguiente limite 
 
x 0
1 cos6x
lim
sen6x

 
 
 A) 0 B) 
1
6
 C) 1 
 D) 6 E) 2 
RESOLUCIÓN 
 
 Aplicando la Regla de H´ospiral 
 
 
 
 x 0 x 0
d
1 cos6x 0 sen 6x 6dxlim lim
d cos 6x
sen6x
dx
 
   
  
  
 
 Evaluando: 
 
0
0
uno
 
RPTA.: A 
 
264. Calcule el siguiente limite: 
 
3x
tgx senx
lim
x

 
 
A) B) C) 
 D) E) 
 
RESOLUCIÓN 
 
3x
senx
senx
cosx
lim
x

 
 
 
 
 
3x
senx 1 cosx
lim
x cosx

 
 
2x
senx 1 cosx 1
lim
x cosxx

 
 
1
2
 
 
RPTA.: B 
 
265. Halle el valor de “a”, a > 0 
sabiendo que: 
 
 
3 2 2
2x
x 2a x ax
lim 2a 5
2ax x
 
 

 
 
A) 1 B) 
1
2
 C) 2 
 D) 
1
3
 E) 3 
 
RESOLUCIÓN 
 Factorizando numerador y 
denominador: 
 
   
 x
x x 2a x a
lim
x x 2a
 

 
 
 
x
x x a
lim 1 a
x

   
 Este resultado igualamos con: 
2a-5 
 a = 2 
RPTA.: C 
 
SEMANA 14 
PROGRESIONES 
 
266. Cuántos términos debe tener una 
P.A. cuya razón es 2. Sabiendo 
que el noveno término es 21 y la 
suma de todos ellos es 437. 
 
A) 11 B) 19 C) 21 
 D) 23 E) 25 
 
RESOLUCIÓN 
 9 1a a 8r  
 
 
 121 a 8 2   
 1a 5 
 
 
 12a n 1 rS n
2
   
  
 
 
 
 2 5 n 1 2
437 n
2
    
  
  
 
  437 4 n n  
 n = 19 
 
RPTA.: B 
 
267. Encontrar la mayor edad de tres 
personas; sabiendo que forman 
una P.A creciente, cuya suma es 
63 y la suma de sus cuadrados es 
1373. 
 
A) 27 B) 26 C) 25 
 D) 24 E) 23 
 
RESOLUCIÓN 
 a - r , a , a + r 
 S = 63 3a = 63  a = 21 
    
2 22a r a a r 1 373     
  2 2 22 a r a 1 373   
  2 2 22 21 r 21 1 373   
  22 441 r 441 1 373   
 
 2r 25 r 5   
 16 , 21 , 26 
 
RPTA.: B 
 
268. La suma de los tres primeros 
términos de una P.A. es 42, la 
suma de los tres últimos es 312, y 
la suma de todos los términos 
1062, ¿de cuántos términos 
consta dicha progresión? 
 
A) 14 B) 16 C) 17 
 D) 18 E) 19 
 
RESOLUCIÓN 
 1 2 3 n 2 n 1 na ,a ,a .....a ,a ,a  
 1 2 3a a a 42   + 
 
 
 n n 1 na ,a a 312   
 1 n n 1 1 na a a a a a 354      
  1 n3 a a 354  
 1 na a 118  
 S 1 062 
 
 
 1 n
a a
n 1 062
2
 
 
 
 
 
118
n 1 062
2
 
 
 
 
 n = 18 
 
RPTA.: D 
 
269. En una P.A. los términos de 
lugares 11 y 21 equidistan de los 
extremos y suman 48. Determinar 
la suma de todos los términos de 
dicha progresión. 
 
A) 360 B) 372 C) 720
 D) 744 E) 804 
 
 
RESOLUCIÓN 
1 11 21 n
10 10
a ,........a ................a ..........a 
 
 1 n 11 21
48
a a a a   
 
 Último: 31a n 31  
 1 n
a a
S n
2
 
  
 
 
 
48
S 31
2
 
  
 
 
 S = 744 
RPTA.: D 
 
270. En una P.A el tercer término es 
igual a 4 veces el primero y el 
sexto término es igual a 17. Halle 
la suma de los 8 primeros 
términos. 
 
A) 50 B) 30 C) 80 
 D) 10 E) 20 
 
RESOLUCIÓN 
  3 1a 4a ....  
 6a 17 
 De   : 
 6 6a 3r 4 a 5r     
 17 3r 4 17 5r     
 17 3r 4 17 20r    
 17r 3 17  
 r = 3 
 
 1 6a a 5r  
 1a 17 5 3   
 1a 2 
 
 8 6a a 2r  
 8a 17 2 3   
 8a 23 
 
 1 81 2 8
a a
a a ..... a 8
2
 
     
 
 
 
1 2 8
2 23
a a ..... a 8
2
 
     
 
 
 1 2 8a a ..... a 25 4 100      
 
RPTA.: C 
 
271. Dadas las progresiones 
aritméticas: 
*   x 2y 4x 1 ... 
*     y x y 2y 2 ...  
 Calcule el valor de (xy) 
 
A) 3 B) 4 C) 7 
 D) 9 E) 12 
 
RESOLUCIÓN 
 2y – x = 4 x + 1 - 2y 
 4y - 5x = 1 
 
 x + y – y = 2 y + 2 – x –y 
 x = y + 2 – x 
 2x –y = 2 
 y = 2 x - 2 
  4 2x 2 5x 1   
 
 
 8x - 8 - 5x = 1 
 3x = 9 x = 3  y = 4 
 x y = 12 
RPTA.: E 
 
 
272. Calcule: 
 
6
2 6 10
2 2 242
K 1 ...
3 3 3
     
 
 
A) 
201
80
 B) 
101
80
 C) 
301
80
 D) 
80
201
 E) 
200
81
 
 
RESOLUCIÓN 
 
2 6 10
2 26 242
K 1 ....
3 3 3
     
 
2 2 6 6 10 10
3 1 27 1 243 1
K 1 ....
3 3 3 3 3 3
        
 
3 5 3 5
1 1 1 1 1 1
K 1 ... ...
3 93 3 9 9
   
          
   
 
 
2 2
1 1
3 9K 1
1 1
1 1
3 9
  
 
 
 
1 1
3 93 9K 1 1
8 80 8 80
9 81
      
 
201
K
80
 
RPTA.: A 
 
273. La suma de los “n” términos de 
una P.A. es: 
 
 n
7n 1
S n
2
 
  
 
 
 Calcule el término que ocupa el 
lugar 21. 
 
A) 122 B) 144 C) 169
 D) 105 E) 100 
 
RESOLUCIÓN 
 n 21
7n 1
S n,a ??
2
 
   
 
 
 1 nn
a a
S n
2
 
  
 
 
 1 n
a a 7n 1
n n
2 2
    
     
  
 
 1 n 1a a 7n 1 S :n 1     
 12a 8 
 1a 4 
 
 
 
 
 1S :n 2 
 1 2a a 15 r 7    
 
4 11 
 
 21 1a a 20r  
 21 21a 4 20 7 a 144     
 
RPTA.: B 
 
274. En una P.A. la suma de sus “n” 
términos está dada por: 
 2S 3n n  , ¿Cuál será la 
expresión de la suma sino se 
considera el primero ni el último? 
 
A) 23n 5n 2  
B) 23n 5n 2  
C) 23n 5n 2  
D) 23n 5n 2  
E) 23n 5 
 
RESOLUCIÓN 
 2S 3n n  
 
 21 n 1 n
a a a a
n 3n n 3n 1
2 2
  
     
 
 
 
 Sin considerar 1 na y a 
  2 n 1
a a
S n 2
2

 
  
 
 
 
 
  2 n
a a
S n 2
2
 
  
 
 
     2S 3n 1 n 2 3n 5n 2      
 
RPTA.: D 
 
275. En una P.G. de tres términos la 
suma de ellos es 248 y su 
producto es 64 000. Escribir la 
progresión y dar como respuesta 
el mayor de sus términos. 
 
A) 50 B) 100 C) 150
 D) 200 E) 220 
 
RESOLUCIÓN 
 1 2 3T ,T ,T 
 
T
,T,T q
q
 
 
T
T T q 248
q
    ………………….   
 
T
T T q 64 000
q
    
 3T 64 000 
 T = 40 
 
 En   
 
1
40 1 q 248
q
 
   
 
 
 Resolviendo: 
 q = 5 
 T q 40 5   
 T q 200  
RPTA.: D 
 
276. Determinar “x”, si el primer 
término de una P.G. es igual a 
(x-2); el tercer término es igual a 
(x+6) y la media aritmética de 
sus términos primero y tercero se 
refiere al segundo como 
5
3
. 
 
A) 7 B) 3 C) 4 
 D) 5 E) 2 
 
RESOLUCIÓN 
 1 3T x 2,T x 6    
 
1 3
2 2
T T
5 x 2 52
T 3 T 3


   
  2
3
T x 2
5
  
 
 
Además: 
 23 2 2 1 3
2 1
T T
T T T
T T
   
      
29
x 2 x 6 x 2
25
    
 Resolviendo x = 3 
RPTA.: B 
 
277. La suma de los términos que 
ocupan el lugar impar en una PG. 
De 6 términos es 637 y la suma 
de los que ocupan el lugar por 
1 911. Halle la razón. 
 
A) 3 B) 4 C) 5 
 D) 6 E) 7 
 
RESOLUCIÓN 
 2 3 4 51 1 1 1 1 1T ,T q,T q ,T q ,T q ,T q     
 
 2 41 1 1T T q T q 637   
  2 41T 1 q q 637     
 
 3 51 1 1T q T q T q 1911    
  2 41qT 1 q q 1 911     
       
 q = 3 
RPTA.: A 
 
278. La suma de los términos de una 
P.G. de 5 términos es 484. La 
suma de los términos de lugar par 
es 120. ¿Cuál es la razón entera 
de la progresión? 
 
A) 3 B) 4 C) 5 
 D) 6 E) 7 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 2 3 41 1 1 1 1T T q T q T q T q 484     
  2 3 41T 1 q q q q 484       
 31 1T q T q 120  
  31T q q 120    
     :   
 
2 3 4
3
1 q q q q 121
30q q
   


 
 Resolviendo: q = 3 
 
RPTA.: A 
 
279. La suma de 3 números en P.A. es 
15, si a estos números se agregan 
el doble de la razón excepto al 
término central entonces ahora se 
encontrarán en P.G. indicar la 
razón de esta última progresión. 
 
A) 
20
3
 B) -3 C) 5 
 D) 
10
3
 E) 
5
3
 
 
RESOLUCIÓN 
 a - r, a, a + r 
 3a = 15 
 a = 5 
 5 – r, 5, 5 + r 
 
 
 5+r, 5, 5+ 3r  P.G. 
 
5 5 3r
5 r 5


   25 5 r 5 3r   
 225 25 20r 3r   
 23r 20r 
 
20
r
3
  
RPTA.: A 
 
280. En la P.A. 
 100 96 92.... 
 Calcule el término que ocupe el 
lugar 18. 
 
A) 30 B) 31 C) 32 
 D) 33 E) 34 
 
 
RESOLUCIÓN 
 1a 100 
 na ? 
 r = 96-100= -4 
 n = 18 
 
  n 1a a n 1 r   
    18a 100 18 1 4    
 18a 100 68  
 18a 32 
RPTA.: C 
 
281. Calcule el séptimo término de la 
sucesión 1 22 2 .....  
 
A) 62 B) 
72 C) 02
 D) 02 E) 22 
 
RESOLUCIÓN 
 
1
1
a
2
 
 n = 7 
 
1 1 1
r
4 2 4
    
 
 7
1 1
a 6
2 4
 
   
 
 
 
7
1 3
a
2 2
  
 
7
2
a 1
2
    
RPTA.: C 
 
282. Señale el valor de: 
 
1 1 1 1 1
P 1 ...
2 3 4 9 8
       
 
A) 0,2 B) 0,4 C) 0,5 
 D) 0,8 E) 1, 0 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 1
1
1 1 1 32S 1 .....
13 9 3 2
1
3
      

 
 
2
1 1
1 1 1 2 2S ..... 1
1 12 4 8
1
2 2
       

 
 2S 1  
 
3 3 2 1
P 1
2 2 2

    
RPTA.: C 
 
283. Halle el n-esimo término de la 
sucesión 8 13 18.... 
 
A) 216n 30n 6  
B) 225n 30n 9  
C) 216n 25n 9  
D) 24n 2n 1  
E) 264n 8n 21  
 
RESOLUCIÓN 
 a1 = 8 = 5 + 3 
 a2 = 13 = 5  2 + 3 
 a3 = 18 = 5  3 + 3 
 an = 5n + 3 
 an² = 25n² + 30n + 9 
 
RPTA.: C 
 
284. Calcule el valor de P 1 2 3 4 ... n       
 
A) -n B) n C) n+1
 D) n -1 E) 
n
2
 
 
RESOLUCIÓN 
 n: es un número par 
 Para 2 términos: 1- 2 = -1 
 Para 4 términos: 1 - 2 + 3 - 4= -2 
 Para 6 términos:1-2+3-4+5-6=3 
Para n términos:
n
2
 
RPTA.: E 
 
285. Señale el valor de “x” en la 
ecuación 
       
2 2 2 2 2x 1 x 2 x 3 ... x n nx        
 
A) 
2n 1
6

 B) 
2n 1
6

 
C) 
 n 1
2

 D) 
 n 1
2

 
E) 
 n n 1
6
 
 
RESOLUCIÓN 
 Operando 
 2x 2x 1  
 2x 4x 4  
 2x 6x 9  
 
 2 2 2x 2nx n nx   
 2 2 2 2 2 2nx 2x 1 2 3 ... n 1 2 3 ... n nx          
 
 
     n n 1 n n 1 2n 1
2x
2 3
2n 1 2n 1
2x , x
3 6
  

 
   
 
 
RPTA.: C 
 
 
SEMANA 15 
LOGARITMOS E INECUACIONES 
LOGARÍTMICAS 
 
 
286. Determine el valor “N”, si 
9
100 512L og N 1,5 L og 2 
 
A) 10 B) 100 C) 1 000 
D) 2 200 E) 512 
 
 
RESOLUCIÓN
100 512 100
3 3
Log N Log 512 Log N
2 2
   
 
3
2N = 100 
  
3
2 2N = 10 1 000 
 
RPTA.: C 
 
1 
 
 
287. Calcule 
0,5
1 2
25
k L og 0,00032 L og 2  
 
A) 
5
2
 B) 
3
2
 C) 
3
2
 
D) 
7
2
 E) 3,7 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
1
5 2
1 2
25
k L og 32 10 L og 2  
 
 x 1 
  
x
551 2 2 5
25
 
 
 
 
 2x 5 5 55 2 2 5   
 2x 55 5  
 -2x=-5 
 
5
x
2
 
 
5 7
K 1
2 2
   
RPTA.: D 
 
288. La expresión: 
 
1 1
antilog L oga L ogb 2L ogc
3 2
  
   
  
es 
igual a: 
 
A)
ab
c
 B) 2
a b
c
 C) 3
ab
2c
 
D) 3
2
a b
c
 E) 3
2
ab
c
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 21antilog L oga L og b L ogc
3
 
  
 
 
 
2
1 a b
antilog L og
3 c
 
 3 3
2 2
a b a b
antilog L og
c c
 
 
RPTA.: D 
 
289. Halle el valor de 
 2 3 3 1,5W=Log L og antilog L og 2,25 
 
A) 0 B) 1 C) 2 
D) 1,5 E) 0,75 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
  
2
2 3 3 1,5w Log Log antilog Log 1,5 
 
 2 
 2 3 3w Log L og antilog 2 1  
 
RPTA.: B 
 
290. Resolver 23 3Log x 2Log x 3  , e 
indicar el producto de sus raíces. 
 
A) -4 B) 9 C) 
1
9
 
D) -3 E) 1 
 
 
RESOLUCIÓN 
    
2
3 3Log x 2 Log x 3 0   
 
 a 
 2a 2a 3 0   
    a 3 a 1 0   
 a = -3  a = 1 
 3Log x 3  3Log x 1 
 
1
1
x
27
 2x 3 
 x1x2 = 
1 1
3
2 9
  
 
RPTA.: C 
 
291. Resolver:    
xx x 2
x 2
xLog x x

 , e 
indicar el valor  2x 1 
 
A) 15 B) 8 C) 24 
D) 37 E) 48 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
xx x 2x 4
xx Log x x
 
 x 
 
2x
x
4
x
x x
x
 
 x 4 2xx x x x 
 x 5 2xx x  
 x + 5 = 2x 
 x = 5 
 25 1 24  
RPTA.: C 
 
292. Resolver  Ln 12 Ln x 1 Ln(x 2)    , 
e indicar su conjunto solución: 
 
A)  5; 2 B)  2 C)  5 
D)  1;5 E)  3; 2 
 
RESOLUCIÓN 
    Ln12 Ln x 2 Ln x 1    
    Ln12 Ln x 2 x 1   
 212 x 3x 2   
 
 
 20 x 3x 10   
 x -5 
 x 2 
 (x-5)(x+2)=0 
 x = 5  x = -2 
 
 
 Verificando, no será valor 
de la ecuación 
 C.S.=  5 
 
RPTA.: C 
 
293. Calcule el logaritmo de 2 2 en 
base 48 2 
 
A) 
7
2
 B) 
11
3
 C) 
6
13
 
D) 
8
7
 E) 
9
4
 
 
RESOLUCIÓN 
 
1 3
2 2Log2 2 Log2 2 Log2  
 
1 13
34 4 48 2 2 2 2 
 
4 1
3 4
13
4
1
2
8 2
2 2
3
2
2
Log 2 2 Log 2 2
Log 2
 
   
  
 
3
2
13
4
 
 
6
13
 
RPTA.: C 
 
294. Señale el valor de x que satisface 
a la igualdad. 
   5
2
Log (x 3) 7x 1
5
7x 3
 


 
 
A) 
12
5
 
B) 
5
12
 
C) Indeterminado 
D) Incompatible 
E) x 
 
RESOLUCIÓN 
 
27x 1
x 3
7x 3

 

 
 2 27x 3x 21x 9 7x 1     
 - 24 x +9 = - 1 
 10 = 24 x 
 
5
x
12
 
RPTA.: B 
 
295. Resolver la ecuación 
 
2
2
x x
x x
Log x Log x 24  
 
A) 3 B) 4 C) 6 
D) -8 E) C ó D 
 
RESOLUCIÓN 
 Como: n
m
a
m
Log a
n
 
 
2x
x 24
2
  
 
 
 22x x 48  
 2x 2x 48 0   
    x 8 x 6 0   
 x = - 8 ó x = 6 
 x = 6 
RPTA.: C 
 
296. Resuelva la ecuación 
 
1
Logx Log x
2
   
 
A) 6 B) 8 C) 10 
D) 100 E) Incompatible 
 
RESOLUCIÓN 
 
x
1 1
Log a a a
2 2
     
 2 a a 1   
 2 a a 1   
 Elevando al cuadrado 
 24a a 2a 1   
 20 a 2a 1   
 a = 1  Logx = 1  x = 10 
 Incompatible 
RPTA.: E 
 
297. Señale el producto de las raíces 
de la ecuación: xLog 381 27x 
 
A) 
1
3
 B)
1
9
 C) 
1
27
 
D)
1
81
 E) 
1
243
 
 
RESOLUCIÓN 
1. Tomando logaritmo en base “x” 
 x x x xLog 3 Log 81 Log 27 Log x  
  x x xLog 3 4Log 3 3Log 3 1  
2. 2xLog 3 z 4z 3z 1    
 24z 3z 1 0   
 4z 1 z 
 z -1-4z 
 - 3z 
    4z 1 z 1 0   
a) z = 1  x=3 
b) z =
1
4
 
 
1
4
2x 3

 
 x2=
1
81
 
1 2
1
x x
27
 
 
RPTA.: C 
 
298. Señale el valor de “x” que verifica 
la igualdad 
 
 
n
n
log x n
nnlog x n 
 
A) n B) 
nn C) n 1n  
D) n 1n  E) 
n 1nn
 
 
RESOLUCIÓN 
 Elevando a la potencia “n” 
    
n
n
nnLog x n
nnLog x n 
 nnnLog x n 
 n 1nLog x n
 
 
n 1nx n

 
RPTA.: E 
 
299. Halle la suma de las raíces de la 
siguiente ecuación 
 
 
2 2Log x Log x 
 
A) 16 B) 17 C) 19 
D) 21 E) 32 
 
RESOLUCIÓN 
 2Log x z 
 2 z z 
 24z z  z = 0  z = 4 
  2Log x 0  2Log x 4 
  0x 2  4x 2 
  x = 1  x = 16 
 
 16 + 1 = 17 
RPTA.: B 
 
 
300. Indicar el producto de las raíces 
de la siguiente ecuación 
 
 
 
5Log x 2x 125  
 
A) 5 B) 15 C) 125 
D) 25 E) 
1
5
 
 
RESOLUCIÓN 
 Tomando logaritmos en base “x” 
  5 x xLog x 2 Log x Log 125  
 5 xLog x 2 3Log 5  
 Haciendo 5Log x z; se tiene 
 z- 2= 
3
z
 
 2z 2z 3 0   
    z 3 z 1 0   
 
 5Log x 3 
 x = 125 
 5Log x 1  
 x = 
1
5
 
 Por consiguiente: Producto = 25 
 
RPTA.: D 
 
301. Resolver el sistema: 
 2 2
x
Log xy Log 8
y
  , 
 Logx Logy2 4 
 
e indicar el producto de valores 
“x” 
 
 A) 10 B) 100 C)
1
10
 
D) 1 E) 0 
 
RESOLUCIÓN 
 Losx 2Logy2 2 
 Logx 2Logy 
 2Logx Logy 
 2x y 
 
 2 2
x
Log xy Log 8
y
  
  
2
2 2 2 yLog y y Log 8
y
  
 2 3 2Log y Log y 8  
    3 3Logy Logy Logy Logy 8   
    3Logy Logy 3Logy Logy 8   
    2Logy 4Logy 8 
 2Log y 1 
 Logy 1  
 
 Logy 1 Logy 1  
 
 
 1y 10 
1
2y 10
 
 21x 10 
2
2x 10
 
 
 2 2 01 2x x 10 10 10 1
   
 
RPTA.: D 
 
302. Si a;b  distintos de la unidad y 
además: ab = 1 averigüe el valor 
de: b aLog 0,5 Log 0,2ab 
 
A) 2 B) 5 C) 7 
D) 10 E) 12 
 
RESOLUCIÓN 
 De: ab= 1 1
1
b b a
a
   
 Ahora reemplazando: 
   1 1a b a b
5 2
Log Log
10 10 Log 2 Log 5a b a b 2 5 7
 
   
   
   
     
 
RPTA.: C 
 
303. Halle el Log 6!, sabiendo que 
Log 2=a; Log 3=b 
 
A) 2a+3b+1 
B) 3a+2b+1 
C) 4a+b+1 
D) a+2b+1 
E) 3a+b+1 
 
RESOLUCIÓN 
 Log 6!= Log 1 2 3 4 5 4 6 
Log 6!= Log 1 Log2 Log3 Log4 Log5 Log6     
 
 
 Pero la necesidad es expresado en 
términos de 2 y 3. Por ello. 
2
2
10
Log 6!=0 a b Log 2 Log Log2 3
2
 
     
 
 
 Log 6!=a b 2Log2 1 Log2 Log2 Log3      
 Log 6!=3a+2b+1 
 
RPTA.: B 
 
 
304. El valor de la expresión: 
 
LogLog 9 44 3Log 279
10 ; será: 
 
A) 0,001 B) 0,1 C) 10 
D) 1 000 E) 100 000 
 
RESOLUCIÓN 
Aplicando la regla del sombrero 
dos veces en: 
Log 43Log 9 34
3 32 Log 4 Log 3Log 27
4 910 10 Log 9 Log 27 10  
310 1 000 
 
RPTA.: D 
 
305. Halle el producto de los raíces de: 
 x
Log 2x 2x 2 
 
A) 2 B) 4 C) 8 
D) 2 E) 
2
2
 
 
RESOLUCIÓN 
 2
2 2
x
1
Log x Log 2
Log 2x
  
 2 22
2
Log 2x
Log x
Log x
 
  
2
2 22 Log x 1 Log x  
 2 22Log x Log x 1 0   
 22Log x +1 
 2Log x - 1 
 
 2Log x 1 x 2   
 
2
1
Log x
2
  
 
1 2
x
22
  
 
1 2x x 2 
 
RPTA.: D 
 
SEMANA 16 
BINOMIO DE NEWTON Y 
RADICACIÓN 
 
306. Halle la suma de valores de “n” 
que satisfagan la igualdad 
 
   n! 3 n! 2
3
n! 6
 


 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
RESOLUCIÓN 
 Sea n! = z 
 2z z 6 3z 18    
 2z 2z 24 0   
    z 6 z 4 0   
 z = 6 ó z = -4 
 n = 3  n 4  no existe 
 n = 3 
 
RPTA.: C 
 
307. Reducir: 
 
12! 13! 14!
K
12! 13! 12!x7
 

 
 
 
A) 28 B) 
14
3
 C) 14 
D) 
28
3
 E) 
7
3
 
 
RESOLUCIÓN 
 
12! 13! 14!
K
12! 13! 12! 7
 

  
 
 
 
 
12! 1 13 13 14
K
12! 1 13 7
  

 
 
 
14 14 28
K
3 7 3

 

 
RPTA.: D 
 
 
 
308. Calcule la suma de valores de “n” 
     2 2n 3 ! n 3n 2 n 3n     
 
A) 3 B) -3 C) 8 
D) - 8 E) 9 
 
RESOLUCIÓN 
      2 2n 3 ! n 3n 2 n 3n     
        n 3 ! n 1 n 2 n n 3     
        n 3 ! n n 1 n 2 n 3     
             n 1 !n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2 n 3        
 
  n 1 ! 1  n = 1 
 n = 2 
 3 
RPTA.: A 
 
309. Halle el valor de “n” en: 
    
5! n!! n!!119!720! 719! 6!    
 
A) 3 B) 4 C) 5 
D) 6 E) 7 
 
RESOLUCIÓN 
      
5! n!! n!!119!720! 719! 6! 
 
n!!
119!x120
720
720! 719! 6!
 
  
 
 
  
n!!120!720! 720! 
 n!!=120! 
 n!=5! n= 5 
 
RPTA.: C 
 
310. Simplificar: 
 8 8 9 10 11 123 4 5 6 7 4P C C C C C C      
 
A) 128C B) 
12
82C C) 
13
5C 
D) 134C E) 
12
5C
 
 
RESOLUCIÓN 
 8 8 9 10 11 123 4 5 6 7 4P C C C C C C      
 
 9 9 10 11 124 5 6 7 4P C C C C C     
 10 10 11 125 6 7 4P C C C C    
 
 11 11 12 12 126 7 4 7 8P C C C C C     
 13 138 5P C C  
RPTA.: C 
 
311. Resolver: 
 
18 18 19 20
5 6 7 8
21 21
13 8
C C C C
E
C C
  


 
 
A) 2 B) 4 C) 
1
2
 
D)
1
4
 E) 6 
 
RESOLUCIÓN 
 
18 18 19 20
5 6 7 8
21 21
13 8
C C C C
E
C C
  


 
 
19 19 20 21
6 7 8 8
21 21 21
8 8 8
C C C C 1
E
2C C 2C
 
  

 
 
RPTA.: C 
 
312. Si se cumple que 
 x 2 y 5y 1 6C C
 

 
 Halle x + y 
 
A) 13 B) 15 C) 16 
D) 17 E) 18 
 
RESOLUCIÓN 
1) y -1 = 6  y = 7 
 x + 2 = y + 5 x = 10 
 
2) y - 1 = 6  y-1+6 = x+2 = y+5 
 y = 7  12 = x + 2 = 12 
  x = 10 
 X +y = 17 
 
RPTA.: D 
313. Reduzca 
 
20 26 19 26
10 20 9 6
25 19 25 19
5 9 6 10
C C C C
C C C C


 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
26 20 19
6 10 9
19 25 25
9 5 6
C C C
E
C C C
  

  
 
 
26 19
6 9
19 26
9 6
C .3C
E
C .C
 
 E= 3 
 
RPTA.: C 
 
314. Determine el valor de “n” , si 
cumple 19 18 17 16 15 2011 7 10 7 8 84C C C C 2C n C     
 
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 5 E) 6 
 
RESOLUCIÓN 
1. 15 15 15 168 8 7 82C C C C   
2. 16 16 16 16 177 8 9 8 9C C C C C    
3. 17 17 1810 9 10C C C  
4. 18 18 18 18 197 10 11 10 11C C C C C    
5. 19 19 2011 11 84C C nC  
 19 2011 125C nC 
 19 11
11 19
20
5C n C n 3
12
   
RPTA.: B 
 
315. Respecto a las proposiciones 
 
i) 
 
ii) ; n  
iii) 
 
12!
1 3 5 7 9 11
64 6!
 
 Indique la razón de verdad 
 
A) VVV B) VVF C) VFV 
D) VFF E) FFF 
 
RESOLUCIÓN 
Para el caso (i) 
 
(n+1) n - n = n   n 1 1 n(n)   
* Para el caso (ii) 
 
   
n 1 1
n 1 n n n 1 n
 
 
 
n n 2
n n 2
n 1 n 1

   
 
 
 0 = 2 ( falso) 
* Para el caso (iii) 
 Operando el segundo miembro 
 
12! 12 11 10 9 8 7 6
64 6 64 6
     
 
 RPTA.: C 
 
316. El equivalente de: 
n 2
1 1
n 2

 

 
 
A) 2n 1 B)  n n 1 
C)  n n 1 D) n +1 
E) n 
 
RESOLUCIÓN 
 Procesando el radicando 
 
 
 
 
 
    3 4 3 2n n n 2 n 2n n 2n 1       
 2n 2n n - 1 
 22n 2n n - 1 
 2n 
 
 Luego: 
  
2
2 2 2n n 1 1 n n 1 1 n n         
  
2
2 2 2n n 1 1 n n 1 1 n n         
RPTA.: B 
 
317. Determine la suma de todos 
aquellos valores de “n” que 
verifiquen la igualdad: 
 n! n! 321
80
5n! 9



 
 
A) 5 B) 6 C) 7 
D) 8 E) 9 
 
RESOLUCIÓN 
 Hagamos que: a = n! 
    a a 321 80 5a 9   
 2a 721a 720 0   
n 1 1
n 1 n n 1
 
 
     n 2 n 1 n n 1 1 1     …. ….
 2n n 1
n+1 - n = n n ; n 
 
 
 a - 720 
 a - 1 
 
 'a 720 
 ''a 1 
 
 Regresando el cambio 
 n! = 720  n!=1 2n 1 
 n! = 6! 3n 0 
 1n 6 
 En consecuencia: 1 2 3n n n 7   
 
RPTA.: C 
 
318. El valor de: 
 
 
4 5 6
2 3 4
9
7 8
 
 
   
 
 
A) 8 B) 256 C) 512 
D) 1 024 E) 64 
 
RESOLUCIÓN 
 Procesando por partes para el 
radicando: 
 
 
9 9 8 7 9 8 7
8
7 8 7 8 7 7 1 8
  
  
 
 Exponentes: 
  4 5 4 6 5 4 4 1 5 30 36 4      
 Ahora reemplazando en: 
  
4 36
2 6 4 38 8 512  
 
RPTA.: C 
 
319. Halle el valor del termino central 
del desarrollo de 
10
x y
y x
 
 
 
 
 
A) 64 B) 128 C) 265 
D) 512 E)1 024 
 
RESOLUCIÓN 
t# =10+1=11 
centralt = 11 1
2
t
 
 
 
 
   
n k kn
k 1 kt C a b ;k 0,1,2,.....n


  
5 5
10
5 1 5
x y
T C
y x

   
    
  
 
5 1
10 9 8 7 6
T
1 2 3 4 5

   
   
 
5 1T 4 9 7    
6T 256 
RPTA.: C 
 
320. Halle el grado absoluto del 
término 16 en la expansión de 
   
25
3 2P x,y x 2y  
 
A) 20 B) 25 C) 35 
D) 45 E) 60 
 
RESOLUCIÓN 
    
n k kn
k 1 kT C a b


 
    
10 15
25 3 2
15 1 15T C x 2y   
 15 25 30 3016 15T 2 C x y  
 G.A = 30+30=60 
RPTA.: E 
 
321. En el desarrollo de la expresión 
14
1
x
x
 
 
 
; existe un termino que 
contiene a 
2x . El termino que 
ocupa este termino contado a 
partir del extremo final es: 
 
A) 9 B) 8 C) 7 
D) 6 E) 5 
 
RESOLUCIÓN 
 Analicemos un término genérico 
(Lugar K+1), en: 
 
14
1
x
x
 
 
 
= 1 2 K 1 15T T ..... T .......T    
 
k
1
14 14 k 2
K 1 KT C x x



 
   
 
 
  
k
14 kk 14 2
K 1 kT 1 C x
 

  
 Por condición: 
 
3 3k
14 k 2 12
2 2
    
 k=8 
 
 
 En consecuencia: 
 
14
1 2 9 10 11 15
1
x T T .....T T T ........T
x
 
      
 
 
 Séptimo lugar 
 
RPTA.: C 
 
322. En el desarrollo de 
n
n
x y
8
 
 
 
los 
coeficientes de los términos de 
lugar séptimo y octavo son 
iguales. Entonces el número de 
términos que presentará será: 
 
A) 49 B) 48 C)47 
D) 45 E) 44 
 
RESOLUCIÓN 
Si: 
n
1 2 7 8 n 1
n
x y T T .....T T .....T8

 
      
 
 
Averigüemos a los términos 
deseados 
n 6 n 6
n 6 n exp 6
7 6 6
n n
T T 1 C x y C x y
8 8
 
   
      
   
 Coef. 
n 7 n 7
n 7 N exp 7
8 7 1 7 7
n n
T T C x y C x y
8 8
 

   
     
   
Por condición: 
n 6 n 7
n n
6 7
n n
C C
8 8
 
   
   
   
 
n 7 n 7
n n n n n
n 6 6 8 8 n 7 7 8
 
     
    
      
 
 
1 n 1
n 6 n 7 6 8 n 7 7 6
 
 
   
 
 7n 8 n 6 48 n    # términos = 49 
 
RPTA.: A 
 
323. Averigüe al termino central central 
al expansionar: 
8
x 8
8 x
 
 
 
 
 
A) 80 B) 70 C) 60 
D) 60 E) 50 
 
 
RESOLUCIÓN 
En el desarrollo de esta expresión 
 existen 9 términos entonces el 
 central estará ocupado por el 
quinto. 
8 4 4
8
Cnetral 5 4 4
x 8
T T T 1 C
8 x

   
       
   
 
 8
Central 4
8 7 6
T C 5 70
4 3 2
  
 
RPTA.: B 
 
324. En el desarrollo de  
43
1 x los 
coeficientes de los términos de los 
lugares “2x+1” y “r+2” son 
iguales ¿De qué términos estamos 
hablando? 
 
A) 14 y 29 B) 16 y28 
C) 16 y 26 D) 16 y 27 
E) 18 y 30 
 
RESOLUCIÓN 
Admitimos que en: 
 
43
1 2 2r 1 r 2 441 k T T .... T ....T .... t         
43 2r
2r 1 2rT C r ;   
43 r 1
r 2 1 r 1r 1
T T C r 
  
  
Según condición 
43 43 43 43
2r r 1 2r r 1 (r 1)C C C C      
2r=r+1 2r=42-r 
 r= 1 3r=42 
 r=14 
 
En base es esto los términos 
ocupan los lugares: 
Cuando 3 3r 1 T T   
Para 29 16r 14 T T   (esto nos 
permite decir que 2T 2 ) es 
primero. 
 
RPTA.: C 
 
325. Si los exponentes de “x” en los 
términos del desarrollo 
n
m
m
3
1
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 van disminuyendo de 6 en 6 
 unidades y el décimo tercero 
 resulta independiente de x. 
 Indique al término independiente. 
 
A) 10  9  8 B) 10  3  2 
C) 10  13  14 D) 11  12  13 
E) 10  11  12 
 
RESOLUCIÓN 
Por condición: 
 
12
m
n 12
n m 3
Independiente 12 1 12T T C x x


  
   
  
 mn - 16m 
n
13 12T C x 
Será Independiente mn-16m=0 
m(n-16)=0 
De donde: m=0 v n = 16 
Luego: n 16Independiente 12 12
16
T C C
12 4
   
16 15 14 13 12
14 13 10
12 4 3 2 1
 
 
RPTA.: C 
 
326. Extrae la raíz cuadrada de: 
6 4 3 5 24x 13x 22x 12x 8x 25x 16      
 
A) 3 23x 2x x 4   
B) 25x 7x 2  
C) 3 22x 3x x 4   
D) 24x 8x 2  
E) 4 3 2x 2x x x 1    
 
RESOLUCIÓN 
6 4 3 5 24x 13x 22x 12x 8x 25x 16     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 22x 3x x 4   
RPTA.: C 
 
327. Calcule “a x b” si el resto de 
     2152141 134  xxxx 
 Es equivalente a: (ax+b) 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
RESOLUCIÓN 
   
4 3 3x 1 4 x 1 2x 15x 2      
Si: x + 1=a 22x 4x 11x 2    
    22 x 2x 1 11 x 1 1      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R = a + 2 R= x + 1 + 2 
R= x + 3  ax + b 
A = 1 , b = 3 
 
RPTA.: C 
 
 
328. Calcule: 
19 4 21 7 12 29 2 28     
 
A) x+1 B) x+2 C) x+3 
D) x+4 E) x+5 
 
RESOLUCIÓN 
19 4 21 7 12 29 2 28    
 19 2 84 7 12 28 1    
 
12+7 12x7 
12 7 7 12 2 7 1 1      
 
RPTA.: A 
329. Reducir: 
 72821026 E 
 
A) 7 B) 2 C) 17  
4 -12 13 -22 25 -8 16 2 -3 1 -4
(4 -3)(-3)
(4 -6 2 -4)(-4)
(4 -6 1)(1)
-4
-12 13
12 9
4 - 22 25
-4 6 -1
-16 24 -8 16
 16 24 8 -16
4 3 2a 4a 2a 11a 11    1 2
(2 2) (2)
(2 4 -3) (-3)
-1
4 -2
-4 -4
-6 -11 11
6 12 -9
+1 2
 
 
D) 12  E) 12  
 
RESOLUCIÓN 
 E 6 2 10 2 8 2 7    
  7 1 
 E 6 2 10 2 7 2 6 2 8 2 7       
  E 6 2 7 1 8 2 7 2 1       
 
RPTA.: D 
330. Reducir 
6273021128814012 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 7 E) 0 
 
RESOLUCIÓN 
E 12 140 8 28 11 2 30 7 2 6        
E 12 2 35 8 7 11 2 30 7 2 6        
   E 7 5 7 1 6 5 6 1        
E = 0 
RPTA.: E 
331. Calcule: 
 
 
2
1
P 6 4 3 1 8 5 24
 
     
 
 
 
 
A) 7 B) 8 C) 9 
D) 5 E) 6 
 
RESOLUCIÓN 
 
2
1
P 6 4 3 1 8 5 24
 
         
 
 
 
2
1
P 6 4 3 1 8 3 2
 
       
  
 
 
 
2
1
P 6 4 3 5 2 6
 
    
 
 
 
   
2 2
P 6 4 3 3 2 6 4 3 6         
 
 
P = 7 
 
RPTA.: A 
 
332. Simplificar: 
 





1422
1212
1932
1313
22 xx
xx
xx
xx
 
1419
5
22
2


xx
x
 
A) -x B) 2x C) 
2x 
D) 5x E) 3x 
 
RESOLUCIÓN 
2
2 22 2
3x 1 3x 1 2x 1 2x 1 5x
9x 1 4x 12 3x 9x 1 2 2x 4x 1
a b
     
 
     
 
 2
2
5x a b3x 1 3x 1 2x 1 2x 1
5x3x 1 3x 1 2x 1 2x 1
     
 
     
 
     
2 2
3x 1 3x 1 2x 1 2x 1 5 a b
2 2 5
      
 
 
2 26x 9x 1 2 4x 2 4x 1
a b
2 2
    
  
 
3x a 2x b a b 5x      
 
RPTA.: D 
333. Efectuar: 
 4K 13 7 5 7 3 7      
 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
RESOLUCIÓN
 4K 13 7 5 7 3 7      
 
   K 13 7 5 7 3 7    
       K 13 7 3 7 5 7 3 7     
K 32 10 7 8 2 7    
 K 5 7 7 1 2     
 
 
RPTA.: B 
 
334. Reducir: 
18 6 48
P
9 72 5 24 8 48
  
  
A) 0 B) 1 C) 3 
D) 2 E) 4 
 
RESOLUCIÓN 
 
18 6 48
P
9 72 5 24 8 48
  
  
3 2 6 4 3
P
6 3 3 2 6 2
  
  
 
 
 3 2 6 3 4 3 6 2
P 6 3 2
3 4
 
   
P 2 3 6 3 2 2 3 3 2 6 0      
 
RPTA.: A 
335. Transformar a radicales simples: 
3 10810 
A) 23  B) 32  
C) 13  D) 13  
 E) 32  
 
RESOLUCIÓN 
 310 108 A B   (+) 
Si: 310 108 A B   
    
3
33 310 108 10 108 2A    
 320 6 2A 8A   
 310 6A 4A  
 310 4A 6A A 1    
     3 3A 3 A 3 10 108 10 108      
 2A B 2   
 1-B=-2B=3 
 310 108 1 3   
 
RPTA.: D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEMANA 1 
CONJUNTOS I 
 
336. Si:       A ;a; a ; a,b ;   
Indicar las proposiciones que son 
verdaderas. 
I. a  A  {a, b}  A 
II. {}  A  {}  A 
III.   A    A 
 
A) solo I B) solo II 
C) solo III D) II y IV 
E) II y III 
 
RESOLUCIÓN 
      A ;a; a ; a,b ;   
 
I. a  A  {a, b}  A 
 
 F F = F 
 
II. {}  A  {}  A 
 
 F V = V 
 
III.   A    A 
 
 V V = V 
 
 
 I y III son verdaderas 
 
RPTA.: D 
 
337. Dados los conjuntos: 
 
  
A x N 2x 13
B x A x² 2x A
  
   
 
Indicar si es verdadero o falso, las 
siguientes proposiciones. 
 
I.  x  A / x²  5 > 4 
II.  x  (A  B) / 2x + 5 < 8 
III.  x  (A  B) / x²  B 
 
A) VVF B) FVF C) VFV 
D) VFF E) VVV 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
  
A x N 2x 13
A 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
B x A x² 2x A
  
 
   
 
 
x = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 
x²  2x = 0 ;1; 0 ; 3 ; 8; 15; 24 
 
 B = {1; 4; 5; 6} 
 
I.  x  A / x²  5 > 4 
(V) 
II.  x  (A  B)/2x + 5 < 8 
(F) 
III.  x  (A  B) / x²  B 
(V) 
RPTA.: C 
 
338. Sea  A n Z n 600   
Calcule la suma de elementos del 
conjunto B; si 
 3B a 2 a A a A     
 
A) 1000 B) 1296 C) 1312 
D) 1424 E) 1528 
 
RESOLUCIÓN 
   
  3
a es cubo perfecto
A n Z n 600 1,2,3,4,5,...,600
B a 2 a A a A
   
 
 
     
  
 a = 1³ ; 2³; 3³; ...; 8³ 
       
 
2
B 1³ 2 ; 2³ 2 ; 3³ 2 ;....; 8³ 2
elementos 8x9
2 8
2de B
1312
 
 
     
  
   
    
  


 
Nota: 
 
3
2
N
n n 1
S
2
 
  
 
 
RPTA.: C 
 
339. Halle el cardinal del conjunto B e 
indicar el número de subconjuntos 
ternarios que tiene. 
    
CONJUNTOS
LÓGICA
B x Z x 8 x 2
siendo : p q p q A B
    
 
     
 
 
 
A) 48 B) 42 C) 63 
D)56 E) 45 
 
RESOLUCIÓN 
    B x Z x 8 x 2     
 (x > 8)  (x = 2) 
  (x> 8)  (x = 2) 
 
 x = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 
 n(B) = 8 
 
 
#Subconjuntos 8 8!
C
3! 5!3Ternarios de B
6x7x8
56
6
 
  
 
 
 
 
RPTA.: D 
 
340. Dados los conjuntos unitarios 
 A = {a + b; a + 2b3; 12} y 
 B = {xy ; yx ; 16}; 
halle el valor de (x + y + a² + b) 
 
A) 81 B) 92 C) 96 
D) 87 E) 90 
 
RESOLUCIÓN 
A y B son unitarios: 
 
* A = {a + b; a + 2b  3; 12} 
a + b = 12 
a + 2b  3 = 12 
a + 2b = 15 
como: a + b = 12 
 b = 3  a = 9 
´ 
 
 
 
* B = {xy; yx; 16} 
 xy = yx = 24 
  x = 2 ; y = 4 
  x + y + a² + b = 90 
RPTA.: E 
 
341. Calcular el número de 
subconjuntos binaros del conjunto 
D, si: 
D = {(x² 1)Z / 0 < x  4} 
 
A) 132 B) 126 C) 105 
D) 124 E) 120 
 
RESOLUCIÓN 
D = {(x² 1)Z / 0 < x  4} 
 0 < x  4  0 < x²  16 
 
 1 <x²  1 15 
 
D = {0; 1; 2; 3; ...;15}  n(D)= 16 
 
 
 
#Subconjuntos 16 16!
C
2! 14!2Binarios de D
15x16
2
 
  
 
 15x8
120


 
 
RPTA.: E 
 
342. Si: 
 n [P(A)]= 128; n[P(B)]= 32 y 
 n [P(AB)] = 8 
 
Halle el cardinal de P(AB) sumado 
con el cardinal de: 
 
C =  
5
3x 1 Z x
3
    
 
 
 
A) 521 B) 517 C) 519 
D) 512 E) 520 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
* nP(A) = 128 = 2
7  n(A) = 7 
 nP(B) = 32 = 2
5  n(B) = 5 
nP(AB) = 8 = 2
3  n(AB) = 3 
 n(AB) = 7 + 5  3 = 9 
 nP(AB) = 2
9 = 512 
 
* C =  
5
3x 1 Z x
3
    
 
 
 
5
x
3
5
x 3 1 3 1
3

  
 
 (3x + 1) < 6 
 
 
 C = {1; 2; 3; 4; 5} 
 n(C) = 5 
 
  nP(AB) + n(C) = 517 
 
RPTA.: B 
 
343. Oscar compra 9 baldes de 
pinturas de diferentes colores. Los 
mezcla en igual proporción. 
¿Cuántos nuevos matices se 
pueden obtener? 
 
A) 512 B) 246 C) 247 
D) 503 E) 502 
 
RESOLUCIÓN 
# de colores = 9 
# de nuevos matices= 29  1  9 
 = 512  10 
 = 502 
 
RPTA.: E 
 
344. El conjunto A tiene 200 
subconjuntos no ternarios. 
¿Cuántos subconjuntos quinarios 
tendrá? 
 
A) 64 B) 56 C) 48 
D) 21 E) 35 
RESOLUCIÓN 
 
 
 Sea n(A) = x 
 
 
   
 
   
 
 

 
 

 
  
 
 
x x
3
x
x
Subconjuntos
2 C 200
no ternarios
x!
2 200
3! x 3
x 2 x 1 x
2 200
6
x 8
Luego :
#Subconjuntos 8 8!
C
5! x 3!5Quinarios
8 x 7 x 6
56
6
 
 
RPTA.: B 
 
345. Si el conjunto “C” tiene (P + 1) 
elementos y (2P + 3) 
subconjuntos propios; además: 
 
n(A) = 4P + 2 ; n(B) = 3P + 6 y 
n(AB) = 2P  2 
 
Halle n(AB) 
 
A) 14 B) 16 C) 18 
D) 17 E) 20 
 
 
RESOLUCIÓN 
n(C) = P + 1 
# subconjuntos
2P 3
propios de C
 
 
  
  
 
 
P + 1 
 
 2P + 1  1 = 2P + 3 
 P = 2 
 Luego: 
n(A) = 4(2) + 2 = 10 
n(B) = 3(2) + 6 = 12 
n(AB) = 2 
 
 
 
 
 
 
 
n (AB) = 18 
RPTA.: C 
 
346. Sean los conjuntos A  E ; B  E 
y C  E; E conjunto universal, tal 
que: 
 
E = {x Z+ / x < 10} 
A =  x E x 7  
AB = {x  E / x  9  x > 2} 
BC = {3} 
BC = {x  E / x  7} 
AC = A B C    
 
Determinar n(A) + n(B) + n(C) 
 
A) 9 B) 12 C) 10 
D) 13 E) 11 
 
RESOLUCIÓN 
 E={xZ+/x<10} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
   A x E / x 7 1,2,3,4,5,6    
 A = {7, 8, 9} 
De: 
A C   A B C A B C          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A  B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
B  C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
 
n(A) + n(B) + n(C) = 3 + 5 + 3 = 11 
RPTA.: E 
 
347. Sean A, B y C tres conjuntos no 
vacíos que cumplen las 
condiciones: 
* A  B  B  A 
´ 
´ ´ ´ 
1028
A = 10 B = 12
. 1
. 2. 3
. 4
. 5
. 6
. 7
. 8
. 9
C
BA
´ 
 
 
* si x  C  x  B 
 
Determinar el valor de verdad de 
las siguientes proposiciones. 
 
I) A y B son disjuntos 
II) (A  B)  C 
III) C  (A  B) 
IV) C  (A  B) 
 
A) FVVF B) FFVV C) FFFF 
D) VFVF E) FFFV 
 
RESOLUCIÓN 
A  B  B  A 
x  C  x  B 
 
Graficando las dos condiciones: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I) A y B son disjuntos (F) 
II) (A  B)  C (F) 
III) C  (A  B) (F) 
IV) C  (A  B) (V) 
 
RPTA.: E 
 
348. Sean A y B dos conjuntos finitos 
tales que: 
 
* A  B =  
* n(B) = 2 . n(A) 
* B tiene 128 subconjuntos. 
 
El número de subconjuntos de B 
excede al número de subconjuntos 
propios de A en 993. 
¿Cuántos subconjuntos propios 
tiene A ? 
 
A) 281 B) 2101 C) 2111 
D) 2121 E) 2131 
 
RESOLUCIÓN 
Sean n(A) = x  n(B) = 2x 
 
# subconjuntos # subconjuntos
993
de B propios de A
   
    
   
 22x  (2x1) = 993 
 
 2x(2x1) = 992 = 25 x 31 
 
 x = 5 
 
Luego: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 # subconjuntos de 7B 128 2   
 12#subconjuntos propios de A 2 1   
 
RPTA.: D 
 
349. Dados los conjuntos: 
 
 
3x 5
A x N / N
4
x 1 x
B N / N
2 2
C x N /2x 25
 
   
 
 
   
 
  
 
Halle: n[(AB)C ] 
 
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 5 E) 6 
 
RESOLUCIÓN 
* 
3x 5
A x N / N
4
 
   
 
 
3x 5 4N 5
N x
4 3
 
   
 
N = 2; 5; 8 ...... 
X = 1; 5; 9 ...... 
´ 
´ 
C
B
A
2
5 10
B = 10A = 5
U
 
 
A = {1, 5, 9, 13, 17, 21, .....} 
 
* 
x 1 x
B N / N
2 2
 
   
 
 
NATURAL
x 1 x 1
No existe natural
2 2 2

  
  B =  
 
*  C x N /2x 25   
 C = {13, 14, 15, 16, 17, .....} 
 n(AB)  C  A  B (DIFERENCIA SIMÉTRICA) 
 
 n (A  C ) = n(A  C) 
 = n {1, 5, 9} 
 = 3 
RPTA.: B 
 
350. Para los conjuntos A, B y C 
afirmamos: 
 
I. Si A  B  C  C B A  
II. A  A   
III.  A B A B   
IV. Si A B B A   
V.  A B A B A    
Son verdaderas: 
 
A) todas 
B) solo II y III 
C) todas excepto V 
D) solo II, III, IV y V 
E) solo I, II y V 
 
RESOLUCIÓN 
I. Si A  B  C  C B A    (V) 
II. A  A   (V) 
III.  A B A B   (V) 
IV. Si A B B A   (V) 
V.  A B A B A    (V) 
RPTA.: A 
 
351. Si A y B son dos conjuntos finitos, 
tal que, el número de 
subconjuntos de A y de B suman 
320, los conjuntos A y B tienen 2 
elementos comunes; determine 
n(AB) 
 
A) 14 B) 13 C) 12 
D) 11 E) 10 
 
RESOLUCIÓN 
320 = n(PA) + n (PB) 
 320 = 2n(A) + 2n(B) 
 320 = 26 + 28 
 Luego: 
n(A) = 6 n(B) = 8 
 
 
 
 
 
 
  n(AB) = 10 
RPTA.: E 
 
352. Sean A, B y C conjuntos no vacíos 
diferentes dos a dos, tales que: 
B A ; C B
A C
   
  
 
Al simplificar: 
[B(C  A)]  [A  (B  C)] se 
obtiene: 
 
A) A B) B C) A  B 
D) A  C E)  
 
 
RESOLUCIÓN 
B A ; C B ; A C
A B ; C B ; A C
      
      
 
 
 
 
 
 
Graficando y enumerando las 
regiones: 
 
 
 
 
´ ´ ´ 
´ 
´ ´ 
´ ´ 
´ ´ 
´ ´ ´ 
´ 
4 62
A B
2
B
C
A
1
2 3
´ ´ ´ ´ 
´ ´ ´ 
´ 
´ ´ 
´ ´ 
´ ´ 
 
 
 
 
 
 
 
   B C A A B C           
 [2]  [1; 3] =  
 
RPTA.: E 
 
353. Sean A y B dos conjuntos 
cualesquiera, simplificar: 
      A B A B A B     
 
A) A  B B) A  B 
C) A B D)  A B 
E)  
RESOLUCIÓN 
Graficando los conjuntos A y B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
     A B A B A B
 
      
 
 
 
 (A  B) (BA) 
 
   
     
1,2,3 2,3
1,2,3 1,4 1 A B

   
 
RPTA.: A 
 
 
 
 
 
354. En el gráfico, las zonas 
sombreadas están representadas 
por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
I) [A(BC)]  [C  D] 
II) (A  B)  (B  C) 
III) [(A  D)  C]  [A  (BC)] 
 
A) solo I B) solo II 
C) solo I y II D) solo II y III 
E) todos 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I) [A(BC)]  [C  D] 
[{1,2,3}  {2,6,5}]  {7} 
= {1,3,7}: si 
 
II) (A  B)  (B  C) 
{1,2,3,4,5,6,7}  {2,5,6} = 
{1,3,4,7} no 
 
III) [(A  D)  C]  [A  (BC)] 
 {1,2,5}  {1,3} = {1} no 
 
RPTA.: A 
 
355. Dado 3 conjuntos A; B y C: 
Si n(A) = m ; n(B) = m + r 
n(C) = m + 2r ; además: 
n[P(A)] + n[P(B)]+ n[P(C)] = 896 
Se sabe además que A, B y C son 
disjuntos. 
Calcule n(A  B  C) 
 
A) 16 B) 22 C) 24 
D) 32 E) 48 
 
RESOLUCIÓNn(A) = m ; n(B) = m + r ; n(C) = m + 2r 
 
     A B C
nP nP nP 896   
 2m + 2m+r + 2m+2r = 896 
 
 2m [1 + 2r + 22r] = 896 = 27 x 7 
B
C
D
A
´ ´ ´ 
´ 
´ ´ 
2 31
4
A B
´ 
´ 
B
C
D
A
1 2 3 4
5
6
7
 
 
 
 
 m = 7 
 r = 1 
 
 A B C 
 
 7 8 9 
 
 n(A  B  C) = 24 
RPTA.: C 
SEMANA 2 
CONJUNTOS II 
 
356. Se hizo una encuesta a 50 
personas sobre preferencias 
respecto a dos revistas A y B. Se 
observa que los que leen las dos 
revistas son el doble de los que 
leen solo A, el triple de los que 
leen solo B y el cuádruplo de los 
que no leen ninguna de las dos 
revistas. ¿Cuántas personas leen 
la revista A? 
 
A) 24 B) 30 C) 32 
D) 36 E) 40 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6x + 12x + 4x + 3x = 50  x = 2 
 n(A) = 18(2) = 36 
 
RPTA.: D 
 
357. A una ceremonia asistieron 24 
señoritas con cartera, 28 varones 
con corbata, 40 portaban casaca, 
17 varones con corbata no tenían 
casaca, 9 señoritas portaban 
casaca pero no tenían cartera. 
¿Cuántos varones con casaca no 
llevaron corbata, si 16 señoritas 
no llevaron cartera ni casaca y 28 
señoritas no llevaron casaca? 
 
A) 8 B) 9 C) 10 
D) 11 E) 12 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 = 11 + 9 + 12 + x  x = 8 
 
RPTA.: A 
 
358. De los residentes de un edificio se 
ha observado que 29 de ellos 
trabajan y 56 son mujeres, de los 
cuales 12 estudian pero no 
trabajan. De los varones 32 
trabajan o estudian y 21 no 
trabajan ni estudian, ¿cuántas 
mujeres no estudian ni trabajan, 
si 36 varones no trabajan? 
 
A) 32 B) 30 C) 28 
D) 26 E) 34 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
12x 4x6x
A = 18x B
3x
U = 50
12 1217 11
C
or
ba
ta
 =
 2
8
Casaca = 40 Cartera = 24
16
9x
H = M =
U =
M
H
56
T(29
)
E 21
12
12
1517
x
 
 
 
 
 
 
 
 X = 56 – 24 
 X = 32 
 
RPTA.: A 
 
 
 
 
359. En una clase de 50 alumnos, se 
practica tres deportes: Atletismo, 
Básquet y Fulbito. 
* Los que practican atletismo o 
fulbito pero no básquet son 30. 
* Los que practican básquet o 
fulbito pero no atletismo son 27. 
* Los que practican atletismo y 
fulbito son 7. 
* Los que practican fulbito pero no 
atletismo o básquet son 15. 
* Los que no practican estos 
deportes son la cuarta parte de los 
que practican básquet y fulbito 
pero no atletismo. 
* 4 practican atletismo y básquet 
pero no fulbito. 
* Los que practican básquet pero no 
atletismo o fulbito son 4. 
 ¿Cuántos practican solo dos 
deportes o no practican ninguno? 
 
A) 21 B) 17 C) 19 
D) 2 E) 18 
 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 = 15 + 8 + (7x) + x + 8 + x 
+ 4 + 4 + 2 
X = 50  48 = 2 
 solo 2 deportes o ninguno de los 
tres: 5 + 4 + 8 + 2 = 19 
 
RPTA.: C 
360. Dado los conjuntos A; B y C 
contenidos en el universo de 98 
elementos, tal que: 
 
n(A  B) = 21 
n(B  C) = 25 
n(C  A) = 32 
3n (ABC) = n(ABC ) 
Hallar:  A B C   
 
A) 93 B) 95 C) 87 
D) 77 E) 91 
 
RESOLUCIÓN 
 Diagrama de Ven –Euler para 
visualizar: 
 
Planteando tenemos: 
98 = 4x + 21 + 25 + 32 
20 = 4x 
5 = x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
´ 
´ 
8 + x
4
4
B
A
F
2
8
x
7 - x
U = 50
15
A B
C
x
3x
98
 
 
 
Piden:   A B C 
 U A B C 98 5 93        
 
RPTA.: A 
 
361. Usando las leyes del álgebra de 
conjuntos, simplificar: 
 
    A B B A B C           
 
A) AC B) BC 
C) U D) (A  B)C 
E) (A  B)C 
RESOLUCIÓN 
[(AB)B] =  
[(AB)C]C = (AB)CC 
{[(AB)B][(AB)C]}C 
 {}C = U 
RPTA.: C 
 
362. En un condominio de 100 
personas, 85 son casados, 70 son 
abonados de teléfono, 75 tienen 
bicicleta y 80 son empresarios. 
¿Cuál es el mínimo número de 
personas que al mismo tiempo 
son casados, poseen teléfono, 
tienen bicicleta y son 
empresarios? 
 
A) 15 B) 10 C) 20 
D) 24 E) 15 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 Tomando por partes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 10 
 
RPTA.: B 
 
 
 
 
363. En una encuesta a los estudiantes 
se determinó que: 
 
* 68 se portan bien 
* 160 son habladores 
* 138 son inteligentes 
* 55 son habladores y se portan bien 
* 48 se portan bien y son inteligentes 
* 120 son habladores e inteligentes 
* 40 son habladores, inteligentes y se 
portan bien. 
 
 ¿Cuántos estudiantes son 
inteligentes solamente? 
 
A) 10 B) 20 C) 40 
D) 12 E) 8 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
´ 
15 55
30
45 30
25
70 10
20
70
30
15 45
CASADOS
TELÉFONO 75
25
CASADOS 
Y 
TELÉFONO
85 55
AUTO
80
20
70 30
CASADOS, 
TELÉFONO Y AUTO
EMPRESARIOS
40
80
25
15
5
8
10
HABLADORES: 
160
INTELIGENTES: 
138
PORTAN 
BIEN: 68
U = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solo inteligentes = 10 
RPTA.: A 
 
364. Un club consta de 78 personas, de 
ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet 
y 23 voley. Además 6 figuran en 
los 3 deportes y 10 no practican 
ningún deporte. Si “x” es el total 
de personas que practican 
exactamente un deporte, “y” es el 
total de personas que practican 
exactamente 2 deportes, entonces 
el valor de (xy) es: 
 
A) 9 B) 10 C) 12 
D) 15 E) 16 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a + b + c = y 
x : solo un deporte 
 
Del universo: 
44ab+b+17bc+32+10 = 78 
a + b + c = 25 = y 
 
También: 
x + y + 6 + 10 = 78  x = 37 
 x  y = 12 
RPTA.: C 
 
365. Dado el conjunto universal “U” y 
los subconjuntos A, B y C; se 
tiene los siguientes datos: 
 
n(U) = 44 n(BC) = 12 
n(AC) = 14 n[(ABC ) ]=6 
n(ABC) = 5 n(B) = 17 
n(A) = 21 n(ABC ) =3 
 
Hallar n(C) 
 
A) 31 B) 27 C) 29 
D) 26 E) 28 
 
RESOLUCIÓN 
n(AB C ) =3 
n[(AB)C] =3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 + 2 + 7 + 6 + x = 44  x = 8 
n(C) = 9 + 5 + 7 + 8 = 29 
 
RPTA.: C 
 
366. En un grupo de 80 estudiantes, se 
encuentra que las cantidades que 
estudiaban las diversas lenguas 
eran en número de 72, 
distribuidas de la siguiente 
manera: 
 
´ 
´ 
´ 
a
c
6
b
44
 –
 a
 –
 b
 
17 – b – c 
V = 23
B = 32
F = 50
10
U = 78
4 3 2
9
5
7
x C
B = 17A = 21
6
U = 44
´ 
 
 
* Alemán solamente 25 
* Español solamente 12 
* Francés pero no alemán ni 
español, 15 
* Alemán y francés 10 
* Alemán y español 8 
 
Además los que estudiaban 
español y francés eran tantos 
como los que estudiaban alemán y 
español. Determinar cuántos 
estudiaban 2 lenguas solamente o 
estudiaban las 3 lenguas. 
 
A) 14 B) 20 C) 12 
D) 8 E) 18 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dos lenguas solamente ó tres 
lenguas 
= (80)  (25 + 15 + 12 + 8) 
= 20 
RPTA.: B 
 
367. En una encuesta realizada a 100 
trabajadores de una fábrica se 
obtuvo la siguiente información: 
todos los hombres tenían más de 
20 años, 25 de las mujeres eran 
casadas mientras que 15 de los 
trabajadores casados tenían más de 
20 años y 10 de las mujeres 
casadas tenían más de 20 años. Si 
hay 60 que tienen más de 20 años, 
hallar la diferencia entre el número 
de trabajadores con menos de 20 
años y el número de mujeres 
solteras con menos de 20 años. 
 
A) 5 B) 10 C) 15 
D) 18 E) 8 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A: personas con más de 20 años 
B: hombres 
C: casados 
 
Por datos: 
x + y = 25 
x + z = 15 
x = 10 
y = 15 
z = 5 
 
* Trabajadores con menos de 20 
años: 15 + 25 = 40 
* Mujeres solteras con menos de 20 
años = 25 
40  25 = 15 
RPTA.: C 
 
 
 
368. ¿Qué operación representa el 
gráfico? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) [(AC)(BC)]  C 
B) [(AB)(BA)]C 
C
BA
25 8 - x 12
10 - x
x
15
F
EA
8
U = 80
8 - x
y
C
B
A(60)
a b z x
25
U(100)
 
 
C) C (AB) 
D) (CA)  (CB) 
E)  A B C  
 
 
RESOLUCIÓN 
 
RPTA.: C 
 
 
 
369. En un colegio hay 35 niños. Cada 
uno de ellos tiene una bandera que 
puede ser monócroma, bicolor o 
tricolor, habiéndose usado 
únicamente 3 colores: rojo, amarillo 
y azul. El número de banderasbicolor es el doble del número de 
banderas monocromas, mientras 
que el número de banderas que 
tienen el color rojo es igual al 
número de banderas que tienen el 
color azul e igual al número de 
banderas que tienen el color 
amarillo. Si sólo 8 niños tienen 
banderas tricolor y dos alumnos 
banderas color amarillo. ¿Cuántas 
banderas bicolor rojo – azul hay? 
 
 
A) 2 B) 3 C) 5 
D) 7 E) 10 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Datos: 
a + b + x + y + z = 25 ......(1) 
x + y + z = 2(a + b + c) ....(2) 
(2) en (1) 
a + b + 2 (a + b + 2) = 25 
3(a + b) = 21 
a + b = 7 
 
Dato: 
a + x + y = y + z + b = x + z + c 
a + 18  z = 18  x + b = 18y+ c 
De donde: 
a = z y + c 
b = x  y + c 
Sumando: 7 = x + z  2y + 4 
 7 = 18  y  2y + 4 
 3y = 15 
 y = 5 
 
RPTA.: C 
 
 
370. A cuántas personas le gusta 2 
cursos solamente si la cantidad de 
personas que le gusta aritmética 
pero no álgebra ni física es el doble 
de los que les gusta álgebra, pero 
no aritmética ni física y además a 
los que les gusta física pero no 
aritmética ni álgebra es el triple de 
los que les gusta álgebra pero no 
aritmética ni física y a los que les 
gusta los 3 cursos es la cuarta parte 
de los que les gusta aritmética pero 
no álgebra ni física, si a 24 
personas le gusta solamente un 
curso y además el total de personas 
que gusta de al menos un curso es 
36. 
 
A) 5 B) 8 C) 12 
D) 4 E) 10 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 A: aritmética 
 X: álgebra 
 F: física 
 
 
 
´ 
a y b
z
8
x
c = 2
Amarilo
Azul
Rojo
U = 35
A
4y n 2y
p
y
m
6y
F
x
 
 
 
 
 
 
Datos: 
A  (xF) = 2[x  (AF)] 
F  (Ax) = 3[x(AF)] 
       
1
A x F A x F
4
 
AxF = y 
Por dato: 
 4y + 2y + 6y = 24 
 12y = 24 
 y = 2 
 
 13y + m + n + p = 36 .... dato 
13 x 2 + m + n + p = 36 
 m + n + p = 10 
RPTA.: E 
 
371. A, B y C son conjuntos contenidos 
en un mismo universo, simplifique 
la siguiente expresión: 
 
E = {{[(A  B)  (A  B )]  (A  B )}  
(C  A)}  {((A  C)  (A  C)} 
 
A) AC B) B C) A 
D) AC E) C 
 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
E={{[(AB)(ABC)](ABC)}(CA)} (AC) 
 
A(B(ABC)............................... 
A(BA) 
 
 (AB)  (ABC) 
 
[(AB)A]  [(AB)BC] 
 A  (ABC) 
 
 A  (CAC) 
 (AC)  (AC) 
(AC) 
 
RPTA.: A 
 
372. De 60 personas se sabe: 
 
* 6 hombres tienen 20 años 
* 18 hombres no tienen 21 años 
* 22 hombres no tienen 20 años 
* Tantas mujeres tienen 20 años 
como hombres tienen 21 años. 
 
¿Cuántas mujeres no tienen 20 
años? 
 
A) 18 B) 20 C) 24 
D) 22 E) 28 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 22 
RPTA.: E 
 
373. De un grupo de personas se sabe 
lo siguiente: 
* Algunos provincianos son casados. 
* Todos los profesores no son 
provincianos. 
* Ninguno de los que tienen hijos es 
profesor 
* Todos los casados tienen hijos 
* 9 personas no son provincianas, ni 
casadas, pero tienen hijos. 
* Hay 12 profesores y son tantos como 
el número de casados 
* De los 25 provincianos, 15 tienen 
hijos. 
* 5 casados no son limeños 
* 10 limeños no son profesores ni 
tienen hijos. 
¿Cuántas personas conforman el 
grupo y cuántos no tienen hijos, ni 
son profesores? 
 
´ ´ 
6
x = 10
x = 10
H M
60 28 32
21+
21
20
20 -
 
 
A) 63 y 20 B) 57 y 10 
C) 59 y 23 D) 64 y 9 
E) 63 y 22 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Total = 63 
 No tienen hijos ni son 
profesores = 20 
RPTA.: A 
 
374. En una academia de 100 alumnos, 
se rindieron 3 simulacros con los 
siguientes resultados: 40 
aprobaron el primero; 39 el 
segundo; y 48 el tercero. 10 
aprobaron 3 simulacros. 21 
ninguno; 9 los dos primeros, pero 
no el tercero; 19 el tercero, pero 
no los dos primeros. 
¿Cuántos aprobaron por los menos 
dos exámenes? 
 
A) 19 B) 38 C) 24 
D) 27 E) 29 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x + y + 10 + 19 = 48 
x + y + 19 = 38 
 
RPTA.: B 
 
 
 
375. En una ciudad el 60% de los 
habitantes comen pescado; el 
50% come carne; el 40% de los 
que comen carne también comen 
pescado. ¿Qué porcentaje de los 
habitantes no comen pescado ni 
comen carne? 
 
A) 15% B) 23% C) 20% 
D) 10% E) 30% 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40
50% 20%
100
 
 
60% + 30% + x = 100% 
 X = 10% 
 
RPTA.: D 
 
SEMANA 3: 
NUMERACIÓN I 
 
376. Calcule “a” si: 
 
 
 
 
 7 .
9
p
a n 2c 1 aa
3
 
  
 
 
 
 Además  
 
n
p
c
5p7 4c3
2
 
  
 
 
7
5
9
10 10
12
10
LIMA
PROVINCIA
HIJOS HIJOS HIJOS
= 25
CASADOS SOLTEROS
9
yx
19
P = 40 S = 39
T = 48
U = 100
21
10
P = 60% C = 50%
x
U = 100%
40% 20% 30%
 
 
 
 A) 2 B) 3 C) 4 
 D) 5 E) 6 
 
RESOLUCIÓN 
 
         n p 9 7
c p
5p7 4c3 ; a n 2c 1 aa
2 3
   
     
   
 
 n 7 p 4 n 9 c 3 
 C= par p 3ó6 
 
  n = 8 ; p 6 ; c 2 
 
Luego: 
    9 7a28 5aa 
 81a 2 9 8 245 7a a      
 81a 26 245 8a   
 73.a 219 a 3   
RPTA.: B 
 
377. ¿Cuántos valores puede tomar “k” 
en 
 
n
n
k
0,125
kk
 ? 
 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 8 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
n
n
k 1
0,125
kk 8
  
 
Descomponiendo 
k 1 k
kn k 8
  
 k(1 n)
1
8
 
1 1
n 1 8
n 1 8
    

 
 n 7 
 
Pero k n 7  
k 1;2;3;4;5;6 
K puede tomar 6 valores 
 
RPTA.: C 
378. Si: 
        
   
7
n 5
n n 1 n 2 n 3 n 4 abcd

     
 Halle:  a b c d   
 
A) 10 B) 12 C) 13 
D) 11 E) 14 
 
RESOLUCIÓN 
 
(7)(n 5)n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4) abcd    
 
 n 5 7  
 n 1 
 
 (6) 712345 abcd 
 
 1 2 3 4 5 
 
 6 6 48 306 1860 
 1 8 51 310 1865 
 
 a=5 
   77
1865 5303 abcd   b=3 
 C=0 
 D=3 
 
 a + b + c + d = 11 
 
RPTA.: B 
379. Halle  m n p  , si    n n 1110 ,81  y 
(n 1)1mp  son números consecutivos. 
 
A) 15 B) 14 C) 13 
D) 12 E) 11 
 
RESOLUCIÓN 
 
     n 1n n 1
110 ;81 ;1mp  
 Por dato:    n n 1110 1 81   
  2n n 1 8 n 1 1     
 
   2n 7n 8 0 n 8 n 1 0       
 n - 8 n=8 
 n 1 
 
 
 
 
     78 9
110 ;81 ;1mp 
 72 ; 73 ; 74 
 
74 7 
 4 10 7 
 3 1 
 
    7 71mp 134 m 3;p 4;n 8     
 m n p 15   
 
RPTA.: A 
 
380. Sabiendo que :    n 9a7b aoc ; 
además    n 5 .6d6 mbmb Halle el 
valor de (m + b + d). 
 
A) 2 B) 4 C) 3 
D) 6 E) 8 
 
RESOLUCIÓN 
   n 9a7b aoc
 
 
 
 7 n 9 n 8    
 
 
También por dato: 
   8 56d6 mbmb 
 
2 2
56 8 d 8 6 mb .5      5mb 
390 8d 26 mb  5 
 5195 4d 13.mb  
 
 0 15 
 
   5 5
d 0 mb 15 30    
 m = 3; b = 0 
 3dbm  
 
RPTA.: C 
 
381. Calcule el valor de “n” si “m” es 
máximo en: 
 
 
...1818 n
18.18 123 
“m” veces 
 
A) 8 B) 9 C) 11 
D) 14 E) 10 
 
RESOLUCIÓN 
Propiedad tenemos: 
 
 
 
...1818 n
18.18 n 8 m 123    
 
 
 
Pensando: 
m 14 (mayor valor) 
 n 8 14 123   
 n 123 112  
 n 11 
RPTA.: C 
 
382. Si: 
 
   
 
 
 9 3
a b 1 c 2 c b 1 10 xy 12   
 
 Calcule:  a b c x y    
 
 A) 9 B) 10 C) 11 
 D) 12 E) 13 
 
RESOLUCIÓN 
Caso Especial: 
2b b 
 
   
 
 
 9 3
a b 1 c 2 c b 1 /10 /xy /12    
   
 
     
 9 9
a b 1 c 2 c b 1 3 3x y 5    
Igualando: 
 
* c = 5 
* b 1 3;b 2   
* a b 1;a 1   
*c 2 3x y   
 5 2 3x y   
“m” es máximo 
n > 8 
 “m” veces 
 
 
 7 3x y  ; x = 2 y = 1 
 
Pide: a b c x y 11     
 
RPTA.: C 
 
383. En la siguiente expresión: 
 
     m 8n
M 4n6 54 3mn  Halle M. 
 
A) 42 B) 532 C) 24 
D) 220 E) 44 
 
RESOLUCIÓN 
 
 Analizando: 
  n54 5n 
  mn64 6m 
 nm 
  83mn 85  mn 
 
  7m y 6n 
 
      7 6 8M 466 54 376   
 M 244 34 254   
 
 M = 24 
RPTA.: C 
 
384. Si se cumple que: 
 
 ab n
aa 29abca 17a 
 
Calcule el valor de “n” 
 
A)3 B)4 C)6 
D)9 E)5 
 
RESOLUCIÓN 
 
   ab naa 29abca 17a x 29 
  cambio de variable 
 
       x 29 x 29
abca 17a abc .x a 17 .29 a    
 xabc .x 36.29 
Si 
   9138116abc9x 9  
 
 a=1 ; b=3; c=8 
Luego: 
 
  13 nx 11 9  
 n 1 3 9 n 5     
 
RPTA.: E 
385. Halle  a b c m n ,    sabiendo 
que:    n maba bcn 
 Sabiendo que: m < 9 y b > 4 
 
A) 27 B)3 C)-5 
D) -3 E)5 
 
RESOLUCIÓN 
mnab4  (Ordenando) 
87654  
 
Luego:    87 517656  
 
a b c m n 6 5 1 7 3           
 
3 
RPTA.: D 
 
386. Calcule la suma de las dos últimas 
cifras del numeral:    
 n
16 12 13 8 , 
al expresarlo en el sistema de 
base  1n  . 
 
A) 6 B) 7 C) 5 
D) 4 E) 3 
 
RESOLUCIÓN 
 
      n8131216N Base  1n  
 
x 
 
 
     
   
   
 
       
 
   
 
   
   
   
 
nn
n n
n n nn
nn
nn
n n
n n
n
16 12 13 8 n 1 11
11 1576 11
5 12 11 143 11
5 5 47
7 13 44
7 7 36
68 33
66 3
2
 
 
 (n 1)N ...32   
 
  de las 2 últimas cifras = 5 
 
RPTA.: C 
 
 
387. Si se cumple: 
 
 
 x
2m 1
9 6 12
abcd
m m m

     
     
     
 
 
 Calcule a b c d m x     
 
A) 8 B) 10 C) 12 
D) 13 E) 15 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 x
1m2
abcd
m
12
m
6
m
9



















 
 
“m” divide a 9; 6 y 12 por tanto 
m = 3 
 
Reemplazando. 
 x5 abcd324  a mayor valor 
aparente menor base x 5  
 
 Se verifica para: x = 4 
 
Por descomposición: 
8945253324 55  
 
Por división a base 4: 
 
89 4 
 1 22 4 
 2 5 4 
 1 1 
 
     x45 abcd1121324  
 4x;1d;2c;1b;1a  
 3m  
 
 
 12mxdcba  
 
RPTA.: C 
 
388. Calcule : a n m  
 Si:    n m120a 64a 2553  
 
 A) 12 B) 14 C) 16 
 D) 18 E) 19 
 
RESOLUCIÓN 
    mn 2553a64a120  
 
   6401200 n  
 
 n³ + 2n² = n² (n+2) = 8²(8+2) 
 )28(8)2n(n2n 223  
 n 8 
 
 
   8 m
64a 120a 2553 ;m 5
m 8
  

 
 6m  
 
 
3
6
2553 2 6 5 6² 5 6 3 645 64a        
 
 a 5 
 a m n 5 6 8 19      
RPTA.: E 
 
389. Halle “x” en: 
Números 
equivalentes 
 
 
   n 7abx ccn , si: 2c y ab  
 
A)0 B) 2 C) 3 
D)5 E) 6 
 
RESOLUCIÓN 
    n 7abx ccn ...(I) ; C 2 ; b a 
 
 7n  
 2 c a b n 7 c 3        
 a 4 
 b 5 
 n 6 
 
 Luego en I 
 
   6 7
45x 336 174  
 
   6 6
45x 450 x 0    
RPTA.:A 
 
390. Si se cumple que: 
 
(2n) numerales 
 
n
14 10 1
15 11
14 12
15 13
1 n 1
 

 
 
 
 
¿Cuántas cifras tendrá el menor 
numeral de la base “n”, cuya suma 
de cifras sea 210, cuando se 
exprese en la base 2n ? 
 
A) 6 B) 7 C) 8 
D) 9 E) 5 
 
RESOLUCIÓN 
 
Aplicando propiedad. 
 
1)1n(...3210n5).1n()4(n15 
 
2
)1(
99


nn
n 
  18n
2
)1n(n
n19 

 
 
En base 3241822 n 
 
Número  
  18324
210 02 01 00 
 
Número de cifras =5 
RPTA.:E 
 
391. Halle  knba  en la siguiente 
expresión: 
 
   k n
9ab 213312 ; donde 
2nk  
 
A) 18 B) 24 C) 28 
D) 41 E) 37 
 
RESOLUCIÓN 
Luego: knkn 2  
    nn 213312ab9 2  
 
Transformando de base (n) a base  2n 
  n21 33 12 
 
 
 2n
9 a b 
 
 
 
 
 
n
4
4
21 9 n 4 ; k 16
33 a a 15
12 b b 6
   
  
  
 
41knba  
RPTA.: D 
 
392. El mayor número de 3 cifras 
diferentes de la base n, se escribe 
en base 8 como 4205. Halle n. 
 
A) 10 B) 11 C) 12 
D) 13 E) 14 
 
RESOLUCIÓN 
Sea:  nabc el mayor  cba  
 
 
7
7
7
7
7
7
1 000 000
142 857
20 408
2 915
416
59
8
1
(1)
(1)
7
(3)
(3)
(3)
(3)
(1)
 
        n 8nabc n 1 n 2 n 3 4205    
 pasando a base 10. 
 
  218158082843nn).2n(n.1n 232  
 
 
 2184nn3  
 2184)1n(n 2  
 2184)1n)(1n(n  
     1413121nn1n  
 13n  
RPTA.: D 
 
393. Se desea repartir S/. 1000000 entre 
un cierto número de personas, de 
tal modo que lo que les corresponda 
sea: 
 
 S/. 1 ; S/. 7 ; S/. 49 ; S/. 343;… 
 
 y que no más de 6 personas reciban 
la misma suma. ¿Cuántas personas 
se beneficiaron? 
 
A) 16 B) 15 C) 14 
D) 13 E) 12 
RESOLUCIÓN 
Transformando a base 7: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7311333110000001  
Número de personas: 
 
1611333311  
16N  
 RPTA.: A 
 
394. Si se cumple: 
    2 8a10b11b 15c 
 
 Halle:  cba  
 
 A)6 B) 7 C)5 
 D)9 E) 10 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 2
a 10b 11b =  8c15 
 
  8)b6)(b4(a  =  8c15 
 
 1a*  
1b;5b4*  
7c;cb6*  
9cba*  
RPTA.: D 
 
395. Si se cumple:    n 7ab ba 
 Halle la suma de cifras de n ; si es 
el máximo valor posible. 
 
A) 37 B) 13 C) 11 
D) 21 E) 10 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
Descomponiendo: 
 ab7ban  
 1
a
b6
n  
 
 7by7a  
 6b;1a  
 37n   1073  
 
RPTA.: D 
SEMANA 4 
NUMERACIÓN II 
396. Si el término ab avo de la 
siguiente serie aritmética es ba . 
 
 
 
 Calcule “a +b” si: 30;…;48;51… 
 
A) 6 B) 7 C) 8 
D) 9 E) 10 
 
RESOLUCIÓN 
 30;…;48;51… 
 Razón: 3. 
 Término 1: 30 
 Término n:   1
1
nttn razón 
  baabt
ab
 3130
Descomponiendo: 
 30+3xab -3=ba 
 30+3(10a+b)-3=10b+a 
 27+29 x a = 7 x b 
 
 
1 8 
 a=1; b=8 
 a+b=9 
 RPTA.: D 
397. Dada la siguiente progresión 
aritmética: 
 
   aa0;ab(a 2);a(b 1) 3b ;..... 3a 05 
 
 
 “n” términos 
Halle: a+b+n 
 
A) 15 B) 16 C) 17 
D) 18 E) 19 
 
RESOLUCIÓN 
 “n” términos 
 
 
   0533120 a;.....b)b(a;)a(ab;aa 
 
)a(ab)b)(b(aaa)a(abr 23102  
 
r = 10b+a+2-10a=10(b-1)+3b-10b-a-2 
 
r =10b-9a+2=3b-a+8 
 
 7b = 8a+6  r = 13 
 
 
 
 2 1 
 n= 161
13
110305


 
 a + b + n=19 
 RPTA.: E 
398. ¿Cuántos términos tiene la 
siguiente progresión aritmética: 
 
       x x x x
233 ;242 ;301 ;........;1034 
 
A) 26 B) 17 C) 20 
D) 19 E) 22 
 
RESOLUCIÓN 
Cálculo de la razón R: 
 
       xxxx 242301233242  
 Descomponiendo polinómicamente 
    2 22x 4x 2 2x 3x 3      
    2 23x 1 2x 4x 2    
 
 x = 5  R = x - 1  R = 4 
 
       5 5 5 5
233 ;242 ;301 ;.........;1034 
 
 + 4 + 4 
 
 5 5
1034 233
n 1
4

  
 n = 20 
RPTA.: C 
 
399. En la numeración de las páginas 
impares de un libro se han 
empleado 440 tipos de imprenta. 
¿Cuántas páginas puede tener el 
libro? 
 
A) 165 B) 330 C) 320 
D) 145 E) 325 
 
RESOLUCIÓN 
 Suponiendo la última página con 
numeración PAR. 
 Cantidad de cifras de las páginas 
impares: 
 
 1, 3, 5, 7, 9, 
 
 
 
 5#s 
 5 x 1 = 5 cifras 
 
 
 11, 13, 15, 17,……., 97, 99 
 
 
 45#s 
 45x2=90cifras 
 
 101, 103, 105, 107,………. 
 
 
440-(5+90) = 345 cifras 
 
 Se han utilizado 345 cifras para 
escribir números de3 cifras: 
3 cifras = 115
3
345
 
números de 3 cifras 
 
Total de páginas impares 
= 5+45+115=165 páginas. 
 
Total de páginas =330 
RPTA.: B 
 
400. Al escribir la secuencia adjunta que 
tiene 113 términos. ¿cuantas cifras 
en total se han utilizado? 
 
67 70 73 7666 ,69 ;72 ;75 ;........... 
 
A) 664 B) 665 C) 620 
D) 653 E) 655RESOLUCIÓN 
 
abc 1
67 70 97 100 10366 ,69 ;...96 ;99 ;102 ...abc

 
 
11#s 1# 101#s 
 
 
 11 x 4 1 x 5 101.6 
 
RPTA.: E 
 
401. Las 72 primeras páginas de un libro 
utilizan 69 tipos de imprenta menos 
en su numeración que las utilizadas 
por las 72 últimas ¿Cuántas páginas 
tiene el libro? 
 
A) 159 B) 157 C) 148 
D) 195 E) 185 
 
RESOLUCIÓN 
 La numeración de las páginas 
será: 
 1, 2, 3, 4,……., 71, 72,…….., 
 
 “x” Cifras utilizadas 
 
       N........,n,n,n 707172  
 
 “(x+69)” cifras utilizadas 
 
(La cantidad de cifras del 1 al 72) 
= (72+1)2-11=135 
 
La cantidad de cifras utilizadas en 
las 72 últimas páginas será: 
 
135+69=204 
 
Entonces si al total de cifras desde 
1ª “N”, le quitamos el total de 
cifras utilizadas desde 1 hasta (N-
72) es igual a 204. 
 
Asumiendo para N=3 
   N 1 3 111 N 72 1 2 11 204        
 
N=159 
RPTA.: A 
 
402. En la siguiente serie, halle el 
término que ocupa el lugar ante 
penúltimo. 
 3, 9, 17, 27,……., 699 
 
A) 559 B) 597 C) 647 
D) 649 E) 585 
 
RESOLUCIÓN 
 tn =      2
11
2
21
1 r.
nn
r.nt

 
 En el problema 
 
    2
2
23
613699
2
.
nn
.ntn

 
 2700 n 3n n 25    
 
 
 
23
22.21
t 3 22.6 .2 597
2
    
RPTA.:B 
403. ¿Cuántos números de la forma: 
        a a 1 b b 2 c c /2 d  
existen? 
 
A) 960 B) 2160 C) 3200 
D) 3600 E) 2400 
 
RESOLUCIÓN 
       d/ccbbaaN 221  
 1 2 0 0 
 2 3 2 1 
 3 4 4 2 
 . . 6 . 
. . 8 . 
. . . 
. . . 
7 . . 
8 9 9 
C#s= 8 x 8 x 5 x 10 =3200 
 
 d= 0; 1; 4; 9; 16;…..;
2
8 ; 
2
9 
RPTA.: C 
 
404. En que sistema de numeración 
existen 136 números de las formas:
   Kbbaa  
 
A) 16 B) 17 C) 18 
D) 19 E) 20 
 
RESOLUCIÓN 
 a+b= k-1 (máximo) 
 a=1; b=0; 1; 2; 3…;k-2 k-1 
 a=2; b=0; 1; 2; .…;k-3 k-2 
a=3; b=0; 1; 2; .…;k-4 k-3 
 . . 
 . . 
 . . 
 a=k-2; b=0,12 
 a=k-1; b=0 1 
 
  #s = 
   k 1 k
136
2

 
  k 1 k 8 17 2    
 k=17 
RPTA.: B 
 
405. ¿Cuántos números de tres cifras 
existen, que tengan por lo menos 
una cifra par y por lo menos una 
cifra impar? 
 
A) 500 B) 625 C) 675 
D) 635 E) 600 
 
RESOLUCIÓN 
 Sabemos: 
 cba 
 
 9x10x10=900 números de 3 cifras 
 
Para hallar los números de3 cifras 
que tengan al menos 1 cifra impar 
y 1 cifra par, al total de números 
de 3 cifras se le debe restar los 
números de 3 cifras pares e 
impares luego: 
 
# de 3 cifras pares 
 a b c 
 2 0 0 
 4 2 2 
 6 4 4 
 8 6 6 
 8 8 
 4 x 5 x 5 = 100#s 
 
# de 3 cifras impares 
 a b c 
 1 1 1 
 3 3 3 
 5 5 7 
 7 7 5 
 9 9 9 
 5 x 5 x 5 = 125 #s 
 
 Entonces: 900-(100+125)675 #s 
RPTA.: C 
 
406. ¿Cuántos números capicúas existe 
entre 800 y 80000? 
 
A) 900 B) 800 C) 700 
D) 750 E) 810 
 
RESOLUCIÓN 
 800 < ”capicúas”< 80000 
 Capicúas 
 
 
 
 aba ; abba ; 
 8 0 1 0 
 9 1 2 1 
 2 3 2 
 . . . 
 . . . 
 . . . 
 9 9 9 
 2x10 = 20 9x10=90 
 a b cba 
 1 0 0 
 2 1 1 
 1 2 2 
 . . . 
 . . . 
 . . . 
 7 9 9 
 7x10x10=700 
 C#s Capicúas= 20+90+700=810 
RPTA.: B 
 
 
407. ¿Cuántos números de 10 cifras hay 
en base 16 tal que el producto de 
sus cifras sea 30? 
 
A) 990 B) 800 C) 720 
D) 500 E) 600 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 Casos: I II 
 Producto de =30= 2x3x5 = 5x6 
 cifras 
 III IV 
 =15 x 2 =10 x 3 
Caso I : 10x9x8 = 720#s 
 Caso II : 10x9 = 90#s 
Caso III : 10x9 = 90#s 
Caso IV : 10x9 = 90#s 
 Total = 990#s 
RPTA.: A 
 
408. ¿En que sistema de numeración hay 
66 números capicúas de 5 cifras, 
que exactamente tenga 2 veces la 
cifra 2 en su escritura? 
 
A) 5 B) 6 C) 7 
D) 8 E) 9 
 
RESOLUCIÓN 
 Nro capicúa: abcba 
 Tenga 2 cifras “2” 
 En su escritura: 
  x2 b c b 2  xa 2 c 2 a 
0 0 1 0 
1 1 3 1 
 3 3 . 3 
 . . . . 
 . . . . 
 . . . . 
 
 
 
 1
1
1
1




x
x
x
x
 
 
 
 
 1
1
2
1




x
x
x
x
 
 
      
2
x 1 x 2 x 1 66     
  x 1 x 1 x 2 66 6 11         
    x 1 2x 3 7 1 2 7 3            
 x 7 
RPTA.: C 
 
409. Se escriben en forma consecutiva 
los números enteros positivo uno a 
continuación del otro hasta emplear 
2226 cifras. ¿Cuál es la cifra que 
ocupa el último lugar? 
 
A) 5 B) 6 C) 7 
D) 8 E) 9 
 
RESOLUCIÓN 
 2226 cifras 
 
1,2,…9; 10,11,….99,100,……U 
 
 9 #s 90 #s 
 
Cifras: 9x1 90x2 2037 cifras 
 
 2037 3 
 679 # s de 3 cifras 
 
   679 U 100 1 U 778     
 Última cifra =8 
RPTA.: D 
 
410. Un libro se empieza a enumerar 
desde una primera página y se 
observa que 58 números comienzan 
 
 
con la cifra 7. ¿Cuántos números 
escritos terminan con la cifra 7? 
 
A) 76 B) 67 C) 70 
D) 74 E) 73 
 
RESOLUCIÓN 
La numeración de las páginas que 
comienzan con la cifra 7 será: 
1,2,3,….,7,…..,70,71,…,78,79…, 
 
1#s 10#s 
 
700,701,702,..,746 
 
 47#s 
 
 El libro tiene 746 páginas 
 La secuencia de las páginas que 
terminan con la cifra 7 será: 
 
7,17,27,37,47,…….,717,727,737 
 
Total de números que terminan en 
la cifra 7: 
 Total=
737 7
1 74
10

  
 Total= 74 números 
RPTA.: D 
 
 
411. Se han arrancado las 50 últimas 
hojas de un libro, notándose que el 
número de tipos de imprenta que se 
han utilizado en su numeración, ha 
disminuido en 361. ¿Cuántos tipos 
de imprenta se han utilizado en la 
numeración de las hojas que 
quedaron. 
 
 
A) 2 661 B) 2 771 C) 2 769 
D) 2 772 E) 2 774 
 
RESOLUCIÓN 
 En total de páginas =100 
Si las 100 páginas arrancadas 
fueran todas de 4 cifras, faltarían 
en total 400 tipos de imprenta, 
pero sólo faltan 361, esto indica 
que algunas páginas son de 3 
cifras. 
 
Si cada página de 4 cifras 
reemplazamos por una de 3 
cifras, la cantidad de tipos 
disminuye en 1. 
 
Cantidad de páginas de 3 cifras = 
400 -361 =39 
 
La última página de 3 cifras es la 
999 
La última página de 3 cifras que 
quedaron es =999-39=960 
Cantidad de tipos=3(960+1)-
111=2 772 
 
Total de tipos = 2 772 
 RPTA.: D 
 
 
412. Si de los números del 1 a 1000, 
no se marca ni un solo número 
que contenga la cifra 4 ó la cifra 7 
¿Cuántos números se marcan? 
 
A) 506 B) 510 C) 511 
D) 512 E) 515 
 
RESOLUCIÓN 
 Sin 4 ó 7 del 1 al 1000, por 
análisis combinatorio tenemos: 
 
 * De 1 cifra:(1,2,3,5,6,8,9)=7#s 
 
 * De 2 cifras: ba 
 
 7 x 8 = 56 #s 
 
 * De 3 cifras: cba 
 
 7 x8x 8=448 #s 
 
 * De 4 cifras: (1000) 1# 
 
Luego : 7 +56 +448+1 =512#s 
 
RPTA.: D 
 
413. Un libro tiene entre 100 y 1500 
páginas, si en las 40 últimas 
páginas utiliza 155 cifras ¿Cuántas 
 
 
cifras tendría si se enumerara en 
el sistema octal? 
 
A) 3555 B) 4005 C) 3750 
D) 4125 E) 4325 
 
RESOLUCIÓN 
 x números de 3 cifras 
x+y=40 x=5 
 
y números de 4 cifras 
3x+4y=155 y= 35 
 Última página =1034 = 82012 
 # cifras =   884 2013 1111 3555  
 RPTA.: A 
 
 
414. Sea la P.A.: 
 
  4a6;.....;68b;6c b 2 ;70d 
 
 donde el término del trigésimo 
lugar de la P.A. es b68 . 
 Halle (a + b + c + d). 
 
A) 26 B) 24 C) 30 
D) 25 E) 13 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
  4ab;.......;68b;6c b a ;70d 
 r=8; c=9 
 
  30t 68b 4a6 29. 8   
 680 406 10a 232   
 42 b 10.a d 4    
 
8 5 
 
 a+b+c+d+=26 
RPTA.: A 
 
 
415. Halle la diferencia de las bases de 
2 sistemas de numeración; si uno 
tiene 56 números capicúas de 3 
cifras más que el otro, y que la 
suma de dichas bases es 15. 
 
A) 5 B) 4 C) 3 
D) 6 E) 7 
 
 
RESOLUCIÓN 
  waba 
 Nros capicúas: 
  zxyx 
 Además: w+z=15 
 
 
 
Método combinatorio: 
 
 aba (w)1 0 
 2 1 
 3 2 
 . 3 
 . . 
 . . 
 . . 
 
 
 
 
w
w
.w
w 1
1
1 


 
 
  zx y x 
 1 0 
 2 1 
 3 2 
 . 
 . . 
 . . 
 . . 
 
 
 
 
z
z
.z
z 1
1
1 


 
 
Por dato: 
 
    5622  zzww 
    5622  wzzw 
   561  zwzw 
 
 14 
 
 
 4
14
56
 zw 
RPTA.: B 
 
416. Una persona empieza a numerar las 
páginas de un libro desde el 
número 4000, se detiene en el 
número que representa la cantidad 
de cifras utilizadas. Dar la suma de 
las cifras del último número. 
 
A) 12 B) 13 C) 11 
D) 14 E) 15 
 
RESOLUCIÓN 
 Sucesión será: 
 4000;4001;4002………….…;N 
 
 
 
 “N” tipos de imprenta 
 
 Planteando el enunciado: 
 (Cantidad de números) x 4 =N 
   NN 39994 
 3N= 4x 3999 
 N= 4(1333) =5332 
 N=5332 
 
Suma de cifras: 5+3+3+2=13 
 RPTA.: B 
 
417. Al enumerar las páginas de un libro 
en base siete se emplean 996 
cifras. Indicar la suma de las cifras 
del numeral correspondiente a la 
última página. 
 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 8 
 
RESOLUCIÓN 
1;2;...6; 710 ;…; 766 ; 
 
6 números 760 números 
 
7100 … 7666 71000 ..  7abcd 
 
7600 números x números 
 
 
6cifras+ 42x2 cifras +294x3 cifras 
+x.4 =996 
 
4x=996-972 
4x=24 
 x=6 números 
 
    7 7abcd 1005 
 1 + 0+ 0+ 5=6 
RPTA.: C 
 
SEMANA 5 
ADICIÓN - SUSTRACCIÓN 
 
418. Si : 
 
 a0ca 8abc b7c8 ccab 24022    
 Halle:  2a b c 
 
A) 270 B) 256 C) 320 
D) 245 E) 325 
 
RESOLUCIÓN 
 Si: 
 
a ca abc b c ccab   0 0 0 
24022 - 8000 -708=15314. 
 
Entonces: a + b + c =14 
(único valor que cumple) 
 
* 1+(a+ b+ c)+c =.........1 
 15 + c=..........1 c = 6 
* 2 + a + c = ...........3 
 8 + a = ...........3  a = 5 
* 1+ a + b + c = 15 
 1 + 5 + b +6 = 15  b=3 
 
 2 2a b c 5 3 6 270      
RPTA.: A 
 
419. Halle :  ;cba  si n + x =16 y 
 x1x x2x x3x ... x n 1 x abc4     
 
A) 13 B) 14 C) 15 
D) 16 E) 19 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 n + x = 16 ; (n  1) . x = ... 4 
n = 10 
x = 6 
SEMANA 6 
MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN 
 
420. Si al multiplicando y multiplicador 
se le disminuye en 2 y 4 
respectivamente, el producto 
disminuye en 198. Halle la suma 
de los factores de dicha 
multiplicación si su diferencia es 
8. 
 
A) 63 B) 65 C) 67 
D) 66 E) 69 
 
RESOLUCIÓN 
 M x m = P 
 
 
(M-2)(m-4) =P-198 
M m -4M-2m+8= P-198 
206 =4M + m x 2 
 
 103=2M + m 
 8= M-m 
111 = 3M; M = 37 
m = 29 
M + m = 66 
RPTA.: D 
 
421. Si 7 7 7abcd 2222 ...3125  
 
Halle el número de divisiones de 
dividendo 
d
ca
b
 
 
 
 y residuo ab 
 
A) 1 B) 2 C) 4 
D) 5 E) 6 
 
RESOLUCIÓN 
7 7 7abcd .2222 ...3125 
 
Multiplicando por 3. 
7 7 7abcd .2222 ...3125 ; 
 
Expresando: 
   7 7
6666 10000 1  
 
 
 7 7 7 7 7abcd 10000 1 abcd0000 abcd ...2411   
 entonces a=4 b=2 c=5 d=6 
 luego 
 
 
 
 354 = divisor. cociente + 42 
 312= divisor. Cociente 
 además divisor >42 
 divisor =52,104,78,156,312 
 hay 5 divisiones (tabla de 
divisores) 
RPTA.: D 
 
422. Calcular la cantidad total de 
números enteros los cuales al ser 
divididos entre 31, producen un 
resto triple que el cociente 
corresponde. 
 
A) 13 B) 4 C) 10 
D) 11 E) 12 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
Sea “N” uno de dichos números: 
N= 31q + 3q 
N= 34q 
 Además, sabemos: resto < divisor 
 q 3 31 
  q 31 /3 q 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10   
 Cantidad de valores =10 
RPTA.: C 
 
423. Si multiplicamos al número 
abc por n0n (0 = cero) 
observamos que el producto 
total es **435 (cada asterisco 
representa una cifra). Dar 
como respuesta a + b + c; si 
además; a<9. 
 
A) 17 B) 16 C) 15 
D) 14 E) 13 
 
+ + 
d
ca
b
 
 
 
Divisor 
Cociente ab
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 n = 5 
 c = 7 
 b = 8 
 a = 1 
 
 
 
a + b + c = 16 
 
RPTA.: B 
 
 
424. Si en una división, el residuo por 
exceso, residuo por defecto, 
divisor y cociente son números 
pares consecutivos. ¿Cuál es el 
valor del dividendo? 
 
A) 25 B) 52 C) 48 
D) 60 E) 56 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 Al ser pares consecutivos, 
entonces cada uno es igual al 
anterior incrementado en 2 
unidades. 
 ER N ; DR N :  2 d N  4 N; 
q N  6 
 
Sabemos que: 
 E DR R d  
   N 2 N N 4     N=2 
 
ER  2 ; DR  4; d  6 ; q=8 
 
 D = 6  8 + 4 = 52 
RPTA.: B 
 
425. Si: 
abc x 47 ...576 y  CA aa x 
   CA ab CA xyzw . Calcule lo 
que le falta a xyz para que sea un 
número cuadrado (el menor 
posible). 
 
A) 36 B) 134 C) 34 
D) 68 E) 45 
 
RESOLUCIÓN 
  
 
 
 
 
 
 
 
o
c c    7 10 6 8 
 
o
b b     7 5 10 5 0 
 
o
a a    7 10 2 6 
 
      CA aa CA ab CA xyzw  
      CA CA CA xyzw 66 60 
  CA xyzw 34 40 
  CA xyzw1360 
 
 x x   1 9 8 
 x y   3 9 6 
 z z   6 10 4 
   0 
 
 xyz  864 
Falta = 900-864 = 36 
RPTA.: A 
 
426. Calcule el producto total de la 
siguiente multiplicación: 
     66 321  aaaa 
Si la diferencia de sus productos 
parciales es 29. 
 
A) 
 6
1033 B) 
 6
1003 C)
 6
2002 
D) 
 6
2003 E) 
 6
2100 
 
abc
non
.
. .
935
935
435
abc
47
...256
...32
...576
 
 
RESOLUCIÓN 
    
 
x
a a 
6
2 3 a < 3 
  
 
a a 
6
1 
 Productos parciales: 
  
 
   
 6 6
a 1 a 2 a 3    
 
      6 6a a 2 a 3  
 
    
   66
a 2 a 3 29 45    
 
 a  2 
 Reemplazando: 
  645  
  623 
  6223 
  6134 
 2003(6) 
 
 Producto: 2003(6) 
 RPTA.: D 
 
 
 
427. Si: 
1245124512....(n)        nn 1 n 1 ... n 1   
 38 cifras 
 
 n...abcde5 
 
Calcule el producto de cifras del 
numeral  nabcn 1 expresado en 
base 12. 
 
A) 72 B) 148 C) 321 
D) 254 E) 392 
 
 
RESOLUCIÓN 
Como tiene 38 cifras termina en 
12. 
...124512(n)      n... n 1 n 1  
=  n...abcde5 ; n 5 
 
º
2 n 1 n 5    
 2n2 = n+5 
 n = 7 
 
 Reemplazando: 
 
 ...124512(7)  
 ......6666(7) 
 ...120305(7) 
 ...120305(7) 
 ...120305 
 ...120305 
 ...120305 
 ...120305 
 ...............542155 
 
   
   
 
7 7
8 8
12
abcde5 542155
abcn 5427 2839
2839 1787
1 7 8 7 392

 

   
 
 RPTA.: E 
 
 
 
 
428. Se obtienen 4 residuos máximos 
al dividir abcde por 43. Halle: 
(a+b+c+d+e) 
 
A) 51 B) 45 C) 40 
D) 39 E) 42 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
  ab r ;r  43 42 1 
 
 a=8 
 ab  85 
 b=5 
 42c 43(p) 42;p 9   
abcde 43
rpqz
- -
c42
- - -
d42
- - -
- - 
e42
42
 
 
 42c 429 c 9   
  42d 43 q 42, q 9    
 42d 429 d 9   
  42e 43 z 42 z 9    
 42e 429; e 9   
 a + b + c + d + e =40 
RPTA.: C 
 
429. Es una división el residuo por 
exceso es 
3
1
 del divisor. El menor 
número que se debe sumar al 
dividendo para aumentar en 2 al 
cociente es 52. Al triplicar al 
dividendo, el cociente aumenta 
en 36. Halle la suma de las cifras 
del dividendo. 
 
A) 15 B) 17 C) 20 
D) 23 E) 24 
 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
er d r d  
1 2
3 3
 
Luego: 
 
 
 D dq d  
2
3
 
 
 
* 
  D d q   52 2 
 
 dq52 d dq 
2
3
d 2 
 d d r    
4
52 39 26
3
 
 
* 
 
 
 
 
 3q 2 q 36   
 q = 17 
 D= 39 x 17 + 26 = 689 
 
  cifras de D = 23 (6 + 8 + 9) 
 
 
RPTA.: D 
 
 
 
430. En una división inexacta por 
defecto, el divisor y el residuo son 
34 y 14 respectivamente, si al 
divisor se le agrega 5 unidades 
entonces el cociente disminuye en 
2 unidades. Halle el nuevo residuo 
sabiendo que es el menor posible. 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34q + 14 = 39q – 78 + r 
 92 =5q + r 
 q=18  r=2; Residuo = 2 
RPTA.:B 
 
431. En una división entera inexacta la 
suma de los 4 términos es 744, el 
mínimo valor que se debe quitar 
al dividendo para que el cociente 
disminuye en 1 es 49, y el 
máximo valor que se debe 
agregar al dividendo para el 
D d
qd
2
3
D + 52 d
q +20
3D 39
3q +23x26
0
D 34
q14
D q  34 14
D 39
q-2r
D (q ) r   39 2
 
 
cociente aumente en 1 es 67. 
Halle el dividendo. 
 
A) 608 B) 622 C) 618 
D) 628 E) 632 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 116 = 2d  d = 58 
 En (1) 
 58q + r + 58 + q + r = 744 
 59q + 2r = 686 
 
 
10 48 
 D=58 x 10 +48 = 628 
RPTA.: D 
 
432. Sea “N” un número que tiene 
entre 49 y 57 cifras que 
multiplicando por 91 se obtiene un 
número formado por un 1, un 3, 
etc. Halle la suma de cifras de 
dicho número 
 
A) 168 B) 156 C) 96 
D) 108 E) 86 
 
RESOLUCIÓN 
 N.91 = 1313… 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Luego deben ser: 4 +6 .8 =52 
cifras. 
  cifras = 9x12 =108 
RPTA.: D 
 
433. Halle la suma de cifras del menor 
número que multiplicando con 14 
de un número formado por puras 
cifras 3 y en las unidades un 0. 
 
A) 17 B) 19 C) 26 
D) 27 E) 31 
 
RESOLUCIÓN 
 N. 14 =33…30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RPTA.: D 
 
434. Se tiene 943 número 
consecutivos, si se divide el 
menor de ellos entre 78 se 
obtiene 29 de residuo ¿que 
residuo se obtiene al dividir el 
mayor entre este divisor? 
 
A) 49 B) 25 C) 38 
D) 29 E) 35 
 
RESOLUCIÓN 
943 números consecutivos: n+1, 
n+2…, n+943 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D d
qr
D d q r ...(I)     744
D - 49 d
q-1d -1
D d(q ) (d )    49 1 1
D+67 d
q+1d -1
D d(q ) (d )    67 1 1
131313...
91
403
364
391
364
273
273
- - -
91
N=1443 001443...001443
4 cifs 6 cifs 6 cifs
28
53
42
113
112
133
126
70
14
N=238095
 Cifras =27
70
- - 
333…….
n+1 78
k29
n k ...   1 78 29 1
n+943 78
hR
n 943 78h R...    2
942 78
126
...   942 78 12 6 3
 
 
 +  n k    943 78 12 35 
Comparando 
 y ; h=k+12 R =35 
 
RPTA.: E 
 
435. Si se divide  nam 22  entre 
   2a 2 a 1  ; tanto por defecto 
como por exceso se obtiene; que 
la suma del residuo por defecto 
más el residuo por exceso y más 
el cociente por exceso es 34. Halle 
(m + n + a), si el residuo por 
defecto excede al residuo por 
exceso en 16. 
 
A) 16 B) 8 C) 10 
D) 12 E) 20 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
a = 3 
divisor:    a a d  22 1 = 18 
Dato: 
 d er r q   1 34 
 d 
18 +q +1 =34; q=15 
d er r  18 
d er r  16 
dr =17 
er =1 
 
  m n  8 18 15 17 
 m n 8 287 m = 2 
 n = 7 
 
 m + n + a =12 
RPTA.: D 
 
436. Al dividir un número de tres cifras 
diferentes entre su complemento 
aritmético se obtuvo cociente 3 y 
como residuo la última cifra de 
dicho complemento aritmético. 
Determine la suma de cifras del 
numeral primitivo. 
 
A) 13 B) 14 C) 15 
D) 16 E) 17 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
  abc CA abc c    3 10 
 abc abc c    
 
3 1000 10 
 abc c   4 3000 10 
 
o
c c  4 10 
 
o
c 5 10 
 
 
 
 
 0 
 2 cumple sólo para 
 c = 4 c = 2 
 6 
 8 
 
 abc  
 4 
 3008 
 c = 2; b = 5; a = 7 
 
 a+b+c+=14 
RPTA.:B 
 
437. En una división el dividendo es 
par, el divisor es    n n 2 1 2 , el 
cociente es    a a1 3 y el 
residuo    b b 3 4 9 . Calcule la 
suma de los términos de la 
división si se realiza por exceso. 
 
A) 2 870 B) 2 900 C) 3 000 
D) 3 037 E) 3 039 
 
1 3 4
2 4
abc
3r ( c) 10
 CA abc
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 a a ,  3 10 3 3 
 a a ;   1 4 2 3 
 b  2 
 
 Por algoritmo de la división 
        N n n a a     2 2 1 2 1 3 87 
 Par impar impar 
 
 a = 3 
 
 residuo < divisor 
      n n ...   87 2 1 2 
 n n , .   2 1 10 5 5 
 
 Impar 
 n= 1; 3;5 
 en  : sólo cumple si n=5 
 divisor =97 cociente =29 
 residuo=87 dividendo =2900 
 er  10 eq  30 
 Piden: 97+30+10+2900 
 Piden: 3037 
 RPTA.: D 
 
438. Calcular la cantidad total de 
números enteros los cuales al ser 
divididos entre 31, producen un 
resto triple que el cociente 
correspondiente. 
 
A) 13 B) 4 C) 10 
D) 11 E) 12 
 
RESOLUCIÓN 
 Sea “N” uno de dichos números: 
N = 31 q + 3 q 
N = 34 q 
 
 
Además, sabemos: 
resto < divisor  3q < 31 
q < 31/3 
 q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
Cantidad de valores: 10 
RPTA.: C 
 
439. En una división le faltan 15 
unidades al residuo para ser 
máximo y sería mínimo al restarle 
18 unidades. Determinar el 
dividendo, si el cociente es el 
doble del residuo por exceso. 
 
A) 1139 B) 1123 C) 1107 
D) 1193 E) 1137 
 
RESOLUCIÓN 
 D = d . q + R 
RMÍNIMO = R  18 = 1  R= 19 
RMÁXIMO = R + 15 = d  1  d = 35 
 
Además: 
RD + RE = d 
19 + RE = 35  RE = 16 
q = 2RE  q = 32 
D = 35  32 + 19 
D = 1139 
RPTA.: A 
 
440. Sabiendo: 
 
nE A B ;  7 E tiene (9n+1) cifras 
como mínimo y que “A” y “B” 
tiene 8 y 5 cifras respectivamente. 
Halle “n”. 
 
A) 12 B) 14 C) 8 
D) 10 E) 16 
 
RESOLUCIÓN 
A 7 810 10 B 4 510 10 
n n nA 7 810 10 B 28 7 3510 10 
 
n n nA B   7 28 7 3 3510 10
 
 
 
Cifras mínimas: 
  n  7 28 1 n 9 1 
n = 14 
RPTA.: B 
 
N2
   r b b 3 4 9
   n n 2 1 2
   a a 1 3
 
 
441. Si , nM ,M ,M ......,M1 2 3 son números 
de 1,3,5,………., 45 cifras 
respectivamente ¿Cuántas cifras 
puede tener como mínimo el 
producto de dichos números? 
 
A) 529 B) 526 C) 527 
D) 507 E) 506 
 
 
RESOLUCIÓN 
 Observamos que la cantidad de 
cifras de los numerales 
respectivos forman una serie 
aritmética de razón 2, entonces: 
 
 45 1
#detérminos 23 ; n 23
2
 
   
 
 La cantidad de cifras de: 
M1, M2, M3 
 
 Máx. = 1 + 3 + 5 + ... + 45 = 
(1 + 45)
23
529
2
 
Min.= 529  23 + 1 = 507 
 
RPTA.: D 
 
442. Si: 
A.B
E
C

2
2
 Tiene x6 cifras 
enteras; además: “A” tiene x8 
cifras; “B” tiene x4cifras y “C” 
tiene x0cifras. Halle “x” 
 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 8 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Por dato: E tiene “ x6 ” cifras 
 x x x   10 14 6 10 18 
 
 x  5 
RPTA.: B 
 
443. Halle el valor de “n” si E tiene 15 
cifras, A tiene 18 cifras y B tiene 
13 cifras, siendo: nE A B 2 3 
 
A) 4 B) 5 C) 7 
D) 12 E) 15 
 
RESOLUCIÓN 
 En = A² . B³ 
 
# cifras de En = 
Min = 15n  n + 1 
 Máx = 15n 
 
# cifras de A² . B³ = 
Min= 2(18) +3(13)5+1 
Máx= 2(18) + 3(13) 
 
 36 + 39 = 15n 
 n = 5 
 
RPTA.: B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
* x (n-1) 4   x=6 
 6 9 n=10 
 
 a + b + c = 14 
RPTA.:B 
 
444. Halle en base 10 el valor de “S” si 
sus 15 términos forman una 
progresión aritmética: 
 
S = 12(n) + 21(n) + 30(n) + ... + 210(n) 
 
A.B
E
C

2
2
Max x .x 8 2 4
Min x .x   8 2 4 3 1
Max .x 2 0
Min .x  2 0 2 1
E
 Min x .x x x     8 2 4 2 2 0 10 14

   Max x x x x        8 2 4 2 0 1 1 10 18
 
 
A) 637 B) 625 C) 5481 
D) 675 E) 645 
 
RESOLUCIÓN 
 
     (n)n n n
S 12 ...    21 30 210
 
Razón: 
   n n
n  21 12 1 
 
Último término: 
     n n12 14 n 1 210   
 
Resolviendo: 
n n n    2 7 6 0 6 
 
       6 6 6 6
S 12 21 30 ... 210    
 
S= 8 + 13 + 18 + … + 78 
 
x
S  
15 86
645
2
 
RPTA.:E 
 
 
 
445. Halle la suma de todos los 
números de la forma: 
   a a/2 b 2b 
 
A) 84440 B) 84480 C) 84840 
D) 104480 E) 105480 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 columna =   80486420  
2 columna =  0 1 2 3 4 4 40      
3 columna =   5054321  
4 columna =  2 4 6 8 5 100     
 
RPTA.:E 
 
 
 
 
 
446. Si: ....................106104102 nS 
 
“n” sumandos 
 
 
Halle la siguiente suma: 
 
 1 2 3 4 49S S S S S ......... S      
 
 
A) 26 615 B)16 415 
C) 161 450 D) 164 150 
E) 146 150 
 
 
RESOLUCIÓN 
 1S 102 
2S 102 104  
3S 102 104 106   
 . . . . ……….. 
. . . . ……….. 
. . . . ……….. 
. . . . ……….. 
 . . . . ……….. 
 . . . . ……….. 
 . . . . ……….. 
49S 102 104 106    ……+198 
 
S = 49(102)+48(104)+47(106)+...1(198) 
S = 2[49(51) + 48(52)+47(53)+...1(99)] 
S = 2[49(10049)+48(10048)+... 
+47(10047)+...+1(1001)] 
S = 2[100(49+48+47+....+1).... 
(49²+48²+47²+...+1²] 
     49 49 1 49 49 1 2 49 1
S 2 100
2 6
164150
    
   
 

 
S = 164150 
:20#s
S=
5 4
a
2
8
105 4 8
8
4
6
1
2
3
4
0
1
2
3
4
0
2
4
6
8
a 
 
 2
b (2b)N=
0
 
 
RPTA.: D 
 
 
 
447. Efectuar: 
 
S = 6 + 66 + 666 + 6666 + ....+ 66...66 
 
“n” cifras 
 
A) 
n 110 9n
9
 
 
B) 
n 110 9n 10
27
  
 
C) 
n10 9n 10
27
 
 
D) 
n 110 9n 10
2
27
  
 
 
 
E) 
n10 9n 10
2
27
  
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
Factorizando el 6: 
 
S = 6 (1+11+111+1111+... 
+ 11111 ....... 1111 
 
 “n” cifras 
 
Multiplicando por : 9: 
9 S = 6 (9+ 99+999+9999 + ... 
+ 99999 ....... 9999 
 
“n” cifras 
       1 2 3 n
3S
10 1 10 1 10 1 ....... 10 1
2
        
 
 1 n10 10 13S
n( 1)
2 (10 1)

  

 
 n 12 10 9n 10
S
27
  
 
RPTA.: D 
 
448. Halle:  ba  si: 
 
     C.A. 1ab C.A 2ab C.A. 3ab ...   
 C.A. 9ab 41ab  
 
A) 1 B) 6 C) 8 
D) 10 E) 4 
 
RESOLUCIÓN 
     CA 1ab CA 2ab ... CA 9ab 41ab   
     3 3 310 1ab 10 2ab ... 10 9ab 41ab      
 39 10 1ab 2ab ... 9ab 4100 ab      
3 1ab 9ab9 10 9 4100 ab
2

     
 9000 500 ab 9 4100 ab     
400 10 ab ab 40    
 
a + b = 4 
RPTA.: E 
 
449. Calcule: k m n si se cumple 
que: 
 
 
 1313
k m k
CA mn 2n
5 3 8
      
      
       
 
A) 27 B) 13 C) 53 
D) 4 E) 25 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 13 13
k m k
CA mn 2n
5 3 8
      
      
       
 
 
 Método Práctico: 
m
12 m m 9
3
    
  12 n 2n n 4    
 
k k
k   13 40
5 8
 
k m n 40 9 4 4      
RPTA.: D 
 
450. Si: 
m m m m mabc cba xyz ,xyz zyx  
 mdefg yd e f g ;     16 
 
 
 
Halle el valor de m. 
 
A) 5 B) 6 C) 7 
D) 8 E) 9 
 
RESOLUCIÓN 
 m m mabc cba xyz  
x z m   1 
 y= m – 1 
 
 
 
 
m
m
m
x yz
z y x
de f g

 
 
 z+x=m-1=g 
 2y = 2m-2=  
m
m 1 2 
 f m  2 
    m m1 x z m 10 de     
 D = 1 ; e = 0 
 Luego: 
 d + e + f + g =16 (por dato) 
1 + 0 +m – 2 + m – 1 =16 
 
2m=18 m  9 
RPTA.: E 
 
451. Calcule el complemento aritmético 
del número 
n nM    1 19 10 10 
Dar como respuesta la suma de 
sus cifras. 
 
A) 10n+2 B) 15 C) 18 
D) 9n-1 E) 10n-9 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 
n nM    1 19 10 10 
 
 Se puede expresar: 
 
n nM     2 1 19 10 10 10 
 
 Factor común: 
 n 1 n 1M 10 900 1 901 10       
C.A 901000...000 99000...000  
 
 
 
(n+2)cifs. ( n+1)cifs. 
 
 Suma de cifras: 9+9 =18 
RPTA.: C 
 
452. Si N y M son números de 200 y 
150 cifras respectivamente, y 
 CA N M CA(N).  
Halle la suma de cifras del 
complemento aritmético de M. 
 
A) 151 B) 1 C) 50 
D) 9 E) 450 
 
RESOLUCIÓN 
  C.A. N-M C.A.(N) 
  k n10 N M 10 N    
  n K KM 10 10 10 99...9   
 
kCA(M) 10 .1 100...0  
 
 
  Cifras = 1 
RPTA.: B 
 
453. ¿Cuál es el mayor sistema de 
numeración en el cual se puede 
escribir con tres cifras un número 
entero que en el sistema decimal 
tiene por complemento aritmético 
a otro numeral de 3 cifras iguales? 
 
A) 26 B) 29 C) 20 
D) 19 E) 22 
 
RESOLUCIÓN 
 Sea “n” el valor máximo de la 
base, que representa al número 
dado como:    nabc N 10 
 Además:   10CA N XXX 
 Cómo 
 10
N debe ser máximo, por 
lo tanto su CA deberá ser el más 
pequeño posible, luego x=1 
 
 
 Luego: 
  10CA N 111;N 889  
 Entonces: 
 
2
nabc 889 n 889; n 29,7   
Luego el mayor valor de la base 
será: n = 29 
RPTA.: B 
 
454. Si: 
 21ab 24ab 27ab .... 69ab    
 es xyz63 
Calcule: (a+b+x+y+z) 
 
A) 28 B) 27 C) 24 
D) 26 E) 32 
 
RESOLUCIÓN 
 21ab 24ab 27ab .... 69ab    
 es xyz63 
 
 .... ab     2100 2400 2700 6900 17
 
 17#s. 
 
9000
2
17 17 ab xyz63
 
   
 
 
 
Observando: (otras cifras son 
ceros) 
 ab  
 17*7 b .3;b 9   ab  39 
 73 *7 a 6 .7;a 3    
 9 
 63 
 
 
 
 4500 17 17 39 xyz63    X=7 
  17 4539 77163 xyz63  Y=7 
 a b x y z 27     Z=1 
 
RPTA.: B 
 
455. ¿En que sistema de numeración 
“n” la suma de todos los números 
capicúas de 2 cifras es 330 en 
base “n”? 
 
A) 6 B) 4 C) 7 
D) 9 E) 8 
 
RESOLUCIÓN 
 Planteando el enunciado. 
 
            n n n nn11 22 33 ... n 1 n 1 330      
 1 n 1  2 n 1   3 n 1     ... n 1 n 1    3n n 1  
 
Simplificando tendremos: 
 1+2+3+4+….+(n-1)=3n 
 
Suma 
 de 
n
 n n
 
  
 
1 3
2
 
naturales 
 
n  1 = 6; n = 7 Heptanal 
 
RPTA.: C 
 
456. Halle la suma mínima de los 
siguientes números que se 
encuentran en P.A.: 
S =      ab;ac; a 1 3; a 1 c;....; a 7 c   
 De como respuesta la suma de 
cifras de S. 
 
A) 16 B) 18 C) 20 
D) 21 E) 22 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
     ab;ac; a ; a C... a c   1 3 1 7
 
 5 5 5 
 
 b=3 c=8 
 
mina 1 
 
 
13 88 88 13
S 1
2 5
  
   
 
 
 S 
101
2
 16  808 
 
  Cifras de S=16 
RPTA.: A 
 
457. Si: 
       8 8 8 8
aba ab ba ccdd   
 
 Halle el valor de (a+b+c+d). 
 
A) 15 B) 16 C) 17 
D) 18 E) 19 
 
RESOLUCIÓN 
 Ordenando: 
 
 
aba 
8
 
 
 
ab
8
 
 
 
ba
8
 
 
 
c cdd
8
 
 8
a b a 2d 16 d     
b=5 
 
 
 8
b a b 2 2d 16 d      
 d=3 
 
 
 8
a 2 CC 9C   
 
 c= 1 a=7 
a + b + c + d = 16 
RPTA.: D 
 
 
 
458. Halle la suma: 
 
         4 5 6 7 100
13 31 13 31 ... 13    
 
A) 2 895 B) 7 536 
C) 12 301 D) 10 321 
E) 10 231 
 
RESOLUCIÓN 
 
 Desdoblando en dos sumas: 
 
 
       
S ...    
1 4 6 8 100
13 13 13 13 
 S    
1
7 9 11 … +103 
 
2
103 7 103 7
S 1 2695
2 2
    
      
   
 
 
 
       
S ...    
2 5 7 9 99
31 31 31 31 
 S ...    
2
16 22 28 298 
 
1
298 16 298 16
S 1 7536
2 6
    
      
   
 
 
1 2S S S 2695 7536 10231     
RPTA.: E 
 
459. Halle: “ a+b+c” si: 
 
         9 9 9 9 9a1b a2b a3b ... a8b 48c2    
 
 A) 16 B) 17 C) 15 
D) 20 E) 18 
 
RESOLUCIÓN 
  a b 91 
 
 a b
.
.
.
92
 
  9a8b 
  948c2 
 
 Unidades: 
  
º
98 b x2 8.b 9 2 b 7       
 Decenas: 
 
8 9
6 42 4 9 6 c 6
2

       
 
 Centenas: 
 
 
 
 9
8 a 4 48
8 a 40 a 5
  
   
 
a + b + c = 18 
RPTA.: E 
 
460. Halle la diferencia de las cifras de 
un número de 2 cifras; tal que la 
suma del número con el que 
resulta de invertir sus cifras, sea 
igual a la suma de todos los 
números de 2 cifras hasta el 
inclusive. 
 
A) 0 B)4 C) 2 
D) 1 E) 3 
 
RESOLUCIÓN 
 Planteando el enunciado: 
 Nro. Inicial: ab 
 Nro. Invertido: ba 
 
 ab ba 10 11 12 13 ... ab       
 
    10 ab11 a b ab 9
2
 
    
 
 
 
      22 a b 10 ab ab 9    
 
 
 22=10+ab ab 12  
 3 = 12  9 
 Pide la diferencia b  a = 1 
RPTA.: D 
 
 
 
461. Halle la suma de los C.A. de todos 
los números que tienen tres cifras 
impares. 
 
A) 55 6615 B) 55635 
C) 45 625 D) 55 525 
E) 55 625 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 C. A. abc 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumando: 
Unidades:25  (9 + 7 + 5 + 3 + 1) = 625 
 
Decenas: 
25  (8 + 6 + 4 + 2 + 0) = 500 
 
Centenas: 
25  (8 + 6 + 4 + 2 + 0) = 500 
 55625 
 
RPTA.: E 
 
462. Se realiza una reunión de 
Peruanos y Bolivianos para tratar 
con respecto a la agricultura, son 
12 en total, los peruanos son más 
que los bolivianos, los peruanos 
llegan y se dan los buenos días 
mutuamente; los bolivianos lo 
mismo, pero los peruanos no 
saludan a los bolivianos y lo 
mismo los bolivianos, si en total 
se efectuaron 31 saludos ¿Cuál es 
la diferencia entre Peruanos y 
Bolivianos? 
 
A) 2 B) 3 C) 1 
D) 5 E) 4 
a b c
1 1 1
3 3 3
5 5 5
7 7 7
9 9 9
(9 a)(9 b)(10 c)
8 8 9
6 6 7
4 4 5
2 2 3
0 0 1
  
  
5  5  5 =125 Números 
 5  5  5 = 125 
Números 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
 P+B=12 
 Saludos Peruanos 
 1 P-1 
 2 P-2 
 . . 
P
P
 
 
 
1
2
 
 . . 
 . . 
 P-1 1 
 
 Saludos Bolivianos 
 1 B-1 
 2 B-2 
 3 B-3 
. . 
 . . 
 . . 
B-1 1 
 
 
P B
P B
    
    
   
1 1
31
2 2
 
 
2 2P P B B 62    
P² + B² (P + B) = 62 
P² + B² = 74 
 7² + 5² = 74 
 7  5 = 2 
RPTA.: A 
 
463. ¿Cuántos números de la forma 
abcde existe, tales que: 
a b c d e    y la suma de los 
cuadrados de las cifras de 
segundo y quinto orden es igual a 
la suma de los cuadrados de las 
demás cifras? 
(Las cifras a, b, c, y d forman una 
progresión aritmética). 
 
A) 1 B) 5 C) 6 
D) 9 E) 4 
 
RESOLUCIÓN 
 abcde;a b c d e    
 2 2 2 2 2a d b c e .    
     
2 2 22 2d 3r d d 2r d r e      
 
d=d 
c= d+r 
b=d+2r 
a=d+3r 
 
Resolviendo  e = 2 r 
r e  1 2 
a b c d e
6 5 4 3 2
7 6 5 4 2
8 7 6 5 2
9 8 7 6 2
    
 
Solo hay 4 números 
 
 
Si r e  2 4 
a b c d e
   
119 7 5 4
 
No hay números 
RPTA.: E 
464. Halle la suma de cifras de la suma 
de todos los números de la forma 
    
a 3 b 1
a 2 2b 5
2 3
    
    
   
 
 
A) 15 B) 14 C) 13 
D) 16 E) 17 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b = {1; 4} 
a = {3; 5; 7; 9; 11} 
 
Ordenado los productos parciales 
B
B
 
 
 
1
2
UM M C D
 a  2 b  
 
 
1
3
a  
 
 
3
2
5
U
( b)2
1
3
5
7
9
3
4
5
6
7
0
1
2
8
5
x5 (2) =10
 
 
 U  ( )
10
5
1
 = 5 0 + 
 
 D  ( )
10
10
2
 = 5 0 
 
 C  ( )
10
1
2
 = 5 
 
 M  ( )
10
25
5
 = 5 0 
 
 UM ( )
10
25
5
 = 50 
 S= 55 1 0 5 0 
 
 Cifras  16 
RPTA.: D 
 
SEMANA 7 
DIVISIBILIDAD I 
 
465. Si: 
A = 3k + 1 ; B = 3k + 2 
Halle el residuo que deja la 
expresión: 
E = [2A + 22B + 2³] entre 7 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 5 E) 4 
 
RESOLUCIÓN 
E = (2A + 22B + 8)  7 
E = (23k+1+26k+4+ 7 +1) 
E = (2³)k . 21 + (2³)2k  24 + 1 
E = (
º
7 +1)2 + (
º
7 +1)( 
º
7 +2)+1 
E = 2 + 2 + 1 + 
º
7 
E = 
º
7 + 5  residuo = 5 
RPTA.: D 
 
466. Una importadora ha comprado 
relojes a S/. 143 c/u, lapiceros a 
S/. 91 c/u; pulseras a S/. 77 c/u. 
Si la factura total fue S/. 2213. 
Halle el número de relojes. 
 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 8 
 
RESOLUCIÓN 
Planteando el enunciado: 
“a” # de relojes 
 
143  a + 91  b + 77 x c = 2 2 1 3 
 
 
 1 2 3 1 
 
 (1) +1 
 
 
* Módulo de 
º
7 : 
 [(
º
7 +3)a+
º
7 +
º
7 ] = 3 + 3 4 2  ¨ 
 3a + 
º
7 = 7 + 1 
 
7m 1
a
3

 
m = 2 ; a = 5 
 
RPTA.: B 
 
467. ¿Cuál es el residuo de dividir: 
666...666 (8) entre 13? 
 
 102 cifras 
 
A) 2 B) 8 C) 3 
D) 5 E) 9 
 
RESOLUCIÓN 
Calculando restos potenciales de 
base 8 respecto al módulo 13. 
 
Base 8: 80; 81; 8²; 8³; 84 
 1; 8; 12; 5; 1 
 1; 5; 1; 5; 1 
 
Cada 4 cifras se anula: 
102 4
2 25
 
 
6 6 6 ..... 6 6 6(8) 
   
 
 
 5 1 100 cifras = 0 
 
 
º
30 6 13 r    
 
º
13 + 2 = 
º
13 + r 
 r = 2 
RPTA.: A 
 
468. Si: 43a43 es la suma de 83 
números consecutivos, halle el 
valor de “a”. 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
Sean los 83 números 
consecutivos: n41; ...; n1; n; 
n+1,...;n+41 
Luego: 
n41 + ....+n+41=43a43 
83n = 43a43 
º
83 = 43043 + 100a 
º
83 = 49 + 17a + 
º
83 
º
83 = 17a  34 
a = 2 
RPTA.: B 
 
469. ¿Cuántos términos son múltiplos 
de 
º
25? 
2; 5; 10; 17; .......; 10001 
 
A) 12 B) 9 C) 8 
D) 5 E) 6 
 
RESOLUCIÓN 
Término n ésimo: 
an = n² + 1 ; n = 1,...., 100 
n² +1 = 
º
25 
n² + 1  50 = 
º
25 
(n + 7) (n  7) = 
º
25 
n + 7 = 
º
25  n = 18; 43; 68; 93 
n  7 = 
º
25  n = 7 ; 32 ; 57; 82 
# términos = 8 
 RPTA.: C 
 
470. Si al dividir por exceso: 
2304606902b31 con 
º
23 no deja 
residuo, halle el valor de b. 
 
A) 1 B) 2 C) 5 
D) 7 E) 8 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
Se tiene: 
º
2304606902b31 23 2b31  
 = 
º
23 + 2031 + 100b 
 = 
º
23 + 7 + 8b 
 
Como el residuo es “0” 
 7 + 8b = 
º
23 
 b = 2 
RPTA.: B 
 
471. Halle el residuo de dividir: 
unac2008
3abc3 por 10 
 
A) 1 B) 2 C) 5 
D) 6 E) 7 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
4kunac2008
k
3abc3 ...3
...1


 
 = ...1 
 = 
º
10 + 1 
RPTA.: A 
 
472. Halle el residuo de dividir: 
nm
2 4 6abba cde1 fgh3  por 2. 
 
A) 0 B) 1 C) 0.1 
D) FD E) N.A. 
 
RESOLUCIÓN 
E = 
nm
2 4 6abba cde1 fgh3  ; a = 1 , b=0 
= 
º º º
nm2 1 4 1 6 3
     
       
     
 
= 
º º º
2 1 2 1 2 3
     
       
     
 
= 
º
2 + 3 
E = 
º
2 +1 
RPTA.: B 
 
473. ¿Cuál es el residuo de dividir la 
siguiente suma: 
 E = [26n+3+9k.4k] entre 7? 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
RESOLUCIÓN 
E = 26n+3 + 9k.4k entre 7 
 E =  
2n
32 . 2³ + (7+2)k.4k 
 E = (
º
7+1)( 
º
7+1) + 2
k.4k 
 
 Ojo: 2k.4k = 8k=(
º
7+1) 
 E = (
º
7+1)+( 
º
7+1) = 7+2 
RPTA.: B 
 
474. Sea: 
n! = 
º
23 + 2; 
(n+1)! = 
º
23 + 6 
¿Cuál es el residuo de (n+3)! 
entre 23? 
 
A) 3 B) 6 C) 5 
D) 12 E) 13 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
RPTA.: Cç 
 
475. ¿Cuántos términos de la serie: 4; 
11; 22; 37; 56; ....(100 términos) 
son: (
º
13+1)? 
 
A) 14 B) 15 C) 9 
D) 8 E) 12 
 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
Sucesión de 2º orden: 
 
 
 
c = 1 4; 11; 22; 37; 56;... 
 
a+b = 3 7 11 15 19 
 
2a = 4 4 4 4 
  columna 
secundaria 
a = 2 ; b = 1 ; c = 1 
 
2n² + n + 1 = 
º
13 + 1 
 n(2n+1) = 
º
13 ; n = 
º
13k 
 
#s: {13; 26; 39; 52; 65; 78; 91} (7 nros) 
 
#s: {2n+1= 13; 6; 19; ...97} (8 nros) 
 
 Total de números 7 + 8 = 15 
RPTA.: B 
 
476. Halle “a” si (a+b) = 6, además: 
 5aabbaabb...ab1334 11 9  y el 
exponente tiene 88 cifras. 
 
A) 3 B) 4 C) 5 
D) 6 E) 2 
 
 
RESOLUCIÓN 
++ 
1334 = 
º
11+3; calculando restos 
potenciales. 
(
º
11+3)
5k+b =(
º
11+3)
5k(
º
11+3)
b=
º
11+9 
 =(
º
11+ 3
5k)( 
º
11+3
b) = 
º
11+9 
 =(
º
11+3
b) = 
º
11+9 
 b = 2 ; a = 5 
RPTA.: B 
 
 
 
 
477. Si el número  
ab1
135 se convierte 
en base 11. ¿Cuál será la cifra de 
unidades del resultado? 
 
A) 7 B) 3 C) F.D. 
D) 2 E) 1 
 
RESOLUCIÓN 
ab1
ab1
º º
º º
ab1
135 base 11
11 3 11 r
11 3 11 r

 
   
 
  
 
 
Restos potenciales de impotencia 
3 con respecto al módulo 11. 
 
30; 31; 3²; 3³; 34; 35 
1; 3; 9; 5; 4; 1 
 
º º
ab0 1
º ºk
5
11 3 3 11 r
11 3 3 11 r
   
    
 
º
11+(
º
11+1).3 = 
º
11+r 
º
11 + 3 = 
º
11+r 
r = 3 
RPTA.: B 
 
478. Halle el resto de dividir E entre 7: 
 
12
142314241425E 1426 
 
A) 2 B) 6 C) 3 
D) 1 E) 5 
 
RESOLUCIÓN 
E = 1426 Impar = 
º
7 + r 
 (
º
72)
Impar = 
º
7+r 
 
º
7  2
k = 
º
7 + r 
 
K = múltiplo de 3  k = 3n 
º
7  2
3n = 
º
7  1 = 
º
7 + r 
 
º
7 + 6 = 
º
7 + r 
 r = 6 
 Residuo = 6 
RPTA.: B 
 
 
 
479. Halle (d+u), si el número de 
la forma: 
º º
mcdu 11, tal que md 7  
y m + c + d + u = u² 
 
A) 9 B) 13 C)12 
D) 15 E) 45 
 
RESOLUCIÓN 
º º
mcdu 11;md 7;m c d u u²      u² =16 
 ++ 3 1 u² = 25 
 u² = 36 
 
 c + u  (m+d) = 
º
11; 
 
para u = 4 
c  (m+d) = 
º
11  4 .......... () 
 
3m+d = 
º
7 .......................() 
 
Para u = 4 
m + c + d = 12 
m + d = 12  c ..................() 
 
si: c = 4 
m + d = 8 ........................() 
 
de () y () 
c = 
º
11 + 4 
c = 4 
 
de () y () 
m = 3; d = 5 
d + u = 9 
RPTA.: A 
 
480. ¿Cuántos términos de la siguiente 
sucesión: 2; 6; 12; 20; 30; 
....;14762 al expresarlos en base 
5, resultan que su cifra de menor 
orden es 1? 
 
 
 
A) 12 B) 24 C) 36 
D) 42 E) 28 
 
RESOLUCIÓN 
2 ; 6 ; 12 ; 20 ; 30 ; .... 14762 
     
 1x2; 2x3;3x4;4x5; 5x6; ....;121x122 
 
 tn = n (n+1) = 
º
5 + 1 ; n= 1,2,...,121 
 
(por dato en base 5 acaba en 1) 
 
n² + n = 
º
5 + 1 + 5 
 n² + n  6 = 
º
5 
 (n+3)(n2) = 
º
5 
 
Luego: 
n + 3 = 
º
5  n = 
º
5  3 = 
º
5 + 2 
n  2 = 
º
5  n = 
º
5 + 2 
 
 n = 5k + 2  k = 0; 1; 2; ....23 
 n  121 24 valores 
RPTA.: B 
 
481. En una fiesta infantil el payaso 
“POPI” juega con un grupo no más 
de 150 niños y observa que si los 
agrupa de 7 en 7 le sobran 5 
niños; si los agrupa de 4 en 4 le 
faltaría un niño para formar un 
nuevo grupo y si los agrupa de 9 
en 9 le sobran 2 niños. Calcule el 
número de niños que hay en dicha 
fiesta. 
 
A) 42 B) 130 C) 47 
D) 122 E) 56 
 
RESOLUCIÓN 
# niños (N)  150 
N = 
º
7+5 
N = 
º
4 + 3  N = 
º
4 + 11 
N = 
º
9 + 2  N = 
º
9 + 11 
 
 N = 
º
36+11 = 36 k + 11 
 
 
 k = 1 ; 2 ; 3 
 N = 47; 83; 119 
 
 Pero: 
N = 
º
7 + 5 
 N = 47 
RPTA.: C 
 
482. En una conferencia a la que 
asistieron 528 personas; se sabe 
que de los varones: la tercera 
parte usan corbata; los 
2
15
 usan 
lentes y los 
3
7
 llevan saco. De las 
mujeres se sabe que: la sexta 
parte usa minifalda; las 
3
4
 usan 
lentes y las 
2
9
 tienen ojos azules. 
Calcule el número de personas 
que usan lentes. 
 
A) 137 B) 56 C) 81 
D) 420 E) 48 
 
RESOLUCIÓN 
# personas = 528 
 
De los varones (V): 
* usan corbata = 
ºV
V 3
3
  
* usan lentes =
º2
V V 15
15
  
* llevan saco = 
º3
V V 7
7
  
 V = 
º
105 = 105x 
 De las mujeres (M): 
* usan minifalda = 
ºM
M 6
6
  
* usan lentes = 3M/4 M = 
º
4 
* tienen ojos azules = 
º2
M M 9
9
  
 M = 
º
36 = 36y 
 105x + 36y = 528 
   
 4 3 
 
lentes
lentes
2(420)
V 56
15
3(108)
M 81
4

 

  

 
 
Personas con lentes: 137 
RPTA.: A 
 
483. Un comerciante va a la “Galería 
Gamarra” con S/. 3060 para 
comprar polos, camisas y 
pantalones de precios unitarios 
iguales a S/. 15; S/. 24 y S/. 60 
respectivamente. Si entre 
pantalones y camisas debe 
comprar más de 10 prendas. 
Calcule cuántas prendas en total 
compró; si la cantidad de polos 
fue la mayor posible; además 
compró al menos uno de cada uno 
y empleó todo su dinero. 
 
A) 183 B) 172 C) 163 
D) 184 E) 195 
 
RESOLUCIÓN 
 Artículo: camisas; polos, pantalones 
Precios Unitarios 24 ; 15 ; 60 
 Nº artículos x ; y ; z 
  
 Máximo 
 
x + z > 10 
 
Luego: 
24x + 60z + 15y = 3060 ........() 
Por 
º
5 : 24x + 
º
5 + 
º
5 = 
º
5 
 
24x = 5  x = 5  xmin = 5 en() 
 
 
 
 24  5 + 60z + 15y = 3060 
 20z + 5y = 980  4z + y = 196 
 
 Zmin = 6  ymax = 172 
 x + y + z = 183 
RPTA.: A 
 
484. El residuo de dividir el número 
657143 entre 25 es ab . Calcule el 
resto de dividir dicho número 
entre a  b 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
 
RESOLUCIÓN 
657143= (
º
25+7)143 = 
º
25 + 7143 
 = 
º
25+(7²)717=
º
25+(
º
251)71.7 
 =
º
25+(
º
25171)7 
 =
º
25+
º
2517 = 
º
257 
 
67143 = 
º
25 +18 = 
º
25+ab 
 ab = 18 
 657143=(
º
8+1)143=
º
8 + 1143=
º
8+1 
 r = 1 
RPTA.: A 
 
485. Halle el menor valor de N = cdu , 
sabiendo que es múltiplo de: 
     P c 2 d 1 u 3    
 
A) 214 B) 316 C) 213 
D) 426 E) 441 
 
RESOLUCIÓN 
           
o
cdu c 2 d 1 u 3 c 2 d 1 u 3 k       
 cdu cdu 213 k 213k k cdu cdu     
3.71.k=  cdu k 1 
 
Dando valores obtenemos: 
 
(k1) k cdu 
 
 1 2 3 x 71 x 2 = 426 c = 4 
 3 4 71 x 4 = 284 c = 2 
 71 72 72 x 3 = 216 c = 2 
3.71 214 214 c = 2 
 
cdu = 426 
RPTA.: D 
 
486. Halle el mayor número abc , tal 
que: abc1492 al ser dividido entre 
40, deje como residuo 24. 
 
A) 996 B) 249 C) 989 
D) 995 E) 998 
 
RESOLUCIÓN 
Sabemos que: 
1492 = 
º
40 + 12 
 
Aplicando el Binomio de Newton: 
abc
abc1492 40 12
 
  
 
 
 
º º
abc abc1492 40 12 40 24    
 
º
abc12 40 2  4 
 
Determinando los restos 
potenciales de 12 respecto al 
módulo 40, hallamos como valor 
del Gaüssiano cuatro, entonces el 
exponente abc deberá ser 
múltiplo de cuatro, más aquel 
exponente del grupo periódico que 
deja resto potencial 24. 
º
º
º
º
º
1 4
º
2 4
º
3 4
º
4
12 40 12
12 40 24
12 40 8
12 40 16



 
 
 
 
 
 
º
abc 4 2  
además, como debe ser el mayor 
posible abc 100 0 
4k + 2 < 1000  k < 
1000 2
249,5
4

 
 
 
kmáximo = 249 
 abc 4 249 2 998    
 
RPTA.: E 
SEMANA 8 
DIVISIBILIDAD II 
 
487. La suma de trece números 
enteros consecutivos es de la 
forma 4a9a. Halle el mayor de 
los números. 
 
 A) 363 B) 368 C) 369 
D) 375 E) 374 
 
RESOLUCIÓN 
De la condición: 
     N 6 N 5 N 4 ......       
    N ...... N 5 N 6 4a9a      
 
Efectuando la suma indicada: 
13N 4a9a 
 
0
4a9a 13 
 
      
0
1 4 4 a 3 9 1(a) 13     
a = 7  13 N = 4797 N = 369 
 
  El mayor número: N 6 375  
 
RPTA.: D 
 
488. Si un número de 4 dígitos donde 
sus 3 últimas cifras son iguales se 
le ha restado otro que se obtuvo 
al invertir el orden de las cifras del 
primero. Si la diferencia es 
múltiplo de 7. Halle la diferencia. 
 
 A) 777 B) 1 554 C) 2 331 
D) 4 662 E) 6 993 
 
RESOLUCIÓN 
0
7bbbaabbb 
 
Descomponiendo 
0
999 a 999 b 7  
0
7)(999  ba 
 7ba . 
 
La diferencia: 999(7) 6993 
 
RPTA.: E 
 
489. Si: 
 
0
abc 11 
 
0
bac 7 
 
0
cab 5 
 Calcule el menor valor de: 
 (a + b + c) 
 
 A) 16 B) 10 C) 15 
D) 12 E) 14 
 
RESOLUCIÓN 
00
1111  cbaabc 
 
0 0
bac 7 2 b 3 a c 7     
 55
0
 bcab 
De las ecuaciones: a + c =5 
 172373
00
 aca 
 a = 3 
 c = 3 
 a + b + c = 3 + 5 + 2 = 10. 
 
RPTA.: B 
 
490. Se cumple: 
0
mnp 22 
 
0
pnm 7 
 
0
mp 9 
 
 Calcule: m x n x p 
 
A) 72 B) 81 C) 90 
D) 126 E) 162 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
:22
0
pmnp  par; 
0
m n p 11 
(+)(-)(+) 
 
0
11 pnm …………………………… 
 
 
0
7pnm ; 
 
2 3 1 
0
732  mnp …………………………... 
 
 
0
9mp 
0
9 pm ; p: par. 
9 pm ………………………………… 
 
 en 
 
9 - n = 11 
n = 9 
 
 en 
0
9 p 27 7   
 
0
736 p 
p = 6 
m = 3 
 
  pnm 
162693  
RPTA.: E 
 
491. ¿Cuántos números capicúas de 5 
cifras no son múltiplos de 495? 
 
A) 872 B) 890 C) 896 
D) 898 E) 899 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
0
5 b c b 5 99 
 
1 (10) 1 (10) 1 
 
0
99510105  bcb 
 
0
10 20b c 99   
 
 4 9 
 9 8 
 Hay 2 números 
0
495 . 
 
a b c b a
0 0 1
1 1 2
2 2 3
. . .
. . .
. . .
9 9 9
10 10 9 900#s.
  
  
 
 
 Números que no son 
0
495 
 900 - 2 = 898 
RPTA.: D 
 
492. Si: 
º
1185a2476032000 19! 
 Halle “a” 
 
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 8 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN 
El criterio más preciso es 
0
9 ; 
porque se analiza todas las cifras. 
Tendremos 
1
3 1
2
3
3 2
0
abcba 495
 
0
5
0
99
 
 
0
9!19  
11 8 5a2 4 7603
0
2000 9 
0
93 a 
a = 6 
RPTA.:C 
 
493. Halle:  n x p  si: 
 
0
x8 n 5 nx 25  y 
  
0
n 5 ppxp 7  
 
A) 15 B) 16 C) 17 
D) 18 E) 20 
 
RESOLUCIÓN 
 
0
x8 n 5 nx 25  
 
0
n 5 ppxp 7  
 
n 5 1 ; n 6   
 
Criterio: 
0
25 
7;25
0
 nnx 
0
7x 25 ; x 5  
0
72 ppxp 
Criterio 
º
7 
0
752 ppp 
 31 231 
 - + 
   
0
3p 15 p 6 7    
 
0
2p 9 7  
 p + n + x = 18 
RPTA.: D 
 
 
494. Sabiendo que: 
 
abcd 364(d a 2b 3c)    . 
 
Halle la expresión:  ab cd 
 
A) 50 B) 52 C) 54 
D) 56 E) 58 
 
RESOLUCIÓN 
Como 364 = 
0
7 
 
º
abcd 7 
 
  364 d a 2b 3c    … 
 
 
0
7 d a 2b 3c 364(d a 2b 3c)       
 
0 0
7 363 d a 2b 3c (d a 2b 3c) 7        
d a 2b 3c 21    en 
abcd 364 21 7644    a = 7 
 b = 6 
 c = 4 
 d = 4 
Verificando: 
d-a+2b+3c = 4-7+12+12=21 
 ab + cd = 7 x 6 + 4 x 4 = 58 
RPTA.: E 
 
495. El número de la forma: aa0bbc 
al ser dividido entre 4; 9 y 25 
deja como residuo 2; 4 y 7 
respectivamente. Halle “a”. 
 
A) 6 B) 4 C) 3 
D) 2 E) 0 
 
RESOLUCIÓN 
M aa0bbc 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto: 
 
 
 
 
abcd
1 2 3 1
- +
1
1
M
0
4 2
0
9 4
0
25 7
M
0 0
4 2 80 4 82   
º 0
25 7 75 25 82   
 
 
 
 Propiedad: 
 M m.cm.(4;25) 82  
 
0
M 100 82  
 
 entonces: 
 
 
 
 
 aa0 8 8 2
0
9 4  
 
0
2a 9 4  
 
0
a 9 2  ; a = 2 
RPTA.: D 
 
496. Halle el residuo que se obtiene al 
dividir: 
ab5
ab1ab4 Entre 11. 
 
 A) 2 B) 3 C) 4 
D) 1 E) 6 
 
RESOLUCIÓN 
0
M a b 1 a b 4 11  
 - + - + - + 
4 a b  a 1 b  
0
11 
 
0
11 3 
ab5
º º
ab5 ab5M 11 3 11 3
 
    
 
 
 
Gaus: modulo: 11 
 
0
13 11 3  
 
0
23 11 9  
 
0
33 11 5  
 
0
43 11 4  
 
0
53 11 1  
Cada vez que la potencia de 3 es 
múltiplo de 5 el residuo es 1. 
RPTA.: D 
 
497. ¿Cuántos capicúas de 4 cifras son 
divisibles por 99 pero no por 15? 
 
A) 8 B) 9 C) 10 
D) 7 E) 11 
 
RESOLUCIÓN 
Sea: 
0
abba 99 15 a 5    
* Caso 1 ab ba 99  
 
 a + b = 9 
 9 0 
 8 1 
 7 2 
 6 3 
 4 5 
 3 6 
 2 7 
 1 8 
 Hay ocho números 
 
* Caso 2 ab ba 189  
 a 9 b = 9 
 Hay un número 
 Rpta. 9 números 
RPTA.: B 
 
498. Halle el residuo de dividir el 
número 5678…979899 con 11. 
 
 A) 5 B) 6 C) 7 
D) 2 E) 4 
 
RESOLUCIÓN 
5 6 7 8 9 10 11 12 … 98 99 
=
0
11 99 98 ... 10 56789
    
     
=
0 99 10
11 90 5 7 9 6 8
2
 
      
 
 
=
0
11 109.45 7  
=
0
11 6 
RPTA.: B 
499. Halle el residuo de dividir el 
número 13579…959799 con 9. 
 
A) 6 B) 7 C) 3 
0
100 82aa0bbc 
b = 8
c = 2
 
 
D) 1 E) 0 
 
RESOLUCIÓN 
1 3 5 7 …. 95 97 99 
99...5319
0
 
(Criterio de divisibilidad) 
= 2
0
509 
(Suma de números impares) 
=
0
9 25 
0
9 7  
RPTA.: B 
 
500. Halle el resto de dividir el número: 
 4N 321aaa321aaa Entre 7. 
 
 A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 0 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
aaN 21645764216457 24  
 
0
4
00
4
0
7)17(577)17(57 N 
114757577
00
N 
0 0 0
N 7 (7 2) 7 2     
 27  rN 
RPTA.: B 
 
501. Se tiene el numeral a53b72c 4 
es divisible por 8 y que al ser 
dividido entre 11, el residuo es 
10; y al ser dividido entre 9 el 
residuo es 2. Halle el mayor valor 
de: (a + b + c). 
 
A) 10 B) 12 C) 14 
D) 16 E) 17 
 
RESOLUCIÓN 
* 
0
847253 cba 
 
0 0
2c4 8 8 2c 4 8     
 4 2 1 c = 2; 6 
 
* 
 
* 
 
 
 
0
a5 3b 72 c4 99 65     
 
0
a5 3b c4 7 99 99 2 198       
 
Si c 6 b 2 ; a 9    
 17 cba 
RPTA.: E 
 
502. Se sabe que 
 
0m
7mnpq 11 5  
 
0n
7mnpq 11 4  
 
p 0
7mnpq 11 2  
 
Calcule el residuo de dividir N 
entre 11. Si   
 4mnp
7N mnpq 
 
 A) 5 B) 3 C) 8 
D) 2 E) 1 
 
RESOLUCIÓN 
    47
mnp
mnpqN  
descomponiendo: 
  pnmmnp  4164 
pnm
mnpqmnpqmnpqN 7
4
7
16
7  
    pnm mnpqmnpqmnpqN
7
4
7
16
7
 
16 4
0 º 0
N 11 5 11 4 11 2
     
          
     
 
0 0 0
16 4N 11 5 11 4 11 2
     
        
     
 


















 211311511
000
N 
 N = (57) (21a) (57) (21a)
N = 321 aaa 321 aaa
(4)
(64)
4
3
0 0
a53b72c4 11 10 55 11 65    
- + - + - + - +
0 0
a53b72c4 9 2 63 9 65    
a 5 3 b 7 2 c 4
 
 
)333(113011
00
N 
311
0
N 
 
Resto: 3 
RPTA.: B 
 
503. Halle el residuo de dividir con 10 
el número 
cifras
abc
7
mnp00
66...66
 
 
  
 
 
 
A) 0 B) 1 C) 3 
D) 6 E) 8 
 
RESOLUCIÓN 
 
abc
abc
mnpoo7
cifras
66...66
7 1
mnp00
 
   
 
 
 
abc
0abc
4k7
cifras
66...66
7 1 ;mnp00 4
mnp00
 
    
 
 
  
abc
abc
k
47
cifras
66...66
7 1
mnp00
 
   
 
 
  
abc
abc
k7
cifras
66...66
...1 1
mnp00
 
   
 
 
abc
7
cifras
66...66
...0
mnp00
 
  
 
 
RPTA.: A 
 
504. ¿Cuántos valores puede tomar “a” 
si el número  9aaa.............aa de 
16 cifras es divisible entre 8? 
 
A) 2 B) 4 C) 6 
D) 8 E) 7 
 
 
RESOLUCIÓN 
 16 cifras 
 
0
9 8...  aaaaaN 
 
0 0
8 16a 8  : 
se cumple para todo “a” 
 a = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 
 a toma 8 valores 
RPTA.: D 
 
505. Calcule “a x b”; si 
 9
4a0567b 
es divisible entre 10 y al ser 
dividido entre 8 el resto es 2. 
 
A) 4 B) 15 C) 35 
D) 21 E) 5 
 
RESOLUCIÓN 
*  
0
94a0567b 10 b a 2 18     
 +-+-+- + 
 b a 2  
 
*  
0 0
94a0567b 8 2 a b 22 8 2       
 124820
0
óbaba  
 
Para 12ba b = 7 
 2ab a = 5 
 35ba 
RPTA.: C 
 
506. Un animalito va de “A” hacia “B” 
dando saltos de 15 cm y regresa 
dando saltos de 16 cm. Después 
de haber recorrido 1,22 m se 
detiene. ¿Cuánto le falta para 
llegar al punto A? 
 
 A) 48 cm. 
B) 42 cm. 
C) 52 cm. 
D) 58 cm. 
E) menos de 40 cm. 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
1221615  ba 
 
Modulo 
0
3 
I
16
…...
…
16
1515 15
 
 
 
23133
000






 b 
23
0
b 
 
 
 
 
Reemplazando: 
122)2(1615 a 
 
122 32 90
a 6
15 15

   
 
La distancia de A a B es: 
16(6) = 90 cm 
Falta: 90  16(b) = 58 
RPTA.: D 
 
507. Si 
0
"n" cifras
333... 41 . Con “n” mínimo. 
¿Cuál será el residuo por exceso 
que se obtiene al dividir entre 26 
al menor número de 5 cifras 
diferentes de la base n? 
 
A) 8 B) 12 C) 14 
D) 16 E) 10 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
 
Menor número de 5 cifras 
diferentes en base 5: 
  r
0
5 2610234 
 
Descomponiendo: 
69445352051 24  
 
 
 
 
 
Por defecto = 18 
Por exceso = 8 
RPTA.: A 
 
508. Un niño si cuenta sus canicas 
agrupándolas de 5 en 5 le faltan 2 
canicas; si las cuentan de 6 en 6 
le sobran 3; y si las cuentan de 8 
en 8 le faltan 5; por lo que decidió 
agruparlos de 9 en 9, así no le 
sobra ninguna canica. Si la 
cantidad de canicas se encuentra 
entre 400 y 650. ¿Cuántas canicas 
tiene el niño? 
 
A) 438 B) 480 C) 483 
D) 485 E) 603 
 
 
RESOLUCIÓN 
Sea “N” la cantidad de canicas que 
tiene el niño: 
38
36
35
0
0
0



N 
 
31203)8;6;5(
00
 MCMN 
 
Entonces: 
N 123; 243; 363; 483; 603........
 
Pero: 
0
9N  400 N 650  
 
 El niño tiene 603 canicas. 
RPTA.: C 
 
509. ¿Cuál es la suma de las cifras del 
mayor número entero de tres 
cifras, tal que si se le resta la 
suma de sus tres cifras el 
resultado es divisible por 13? 
 
A) 26 B) 20 C) 15 
D) 23 E) 24 
 
RESOLUCIÓN 
b 3k 2 
k = 0 ; b = 2 (sí) 
k = 1 ; b = 5 (No) 
4133333
813
 
5 cifras. 
26
674 26
694
18
 
 
 
0
abc a b c 13    
431 
  + 
0
5a 4b 13  
 a = 9 
 b = 5 
 c = 9 
 a b c 9 23    
RPTA.: D 
 
510. ¿Cuántos números dedos cifras 
hay, que al elevarse al cuadrado y 
al ser divididos entre cinco dejan 
resto cuatro? 
 
A) 18 B) 48 C) 32 
D) 45 E) 36 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
0
0
0
5
ab 5 1
5 2
 

  
0
02
0
5
ab 5 1
5 4
 

 
 
 
0
ab 5 2  ó 
0
ab 5 2  
 
 
 
 
 Existen36números 
 
RPTA.: E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ab 
12; 17; 22; 27; ……..; 97 
13; 18; 23; 28; ……..; 98 
18 valores
18 valores